Fracciones Parciales – Factor Lineal Repetido

Iniciamos el mes de octubre con la actitud de seguir publicando artículos sobre los diversos temas de matemáticas, física y química. Por ahora nos toca hablar nuevamente sobre las fracciones parciales pero específicamente sobre el caso de factores lineales repetidos k veces.

Cuando tengamos un factor lineal de la forma mx + b que aparezca repetido k veces en el denominador le corresponderá una suma de fracciones de la siguiente forma

\displaystyle \frac{{{A}_{1}}}{mx+n}+\frac{{{A}_{2}}}{{{(mx+n)}^{2}}}+\frac{{{A}_{3}}}{{{(mx+n)}^{3}}}+...+\frac{{{A}_{k}}}{{{(mx+n)}^{k}}}

Dónde \displaystyle {{A}_{k}} es una constante a determinar según sea el caso. Para ello veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplos resueltos de Fracciones Parciales con Factor lineal Repetido

Ejemplo 1.- Descomponer en fracciones parciales \displaystyle \frac{4x+1}{{{(x-1)}^{2}}}

Si observamos el denominador de la fracción parcial, nos daremos cuenta que el denominador está al cuadrado. O sea que nosotros podríamos expresar la fracción parcial de la siguiente manera:

\displaystyle \frac{4x+1}{{{(x-1)}^{2}}}=\frac{4x+1}{(x-1)\cdot (x-1)}

Ahí es donde vemos que asume el nombre de factor lineal repetido, y si se llama lineal es porque lo que se encuentra dentro del paréntesis es un factor lineal, ahí no hay cuadrados y eso es un punto importante porque si fueran cuadrados entonces corresponde a otros casos que veremos más adelante.

Entonces a la fracción parcial le  corresponde una suma de fracciones de la siguiente forma:

\displaystyle \frac{4x+1}{{{(x-1)}^{2}}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{{{(x-1)}^{2}}}

El método para encontrar A y B respectivamente es similar al paso del caso 1 de factores lineales no repetidos.

Entonces lo que haremos será multiplicar por el denominador común, es decir el que está elevado al cuadrado y con esto tendríamos lo siguiente:

\displaystyle 4x+1=(x-1)A+B

Aplicando propiedad distributiva en el binomio que está con A

\displaystyle 4x+1=Ax-A+B

Hasta este punto lo que haremos será lo siguiente, como se trata de una igualdad, si tenemos 4x del lado izquierdo entonces debemos tener 4x de lado derecho; eso quiere decir que A tiene que valor forzosamente 4. Lo mismo pasará para el 1 que tenemos del lado izquierdo, tiene que valor 1 en el lado derecho, por lo que podemos decir que 1 = -A+B

\displaystyle A=4

\displaystyle -A+B=1

Despejando a B

\displaystyle B=1+A

\displaystyle B=5

Por lo que B = 5, entonces la descomposición en fracción parcial es:

\displaystyle \frac{4x+1}{{{(x-1)}^{2}}}=\frac{4}{x-1}+\frac{5}{{{(x-1)}^{2}}}

Ejercicio Resuelto.

Ejemplo 2.- Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción \displaystyle \frac{14x+9}{{{(2x+1)}^{2}}}

Por inspección sabemos que la debemos arreglar de la siguiente forma:

\displaystyle \frac{14x+9}{{{(2x+1)}^{2}}}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{{{(2x+1)}^{2}}}

Multiplicamos nuevamente por el denominador común y nos queda:

\displaystyle 14x+9=A(2x+1)+B

Aplicamos propiedad distributiva y nos queda:

\displaystyle 14x+9=2Ax+A+B

Recordemos que las “x” deben estar igualadas en ambos miembros, así como los términos que no tienen “x”.

\displaystyle 14x=2Ax

\displaystyle 9=A+B

En ese pequeño sistema de ecuaciones encontramos los valores de A y B

\displaystyle A=7

\displaystyle B=2

Por lo que la fracción parcial descompuesta es:

\displaystyle \frac{14x+9}{{{(2x+1)}^{2}}}=\frac{7}{2x+1}+\frac{2}{{{(2x+1)}^{2}}}

Y listo problema resuelto.

Aplicación de Fracción Parcial Caso II

Veamos que las fracciones parciales son muy útiles tanto para el cálculo integral como para las famosas transformadas de Laplace. Así que aquí veamos un ejemplo para las integrales.

Esperando que este post haya sido de tu agrado y puedas compartirlo con más amigos o conocidos… Cualquier duda dejarlo en el cajón de comentarios 😀

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