Fracciones Parciales – Factor Lineal No Repetido

Bien, después de no publicar en cierto tiempo. Hemos decidido publicar el tema de fracciones parciales ya que es de vital importancia para poder comprender uno de los temas de integración por éste método. 😮

Sabemos que es uno de los temas muy importantes en las matemáticas de nivel media superior o de introducción a la universidad también les llaman “preuniversidad”. Es sin duda el tema de las fracciones parciales que serán ocupadas más adelante en temas de integración y transformadas de Laplace. (lo último se mira en la universidad en áreas de ingeniería o ciencias puras).

La descomposición de fracciones parciales es una técnica algebraica que puede utilizarse para descomponer un producto de expresiones racionales en una suma de expresiones racional más simples.

Una expresión racional es aquella en la que tanto el numerador como su denominador son polinomios. Y ahora una expresión racional apropiada es aquella en la que el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador.

Ahora veamos como podemos aprender las fracciones parciales, y dividiremos nuestro post en 5 partes. Ya que existen varias clasificaciones respecto a los grados del denominador 😎

1.- Factores Lineales Distintos
2.- Factores lineales repetidos
3.- Distintos factores cuadráticos irreducibles
4.- Factores cuadráticos irreducibles repetidos
5.- Factores mixtos

Empezaremos primero con los Factores Lineales Distintos.

Factor Lineal No Repetido

Antes de comenzar hablar sobre el caso de factor lineal no repetido, es importante que sepamos de qué trata el tema en si. Para ello vamos a realizar la siguiente suma de fracciones.

\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}

Recordemos que para sumar esa fracción algebraica se hace mediante el producto cruzado y se suma, lo del denominador es el producto de ambos. Ejemplo!

\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)+3(x)}{x(x+1)}

Entonces decimos que

\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)+3(x)}{x(x+1)}=\frac{2x+2+3x}{{{x}^{2}}+x}=\frac{5x+2}{{{x}^{2}}+x}

Entonces podemos decir que

\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{5x+2}{{{x}^{2}}+x}

Bien, espero que hasta este punto no haya habido algún problema al respecto de como se realizaron los pasos para obtener la suma, entonces pensemos, cómo podemos regresar la operación que hicimos y obtener el comienzo , es decir obtener las dos fracciones del comienzo 😯

Para el caso 1 que estaremos explicando en el post, A cada factor lineal de la forma mx + n que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma A/(mx+n), donde A es una constante a determinar.

Ejercicios Resueltos de Fracciones Parciales – Caso I

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales: \displaystyle \frac{5x+2}{{{x}^{2}}+x}

Solución: Como ya mencionamos es encontrar la suma de fracciones que den por resultado la fracción anterior. Lo primero que demos hacer es factorizar el denominador.

\displaystyle \frac{5x+2}{x(x+1)}

Bien, una vez que factorizamos, tenemos abajo dos factores lineales y son lineales “Por qué no están al cuadrado” y no son repetidos, entonces corresponde al caso 1. Ahora tenemos que agregarles constantes y determinar sus valores.

Ejemplo:

\displaystyle \frac{5x+2}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}

Ahora procedemos a multiplicar a ambos miembros por el denominador del miembro izquierdo, y obtenemos:

\displaystyle \frac{5x+2}{x(x+1)}\cdot x(x+1)=\frac{A}{x}\cdot x(x+1)+\frac{B}{x+1}\cdot x(x+1)

Con esto cancelando términos similares en numerador y denominador, tenemos.

\displaystyle 5x+2=A(x+1)+Bx

Realizamos la operación del miembro derecho y obtenemos:

\displaystyle 5x+2=Ax+A+Bx

Factorizando el miembro derecho:

\displaystyle 5x+2=x(A+B)+A

Ahora igualamos los que tengan “x” con el miembro izquierdo y los del lado derecho, y hacemos lo mismo también para los que no tengan coeficientes.

\displaystyle 5x=x(A+B)

\displaystyle 2=A

Las “x” con las “x” las cancelamos e igualamos.

\displaystyle 5=A+B

Ahora podemos decir, de la segunda ecuación que A = 2, entonces podemos despejar para encontrar “B”.

\displaystyle 5=2+B

Por lo que el valor de B es 3

\displaystyle B=3

Podemos entonces decir que las dos fracciones principales, son:

\displaystyle \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}=\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}

Y listoooo!! Con esto ya tenemos realizados un ejercicio básico del caso 1.

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