Ley de Cosenos - Ejercicios Resueltos

ley de cosenos

En el artículo anterior hablamos sobre la ley de senos  y hoy le toca el turno a la ley de cosenos, una de las leyes también importantes en la trigonometría y geometría, necesaria para poder comprender las reglas que implica todo triángulo oblicuángulo (obtusángulo y acutángulo), es también conocida como una generalización del teorema de pitágoras.

Para utilizar la ley de cosenos en la resolución de problemas, es necesario entender que la podemos aplicar cuando tengamos los siguientes dos casos 🙂 :

  • Tener todos los lados y no tener un ángulo en común
  • Tener dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Contenidos
  1. Fórmula para la Ley de Cosenos
  2. Aplicación de la ley de senos y cosenos
  3. Ejercicios Resueltos de la Ley de Cosenos

Fórmula para la Ley de Cosenos

La fórmula será la siguiente:

\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma

\displaystyle {{a}^{2}}={{c}^{2}}+{{b}^{2}}-2bc\cos \alpha

\displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos \beta

ley de cosenos 1

Hay que tener en cuenta que la relación que nos proporciona ésta ley,  puede ser para diversas variables, no casarse con la idea de que los lados tienen que ser  ABC, (a, b, c), si no que también pueden tener otras literales. Es por ello muy importante tener en cuenta lo siguiente:

Para encontrar un lado, basta con elevar al cuadrado las variables de los otros dos lados, menos el doble producto de ambas variables, por el coseno del ángulo que es opuesto al lado que deseamos encontrar.

Bien... Pero para entender mejor, hagamos el siguiente ejercicio 😎

1.- En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm, c = 19cm, <B = 55° , Resuelva el triángulo

 

Solución: 

Para poder resolver el siguiente ejercicio, asumimos que el lado que deseamos encontrar es el lado b, puesto que el ángulo opuesto es B, entonces nuestra fórmula queda:

\displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cdot \cos B

De esto resulta

\displaystyle {{b}^{2}}={{13}^{2}}+{{19}^{2}}-2(13)(19)\cdot \cos (55{}^\circ )

\displaystyle {{b}^{2}}=169+361-494(0.5735)

Por lo que:

\displaystyle {{b}^{2}}=246.6532

\displaystyle b=15.7052cm

Ahora tenemos los tres lados de nuestro triángulo, pero nos hace falta conocer los ángulos, para ello, considero un ángulo que deseo calcular que bien puede ser el ángulo A o el ángulo C.

En este caso, elegiré el ángulo A, por lo que mi ecuación quedará:

\displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cdot \cos A

Sin embargo, el valor del lado a, b y c ya los tengo, entonces procedo a despejar el coseno de A, para resolver.

\displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=-2bc\cdot \cos A

Despejando aún más...

\displaystyle \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}=\cos A

Invirtiendo la ecuación

\displaystyle \cos A=\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}

Listo, ahora es momento de sustituir nuestros valores:

\displaystyle \cos A=\frac{{{13}^{2}}-{{15.7052}^{2}}-{{19}^{2}}}{-2(15.7052)(19)}=0.7350

Ahora aplicando coseno inverso.

\displaystyle A={{\cos }^{-1}}(0.7350)=42.69{}^\circ

Por lo que el ángulo A, es de 42.69 grados.

Ahora mediante la suma de ángulos internos en un triángulo, aplicamos la propiedad para encontrar el ángulo restante:

\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ

\displaystyle 42.69{}^\circ +55{}^\circ +\angle C=180{}^\circ

Despejando a <C

\displaystyle \angle C=180{}^\circ -42.69{}^\circ +55{}^\circ =82.31{}^\circ

Por lo que nuestro ejercicio está resuelto. Tenemos el triángulo completo 🙂

Aplicación de la ley de senos y cosenos

Al igual que la ley de senos, la ley de cosenos puede aplicarse para diversos problemas de la vida cotidiana, para ello colocaremos un ejemplo ilustrativo y su resolución:

Empecemos con la Ley de Cosenos:

2.- Un ingeniero topógrafo que se le olvidó llevar su equipo de medición, desea calcular la distancia entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto A, y con los únicos datos que tiene hasta ahora son las distancias de el respecto a los otros edificios, 180 m y 210 m, respectivamente, también sabe que el ángulo formado por los dos edificios y su posición actual "A" es de 39.4° ¿Qué distancia hay entre los dos edificios?  

