Binomio de Newton - Ejercicios Resueltos

🙂 Hoy traemos un nuevo artículo relacionado a los binomios, siiii a esos que te dan dolor de cabeza cuando los escuchas, y mucho más cuando te dicen que están elevados al cuadrado o al cubo, pero bueno, en esta ocasión vas aprender a resolver binomios cuando están elevados a potencias mucho más grandes, por ejemplo a la 5, a la 8 , a la 9, etc...  Y todo parte desde el gran Newton, un joven de padres granjeros el cual se le acuñe muchas cosas en cuanto a investigación e inventos, desde telescopios, leyes de la física, el desarrollo del cálculo infinitesimal, etc..

El Binomio de Newton o Ley del Binomio es un método algebraico para poder encontrar de forma rápida el resultado del producto de un mismo binomio.

Aquí nos daremos cuenta que los productos notables juegan un papel muy importante, ya que sabemos que un producto notable nos devuelve siempre el resultado de la operación entre binomios sin tener que hacer los cálculos uno por uno.

Por ejemplo citaremos el siguiente ejemplo y que quede más claro. Si tenemos el siguiente producto:

$\displaystyle (4x{{y}^{2}}+2a)(4x{{y}^{2}}-2a)$

Se trata a simple vista del producto de un binomio conjugado ¿por qué conjugado?, porque los binomios son similares a excepción de un signo (+) y un signo (-) entre los términos. Ahora que sabemos esto, podemos realizar la operación de término por término o sea aplicar la "ley distributiva".

$\displaystyle (4x{{y}^{2}}+2a)(4x{{y}^{2}}-2a)=16{{x}^{2}}{{y}^{4}}+8ax{{y}^{2}}-8ax{{y}^{2}}-4{{a}^{2}}$

Si esto se simplifica obtendremos lo siguiente:

$\displaystyle (4x{{y}^{2}}+2a)(4x{{y}^{2}}-2a)=16{{x}^{2}}{{y}^{4}}-4{{a}^{2}}$

Si tenemos un poco de dominio del álgebra sabremos que el resultado era obvio, ¿por qué? pues sabemos que la regla de los binomios conjugados establece que el resultado es "el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo". Lo que lógicamente nos dio el resultado del binomio, sin necesidad de haber aplicado la propiedad distributiva

¿Se entendió?, bien ahora imaginemos que necesitamos obtener el resultado sin efectuar nuevamente las operaciones una por una, pero de un binomio (x+y) a cierta potencia n, en donde n debe ser un número natural o sea un número positivo. Pues aquí es donde entra el apreciado método del Binomio de Newton.

Explicación del Binomio de Newton

Ahora desarrollemos los binomios (x+y) hasta la sexta potencia, y veamos el comportamiento que tiene el binomio, de ahí nos daremos cuenta de otros puntos importantes.

$ \displaystyle {{(x+y)}^{0}}=1$

$\displaystyle {{(x+y)}^{1}}=x+y$

$\displaystyle {{(x+y)}^{2}}={{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}$

$\displaystyle {{(x+y)}^{3}}={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}$

$\displaystyle {{(x+y)}^{4}}={{x}^{4}}+4{{x}^{3}}y+6{{x}^{2}}{{y}^{2}}+4x{{y}^{3}}+{{y}^{4}}$

$\displaystyle {{(x+y)}^{5}}={{x}^{5}}+5{{x}^{4}}y+10{{x}^{3}}{{y}^{2}}+10{{x}^{2}}{{y}^{3}}+5x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$

$ \displaystyle {{(x+y)}^{6}}={{x}^{6}}+6{{x}^{5}}y+15{{x}^{4}}{{y}^{2}}+20{{x}^{3}}{{y}^{3}}+15{{x}^{2}}{{y}^{4}}+6x{{y}^{5}}+{{y}^{5}}$

Hasta este punto podemos observar que

• El primer término es siempre $\displaystyle {{x}^{n}}$
• El segundo término tiene un comportamiento de $\displaystyle n{{x}^{n-1}}y$
• Y de ahí empiezan a aparecerse algunos coeficientes y empieza a decaer el exponente del primer término y el otro empieza a aumentar.

Hasta este punto es muy importante comprender ello, porque el siguiente análisis será aún mucho mejor.

El triángulo de Pascal

Veamos el siguiente vídeo hecho por Fisimat, donde explicamos el triángulo de Pascal en honor al gran matemático francés Blaise Pascal al cual se le adjudica dicho procedimiento, bien entonces veamos algunos ejemplos resueltos de el Binomio de Newton.

Al ver este video, posiblemente ya entiendas como resolver el binomio de Newton haciendo uso del triángulo de Pascal, es por eso que vamos a desarrollar dos ejemplos más, pero ya más intuitivo, que el alumno interprete como se han resuelto para ver si el aprendizaje ha sido correcto. 😎

Ejercicios Resueltos del Binomio de Newton

Hay un pequeño secreto también sobre las potencias del 11, pues resulta que las potencias del 11 nos darán siempre los coeficientes del triángulo de Pascal, veamos de esta manera.

Pero hay un problema cuando llegamos a la 5ta potencia, ahí los coeficientes ya no son los mismos, ahí se tiene que superponer los dígitos para poder encontrar los demás.

Ok, entonces vamos a poner a prueba nuestros conocimientos. Veamos si hemos entendido todo al 100%

Solución:

$\displaystyle {{(2{{b}^{2}}-3a)}^{4}}={{(2{{b}^{2}})}^{4}}+4{{(2{{b}^{2}})}^{3}}(-3a)+6{{(2{{b}^{2}})}^{2}}{{(-3a)}^{2}}+4(2{{b}^{2}}){{(-3a)}^{3}}+{{(-3a)}^{4}}$

Hasta este punto hemos desarrollado a la perfección el triángulo de Pascal

Ahora empecemos a multiplicar los exponentes, por regla.

$\displaystyle {{(2{{b}^{2}}-3a)}^{4}}=16{{b}^{8}}+4(8{{b}^{6}})(-3a)+6(4{{b}^{2}})(9{{a}^{2}})+4(2{{b}^{2}})(-27{{a}^{3}})+(81{{a}^{4}})$

Evaluamos las operaciones de exponentes

$\displaystyle {{(2{{b}^{2}}-3a)}^{4}}=16{{b}^{8}}-96a{{b}^{6}}+216{{a}^{2}}{{b}^{4}}-216{{a}^{3}}{{b}^{2}}+81{{a}^{4}}$

Listo!!! Problema resuelto ¿te salió igual?, si tienes dudas dejarlo en la caja de comentarios aquí abajo.