Integrales por Sustitución - Ejercicios Resueltos

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Hace ya mucho tiempo que no tenemos una publicación de fisimat, y es triste lo sé, pero las cosas a mediados de este mes han cambiado para bien, pues hemos hecho grandes modificaciones (internas) para poder traer a nuestra audiencia muchos temas interesantes y pedidos por ustedes. 🙂

Hoy vamos hablar de las integrales, pero específicamente de las que se resuelven mediante el método de sustitución.

¡Ojo! Hay otro tipo de integrales que se resuelve por sustitución, pero esas se conocen como integrales por sustitución trigonométrica, que es un tema que se verá en un post más adelante, por ahora tenemos que iniciar por lo básico.

Estas integrales son las que de comienzo inician a dar un poquito de dolor de cabeza para algunos estudiantes que se inician por este mundo, es por ello que vamos a dividir el artículo en una parte escrita y la otra parte en vídeo, pues sabemos que muchas veces es mejor aprendiendo observando que leyendo, por lo que de ahora en adelante, pon atención y saldrás siendo un grande del cálculo integral ...! 😎 si, algo así como Riemann y Bernoulli.

Contenidos

¿Cómo identificar una integral por sustitución?

¿Cómo identificar una integral por sustitución?

Antes de comenzar como resolver integrales por sustitución, es importante que identifiquemos el tipo de integrales que se resuelva por ese método, y basta con ver la estructura que tienen para identificarlas.

Por ejemplo, veamos una integral directa (es decir, esas integrales que basta con buscar en el formulario, ver a cuál se parece y aplicar el ¡¡¡Formulazooo!!) 😛

$\displaystyle \int{(5x+3)dx}$

La integral es inofensiva (nada complicada), por lo que podemos resolverla muy rápido, haciendo una pequeña separación.

$\displaystyle \int{(5x+3)dx}=\int{5xdx+\int{3dx}}$

Posteriormente, podemos ir sacando las constantes del lado izquierdo de la integral.

$\displaystyle \int{(5x+3)dx}=5\int{xdx+3\int{dx}}$

Buscamos nuestro formulario, y aplicamos la integral.

$\displaystyle \int{(5x+3)dx}=5\left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right)+3x+C$

Por lo que finalmente nos queda.

$\displaystyle \int{(5x+3)dx}=\frac{5{{x}^{2}}}{2}+3x+C$

¿Complicado? ... Para nada.

Nunca te olvides de colocar un +C (constante de integración) al final de una integral indefinida, pues en muchos casos los profesores como YO por ejemplo, puede reprobarte por algo así. En temas posteriores veremos porque es necesario colocar una letra C y el significado dentro del área del cálculo

Ahora veamos algo similar a la integral anterior, pero ya para profundizar nuestro tema de Integrales por Sustitución. 😉

Ejercicio 1.1

$\displaystyle \int{\sqrt{5x+3}dx}$

Si observamos, y queremos separar la integral como se hizo en el paso anterior es prácticamente imposible, pues no podemos recurrir a ningún paso algebraico para hacerlo.

Entonces debemos pensar qué necesitamos para poder hacerlo.

Bien.... Lo que se hace en estos casos, es tomar como un todo lo que tenemos dentro de la raíz, es decir, asignarle un variable a 5x +3.

Normalmente en los libros le colocan la letra U por lo que haremos lo mismo.

$\displaystyle u=5x+3$

Ahora, vamos a ver como queda en la integral.

$\displaystyle \int{\sqrt{5x+3}dx=}\int{\sqrt{u}dx}$

El problema que tenemos ahora, es que la integral nos quedó expresada en términos de U pero su diferencial en dx , por lo que debemos de tenerla expresada en dU para poder proseguir al desarrollo.

Si derivamos a U en términos de "x" , esto nos quedaría.

$\displaystyle \frac{du}{dx}(5x+3)=5$

Despejando a "dU"

$\displaystyle du=5dx$

Pero podemos darnos cuenta que dU vale 5dx, para poder colocar ese coeficiente de 5 en nuestra integral, se recomienda no alterarla, es decir, multiplicar por la unidad, de la siguiente forma.

$\displaystyle \int{\sqrt{u}\left( \frac{5}{5}dx \right)}$

Mandamos a 1/5 al lado izquierdo de la integral, para que nos quede de la siguiente manera.