Solución:

Para este caso es importante analizar que tipos de datos tenemos al comienzo, y leyendo el enunciado del problema, así como viendo la imagen podemos darnos cuenta que solamente tenemos dos lados y un ángulo entre dichos lados, es lógico que lo primero que tenemos que hacer, será utilizar la ley de Cosenos.

En este ejercicio vemos que el ángulo que tenemos como dato, es opuesto a la distancia que deseamos encontrar, por lo que nuestra fórmula es ideal para aplicarla de comienzo.

\displaystyle {{d}^{2}}={{(180m)}^{2}}+{{(210m)}^{2}}-2(180m)(210m)\cos (39.4{}^\circ )

despejando el cuadrado del primer miembro:

\displaystyle d=\sqrt{{{(180m)}^{2}}+{{(210m)}^{2}}-2(180m)(210m)\cos (39.4{}^\circ )}

Empezamos a resolver:

\displaystyle d=\sqrt{18081.34{{m}^{2}}}

\displaystyle d=134.47m

Por lo que la distancia entre los dos edificios es de 134.47 metros aproximadamente. 😀

Ahora veamos un ejercicio para aplicar la Ley de Senos.

3.- La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos son de 58°20' y 67°32'. ¿A qué altura del suelo se encuentran?

Solución: Podría tratarse de un problema, sumamente complicado... Pero, no lo es. Por lo tanto procedemos a aplicar la ley de senos... No sin antes,  convertir nuestros grados - minutos a grados decimales.

<A = 58°20' = 58.3333

<B =67°32' = 67.5333

Comprobamos el ángulo faltante.

\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ

\displaystyle \angle C=180{}^\circ -\angle A-\angle B

Sustituyendo valores

\displaystyle \angle C=180{}^\circ -58.33{}^\circ -67.53{}^\circ =54.14{}^\circ

Ahora, tenemos los 3 ángulos completos.

Vamos a calcular el lado a, que sería el lado opuesto al ángulo A 😎

No podríamos aplicar la ley de cosenos, porque nos haría falta un lado forzosamente, por lo tanto recurrimos aplicar la ley de senos.

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}

Tenemos los 20Km que el problema nos da de referencia, y tenemos el ángulo opuesto a ese lado, que es el que encontramos de 54.14°, entonces tomamos esos datos para aplicar la ley de senos, a cualquier otro lado.

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{c}{senC}

Despejando "a"

\displaystyle a=\frac{c\cdot senA}{senC}

Sustituyendo valores:

\displaystyle a=\frac{20km\cdot sen(58.33{}^\circ )}{sen(54.14{}^\circ )}=21km

Por lo que, el lado a mide 21 kilómetros.

Ahora podemos aplicar la función seno del ángulo 67.53 para obtener el cateto opuesto, que sería nuestra altura.

\displaystyle sen67.53{}^\circ =\frac{h}{20.95km}

despejando h = altura del globo

\displaystyle h=(sen67.53)(21km)=19.40km

Por lo que la altura del globo, es de 19.4 kilómetros aproximadamente (Redondeando).

Ahora es momento de practicar, resuelve los siguientes ejercicios. 🙂

Ejercicios Resueltos de la Ley de Cosenos

Una vez que entendemos que en la resolución de triángulos oblicuángulos se requiere conocer:

  1. Tener al menos los 3 lados.
  2. Dos lados y el ángulo comprendido.

Ya podemos comenzar a resolver ejercicios sin problema alguno, ahora mismo se mencionan dos ejercicios para resolver y verificar si el resultado al que llegaste fue correcto 😀

3.- Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que a = 19 cm, b = 24 cm y c = 13 cm. 

Ver solución

4.- Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que <A =57°36', b = 9cm y c = 15cm. 

Ver solución

Carlos julián

Carlos Julián es ingeniero mecatrónico, profesor de física y matemáticas y dedicado a la programación web. Creador de contenido educativo y maestro en ciencias de la educación.

