Integrales por Partes – Ejercicios Resueltos

Hace algunos meses publicábamos sobre las integrales por sustitución, las cuales puedes leer aquí mismo  , en este ocasión vamos a tocar un tema relacionado con integrales pero aplicando el método “Por Partes”, ya que es uno de los métodos que tienen mucha aplicación en diversas áreas de ingeniería, el método por partes SIEMPRE se aplica para un producto entre dos funciones, es ahí donde radica la fórmula e integración por éste método.  😀

Veamos como se obtiene:

Sea

\displaystyle y=uv

Dónde

\displaystyle u=f(x)

\displaystyle v=g(x)

Sabemos entonces que por la derivada de un producto.

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ f(x)g(x) \right]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)

Y de esta misma tenemos que integrarla, quedando así:

\displaystyle \int{\frac{d}{dx}\left[ f(x)g(x) \right]dx}=\int{f(x)g'(x)dx}+\int{g(x)f'(x)dx}

\displaystyle f(x)g(x)=\int{f(x)g'(x)dx}+\int{g(x)f'(x)dx}

Despejamos a:

\displaystyle \int{f(x)g'(x)dx}

Para mayor comodidad, quedando así:

\displaystyle \int{f(x)g'(x)dx}=f(x)g(x)-\int{g(x)f\acute{\ }(x)dx}

Escribiéndolo en término de diferenciales, sabemos que:

\displaystyle du=f'(x)dx

\displaystyle dv=g'(x)dx

Quedando asi:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}

Ahora, antes de comenzar a resolver ejercicios donde apliquemos el método de por partes, es necesario tener en cuenta lo siguiente: Es muy probable que de la integral original nos quede una integral más, es decir; no en el primer intento de integración obtenemos el resultado, nos puede quedar otra integral más y seguiremos resolviendo.

Ahora, a pesar de que no existe una regla correcta para poder comprobar la variable adecuada en nuestra elección para U, o dV, hay algunos criterios funcionales que aplica en la mayor parte para las integrales por partes, estos criterios son.

1.- Para integrales que tienen la forma:

\displaystyle \int{p(x)\ln xdx}

\displaystyle \int{p(x)arcsenxdx}

\displaystyle \int{p(x)arccosxdx}

\displaystyle \int{p(x)arctanxdx}

Donde p(x) es un polinomio, se recomienda siempre hacer U a la función trascendente, mientras que dv = p(x) [El polinomio]

2.- Para integrales que tienen la forma:

\displaystyle \int{p(x){{e}^{ax}}dx}

\displaystyle \int{p(x)senxdx}

\displaystyle \int{p(x)\cos xdx}

En donde p(x) es un polinomio, se recomienda siempre hacer u = p(x), mientras que dv a la función trigonométrica o exponencial.

3.-  Apoyarse del acrónimo LIATE 

Dónde:

L = Logarítmicas

I = Inversas

A = Algebraicas

T = Trigonométricas

E = Exponenciales

Con este criterio podemos establecer para nosotros quien debe ser U, de izquierda a derecha, es decir primero buscamos que haya logarítimicas, sino pasamos al segundo que es inversas, luego algebraicas y así sucesivamente.

Ejercicios Resueltos de Integrales Por Partes

En el siguiente ejemplo se resuelven las dos siguientes integrales:

1.- \displaystyle \int{x{{e}^{x}}dx}

2.- \displaystyle \int{{{x}^{3}}\ln x}dx

Solución:

También se resuelve las siguientes integrales:

\displaystyle \int{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}

\displaystyle \int{{{x}^{2}}\cos xdx}

\displaystyle \int{{{e}^{x}}senxdx}

\displaystyle \int{{{e}^{2x}}sen3xdx}

\displaystyle \int{x\arctan dx}

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