$\displaystyle \frac{1}{5}\int{\sqrt{u}\cdot 5dx}$

Pero como ya sabemos que $\displaystyle du=5dx$

$\displaystyle \frac{1}{5}\int{\sqrt{u}du}$

Ahora esto es más fácil de integrar con nuestro formulario 🙂

$\displaystyle \frac{1}{5}\int{\sqrt{u}du}=\frac{1}{5}\left( \frac{{{u}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1} \right)+C=\frac{1}{5}\left( \frac{2{{u}^{\frac{3}{2}}}}{3} \right)+C=\frac{2}{15}{{u}^{\frac{3}{2}}}+C$

Lo último que nos queda por hacer, es ordenar nuestra integral, y regresar el cambio de variable.

$\displaystyle \int{\sqrt{5x+3}dx}=\frac{2}{15}{{\left( 5x+3 \right)}^{\frac{3}{2}}}+C$

Que también la podemos expresar de la siguiente manera.

$\displaystyle \int{\sqrt{5x+3}dx}=\frac{2}{15}\sqrt{{{\left( 5x+3 \right)}^{3}}}+C$

Y listo... Problema resuelto, esto puede parecer complicado pero no lo es, requiere mucha práctica es por ello, que veremos otro ejercicio más.

Ejercicio 1.2

$\displaystyle \int{\frac{dx}{4x-10}}$

Si observamos, vemos que esta integral no se puede resolver mediante el método directo (el de usar las fórmulas), sino que tenemos que hacer un paso más para poder integrarlo sin complicación.

Tenemos que identificar quien es U, y posteriormente derivarlo respecto a "x" para despejar a "dU". (No olvidar este paso).

En este ejemplo, lo haríamos así:

$\displaystyle u=4x-10$

$\displaystyle \frac{du}{dx}=4$

$\displaystyle du=4dx$

Listo... Hemos hecho las tres partes más importantes. 🙂

Pero, ahora nuestra integral quedó así.

$\displaystyle \int{\frac{dx}{u}}$

Recordemos, que debe quedar en términos de U, pero "du" es igual a "4dx", sin embargo al reemplazarlo no podemos hacerlo así nada más, tenemos que mantener equilibrada la integral, así que recurrimos hacer lo siguiente.

$\displaystyle \int{\frac{dx}{u}}\cdot \left( \frac{4}{4} \right)$

Multiplicamos por 4, y dividimos sobre 4, (es decir por la unidad). Y ahora si.

$\displaystyle \int{\frac{4dx}{4u}}=\frac{1}{4}\int{\frac{4dx}{u}=\frac{1}{4}}\int{\frac{du}{u}}$

Aplicando nuestra fórmula:

$\displaystyle =\frac{1}{4}\ln u+C$

Regresando nuestro valor de la variable U.

$\displaystyle =\frac{1}{4}\ln u+C=\frac{1}{4}\ln \left( 4x-10 \right)+C$

Así que:

$\displaystyle \int{\frac{dx}{4x-10}}=\frac{1}{4}\ln \left( 4x-10 \right)+C$

¡¡¡Fácil!! nuevamente.

Ejercicio 1.3

$\displaystyle \int{{{e}^{3x}}{{({{e}^{3x}}-8)}^{5}}dx}$

A simple vista parece un problema complicado, y difícil de resolver, peeeeero no es así, es mucho más fácil de lo que aparenta.

Primero, debemos identificar a quién tomaremos como U, y luego derivar a esta U respecto a "x", tal como lo hemos venido haciendo en los dos ejercicios anteriores.

Identificamos a U

$\displaystyle u={{e}^{3x}}-8$

Ahora tenemos que derivar.

$\displaystyle \frac{du}{dx}=3{{e}^{3x}}$

y despejamos a du

$\displaystyle du=3{{e}^{3x}}dx$

Por lo pronto tenemos la siguiente integral.

$\displaystyle \int{{{e}^{3x}}{{(u)}^{5}}}dx$

Pero recordemos que esta integral tiene que quedar en términos de "u, du" para poderse integrar, sino, no se podrá resolver, y si observamos nos queda aún términos en "x", veamos como pasarlo a "du".

Para que:

$\displaystyle {{e}^{3x}}dx$

Se vuelva como du

$\displaystyle 3{{e}^{3x}}dx$

Hace falta un 3 de coeficiente, y lo tenemos que colocar, solo que para que no alteremos la ecuación, vamos tanto a dividir sobre 3 cómo multiplicar a 3 la integral original.

De la siguiente forma:

$\displaystyle \int{{{e}^{3x}}{{(u)}^{5}}dx\cdot \left[ \frac{3}{3} \right]}$