Temas que podrían interesarte 👇

    89 Comentarios Publicados

  1. Aide Luja dice:

    DISCULPA TE EQUIVOCASTE NO BNO ME PARECE QUE EL ANGULO "B"
    ES 67.53 PERO AL REDUCIRLO PARA SACAR EL ANGULO "C" LO PUSISTE COMO 67.33

    1. Efectivamente Aide, ya corregido. Al momento de pasar la reducción, se nos olvidó el número.

      Saludos

      1. Aide Luja dice:

        bueno muchas gracias 🙂 ya estoy practicando

      2. laura dice:

        hola me puedes ayudar una tarea que necesito por favor es que no entiendo el tema bien de teorema y seno y coseno

    2. El 297 Alias *el chingon* dice:

      Oigan, alguien sabe como cambiar la llanta de una bici

  2. lexy dice:

    necesito ayuda con un problema

  3. lexy dice:

    porfa es urgente

  4. Salvador dice:

    Aqui se necesita ayuda con un buen problema...

  5. Adrián dice:

    me podrian ayudar poniendo mas ejemplos es que me pidieron 10 :´(

  6. Diaa dice:

    Como le quitas el cuadrado para pasarlo a cm

  7. Beto Polivoz dice:

    muchas gracias ha sido de gran ayuda para preparacion, y no he podido bajar el pdf de ejercicios de dropbox al parecer ya no esta disponible.- gracias y espero su comentario respecto al pdf

    1. Si sirve Beto, ¿qué error te manda?

    2. Orlando Barrera dice:

      a) a=50°,b=12,c=10
      B) b=120°,a=8 , c=10
      C) y=22°, a=8, c=5
      D) B=77°, a=6, c= 7

      1. Víctor dice:

        Si A=110 grados, a=13cm y c=8 hallar b=?

  8. Bill Racer. dice:

    No me aparece el archivo

    1. Debe aparecer Bill, intenta de nuevo.

      1. Orlando Barrera dice:

        Faltan los valores de los angulos

  9. Archivo reparado, ya se puede descargar.

  10. sara salcedo ortiz dice:

    gracias me sirvio tus explicaciones

    1. Hola Sara, puedes descargar los que están en la hoja de descarga.

      Saludos

  11. sara salcedo ortiz dice:

    por fa necesito tres problemass de coseno me puedes ayudar

  12. gracias fue de buena ayuda para mii pero me parece que deberian poner mas ejemplos

    1. En eso estamos Luisa, el crear más ejemplos de éstos y crecer la comunidad.

      Saludos

  13. sarai guate dice:

    necesio mas ejemplos de coseno me urge para ahorita por fa aydenme

  14. me parece de gran ayuda tu pagina sigue adelante te recomendare en mi fb 🙂

  15. Ana dice:

    Muchas gracias, han sido de mucha ayuda los ejemplos, y la práctica donde puedo conseguir las respuestas?

    1. Las respuestas, las iremos resolviendo en Ingtelecto.com

      Pronto.

      Saludos Ana!

  16. Hola Prof, Carlos Julian en el ejercicio 1 el resultado de b no esta correcto porque 246.6532 si se le saca la raiz es 15.7051... y luegoen el en cos A cuando se sustituyen los valores, no entiendo de donde sale el 0.7350 me podria explicar por favor.

    1. Angelic dice:

      Porque 13x13-15.7032x15.7032-19x19% -2%15.7032%19= 0.7350

  17. Carlos Tello dice:

    Muy bueno, nada más me puedes decir que operación utilizas para convertir los grados-minutos a grados decimales por favor...con la calculadora cientifica si se puede, pero sí no me dejan utilizarla, como lo hago??? Estoy estudiando para un exámen de admisión.

    1. Deberías tomar nuestros cursos Carlos, ahí se explica paso a paso tus dudas. http://www.fisimat.com

      Saludos.

      1. Jordan dice:

        Me pueden ayudar en algo?

  18. sol dice:

    gracias por tanto

    1. A ti por visitarnos, saludos.

  19. andrewo410 dice:

    mira no entiendo esto sera que me lo podrias explicar

    longitud de una sombra.un camino recto hace un angulo de 15 grados con la horizontal. cuando el angulo de elevacion del sol es de 57 grados. un poste vertical que esta a un lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de largo directamente cuesta abajo,como se muestra en la figura.calcula la longitud del poste

  20. carlos dice:

    Otra vez yo... porque al despejar el cosA en el primer ejemplo dejas el -2ab como negativo??? no debería ser positivo??

    1. gsdafdsfsd dice:

      se esta multiplicando y pasa dividiendo, asi que el signo no cambia

  21. aún está activo este blog?

    1. Hola Sergio, estamos más activos que nunca. Saludos

  22. Marco Camacho dice:

    En el segundo ejercicio no comprendo lo de altura..agredeceria ayuda

    1. Sofia dice:

      eso mismo yo tampoco lo entiendo :'v

  23. Liiz dice:

    Hola. Tienes el solucionario del pdf??
    Cómo hago para saber si los ejercicios me quedaron bien?
    agradezco tu atención

  24. Liiz dice:

    Hola. Tienes solucionarlos de los pdf??

    1. Eduar dice:

      Si ya los tengo

  25. CARLOS NAVARRO dice:

    Para encontrar un lado, basta con elevar al cuadrado las variables de los otros dos lados, menos DOBLE producto de ambas variables, por el coseno del ángulo que es opuesto al lado que deseamos encontrar.
    CORREGIR, PORQUE SE TIENE MENOS EL PRODUCTO Y ES EL "DOBLE O DOS VECE EL PRODUCTO"

    1. Ya se corrigió el detalle Carlos, gracias!

  26. buenas tarde profes necesito una audita,es urgente es un taller para mañana les agradezco me lo pueden enviar al correo la respuesta Dios les ha de bendecir.
    1. una piscina en forma de riñón va ha ser medida entre dos puntos AyB,para tal fin,se ubica un punto C de tal manera que la distancia entre Ay C es de 10 metros,se determina que el angulo C mide 115º y que el angulo B mide 35º ,halla la distancia entre los puntos A Y B.
    2.Dos puntos A y B están localizados en lados opuestos de un río, otro punto C se localiza en el mismo lado de B a 53 metros de este con los tres puntos se determina un triangulo en el que la medida del angulo B es de 105º y la del angulo C es de 20º determina la distancia entre los puntos Ay B

  27. Ramon dice:

    muy bueno! Gracias!!

    1. Angelic dice:

      Hola Prof, Carlos Julian en el ejercicio 1 el resultado de b no esta correcto porque 246.6532 si se le saca la raiz es 15.7051… y luegoen el en cos A cuando se sustituyen los valores, no entiendo de donde sale el 0.7350 me podria explicar por favor.

      1. Tienes que poner la operación en la calculadora Angelica!

  28. Vero dice:

    Necesito ayuda plisss😌

  29. jessica johana flores dice:

    hola este en el ejercicio numero 3 al momento de sacar el cos del Angulo b te sale 95.34 en el arcos -0931 y a mi me sale 84.65 estoy haciendo algo mal, o es error en la resolucion del problema?

  30. jessica johana flores dice:

    se cancela todo ya entendi jaja

  31. Sofia dice:

    Holap oye porque en el problema seno de la altura dice 20.95 y después 21 km

    1. Las cantidades se redondean, pero no quiere decir que necesariamente tengan que ser así. Saludos!

      1. mary dice:

        Buenas tardes profesor Carlos Julian podria ayudarme con un ejercicio es que estoy enrredada con la ley del seno y coseno: El ángulo mas amplio de un triángulo mide 110° y es formado por dos lados que miden 8 metros y 13 metros. Ubique el lado restante.

  32. Sofia dice:

    Hola oye entonces porque en ese ejercicio del seno primero veo que para hallar la altura aparece 20.95 y después 21 porque pasa eso? :0

    1. Sofia, se está redondeando la cifra.

  33. Sofia dice:

    No entendi la altura del teorema del seno :v

  34. esther dice:

    hola ,linda tarde nesecito su ayuda me piden 10 ejercicios c/u de ley de pitagoras, thales de mileto y de senos y cosenos seria tan amable de enviarme .

  35. Jesús SD dice:

    Para comprobar los ejercicios de triángulos podeis usar TrianCal que está en la web Procomun

  36. Natalia dice:

    Buenas tardes. disculpa cuando me daan un tríangulo con dos ángulo y dos lados, se utiliza la ley del seno o la ley del coseno?

  37. JUAN CAMACHO dice:

    HOLA NECESITO RESOLVER UNOS EJERCICIOS A

  38. David Arturo Chanquin Velasquez dice:

    me sirvió mucho, muchas gracias

  39. Jhon Maita dice:

    Saludos profe, tengo un ejercicio con un triangulo oblicuángulo, donde me dan dos lados pero ningun angulo, sera posible aplicar la ley del seno o del coseno?

  40. Andrea dice:

    Me podrían ayudar con un problema😔

  41. Jesus Atencia dice:

    Nesecito mas soluciones de la ley del coseno

  42. Isabel Buendía Cortés dice:

    Tengo una duda, lo de abajo no es negativo en los tres

    cos A = (b2+ c2-a2)/ (2bc) lo de abajo ¿no es nagativo?, pero lo mismo para Cos B y par CosC , es que en lops ttres casos lo pones positivo y tengo esa duda , ¿ es nagativo o es positivo?, porque en el problema 3, de aplivación lo de abajo (el demominador) lo pones positivo.
    De favor, tengo esa duda.

  43. Isabel Buendía Cortés dice:

    Buenos días Prof.
    El comentario anterior lo preciso con mayor exactitud: En el problema 3, dentro de los Ejercicios Resueltos de la Ley de Cosenos, realiza tres despejes de los cosenos: cos A, cos B y cos C, en los tres casos el denominador lo indica positivo, mi duda es ¿ el denominador es positivo o negativo? , retomo ejercicio 3, de los Ejercicios Resueltos de la Ley de Cosenos. Gracias

    1. Isabel, efectivamente en los despejes son negativos.

  44. liliana ardila dice:

    lo q pasa es q en el ejercicio 1 la suma de 169 + 361-494(0.5735) mi profesor dice q esta mal porq el resultado es 246.691
    no se quien tiene razon?

    1. Liliana, justamente así tenemos el resultado.

  45. Mariana Morales Márquez dice:

    Los valores de los ángulos me dan diferentes y el resultado me da otro. No es error de mi calculadora, porque lo investigué y el valor de COS y SIN son otros, creo que se usaron otros, así que no me dan los resultados e hice los mismos pasos que dice el problema.

  46. Jordan dice:

    Es urgente enserio

  47. yenifer perez dice:

    Fue de una gran ayuda para resolver dudas

  48. Julia dice:

    si en el ejercicio de "Un ingeniero topógrafo (...)" me piden que lo resuelva con la formula de "b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B"
    como deberia resolverlo???? gracias de antemano 🙂

  49. Cristian dice:

    Tengo un problema...
    b=12 c=12 C=68°
    Como se puede resolver?
    Agradeceria la ayuda

  50. Karen dice:

    Hola profe, tengo una duda con un ejercicio de la escuela

  51. mary dice:

    Buenas tardes profesor Carlos Julian podria ayudarme con un ejercicio es que estoy enrredada con la ley del seno y coseno: El ángulo mas amplio de un triángulo mide 110° y es formado por dos lados que miden 8 metros y 13 metros. Ubique el lado restante.

  52. deiby olave dice:

    nesesito ayuda con este triangulo un angulo mide 40 el lado mas largo mide 80 cm y otro mide 3 cm nesesito encontrar los dos angulos faltantes y el otro lado

  53. Elias Sanchez dice:

    me pueden ayudar con 5 ejemplos con la ley de de senos y ley de cosenos

  54. Min dice:

    Me ha ayudado mucho está explicación, muchas gracias :]
    Para profundizar en este tema, podrían por favor subir ejercicios con explicación que sean más apegados a cosas de la vida real?
    Gracias

  55. Vanesa dice:

    Resolver con ayuda ya la fórmula de la ley de los cosenos resolver los siguientes triángulos determinar el valor de un gato como en los ejemplos anteriores

    1 dato a=7cm b =5cm y c=8cm
    2 dato a=2.5cm b=3cm y c=4cm
    3 dato a=6cm b=3cm y c=5cm
    4 dato a =4cm b= 5cm y c=6cm
    5 dato a =4cm b= 2cm y c =3cm

    Ayuda q osino pierdo la materia

  56. Isabel Buendía Cortés dice:

    cos A=(13^2-15.7052^2-19^2) /-2(15.7052)(19)=0.7350
    Perdón Prof. Por mi ignorancia. aquí ¿Aplico la ley de los signos?
    (13^2-15.7052^2-19^2) /-2(15.7052)(19), es decir ¡me queda -0.7359? o es +0.7359?
    Muchas gracias.

    1. Isabel, se respeta el signo.

  57. angel dice:

    en el ejercicio 1 cuando despejamos el ángulo c debería ser c=180-42.69-55=82.31 y no c=180-42.69+55=192.31 deben de arreglarlo

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Subir
🤓 Estamos en Whatsapp 👉Únete a nuestro canal
+