Ley de Senos - Ejercicios Resueltos

ley de senos

El descubrimiento de la ley de senos dio gran paso a grandes descubrimientos de la geometría plana, y con ello la solución a muchos problemas que implicaban el cálculo de longitudes y ángulos, es por ello que el día de hoy hablaremos exclusivamente sobre la ley de senos, y de como aplicarlo a un caso especial para la primera condición de equilibrio. 😎

Una de las cosas que debemos saber acerca de la ley de senos, es que solo es aplicable a triángulos oblicuángulos, es decir aquellos triángulos los cuales no tienen ningún ángulo recto o de 90°.

También debemos considerar dos puntos importantes, para poder utilizar dicha ley, y consiste en aplicarla solo cuando nos encontramos bajo los siguientes dos casos:

  • Cuando los datos conocidos son dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
  • Cuando se tenga dos ángulos y cualquier lado.
Contenidos
  1. Fórmula para la Ley de Senos
  2. 📃 Ejemplos resueltos de la Ley de Senos
  3. 🔹 Ejercicios Resueltos de Ley de Senos Para Practicar

Fórmula para la Ley de Senos

La fórmula para resolver ejercicios de triángulos mediante la ley de senos, es la siguiente:

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$

También podemos emplear la misma fórmula, pero recíproca, es decir:

$\displaystyle \frac{senA}{a}=\frac{senB}{b}=\frac{senC}{c}$

ley de senos 1

📃 Ejemplos resueltos de la Ley de Senos

1.- En el triángulo  ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

ley de senos ejercicio

Solución: Si observamos, podemos ver que nuestro triángulo tiene dos ángulos y un solo lado, por lo cual podemos aplicar la ley de senos, sin embargo, podemos realizar un análisis sencillo para hallar el otro ángulo desconocido, tomando en cuenta que; la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo deben sumar 180°.

$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ $

Colocando, los datos que tenemos en nuestro triángulo.

$\displaystyle \angle A+42{}^\circ +76{}^\circ =180{}^\circ $

$\displaystyle \angle A+118{}^\circ =180{}^\circ $

$\displaystyle \angle A=180{}^\circ -118{}^\circ =62{}^\circ $

Por lo que el ángulo en A, es de 62 grados.

$\displaystyle \angle A=62{}^\circ $

Ahora tenemos que encontrar el valor de las longitudes de a y c, para ello recurriremos a la fórmula:

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$

Si observamos, nos interesa encontrar el valor del lado a y c, y ya tenemos a nuestra disposición cuanto equivalen los ángulos opuestos a esos lados, por lo cual, puedo tomar la igualdad que yo desee.

Supongamos que necesito encontrar el lado a entonces, hacemos:

$\displaystyle \frac{a}{sen62{}^\circ }=\frac{b}{sen42{}^\circ }$

Por lo que sustituyendo procedemos a despejar.

$\displaystyle a=\frac{b\cdot sen62{}^\circ }{sen42{}^\circ }=19.79cm$

Listo...! hemos encontrado el valor del lado a.

Ahora encontremos el lado restante.

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{c}{senC}$

$\displaystyle \frac{19.79cm}{sen62{}^\circ }=\frac{c}{sen76{}^\circ }$

despejando a "c"

$\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }$

realizando la operación:

$\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }=21.75cm$

por lo que el lado restante "c" mide 21.75 cm.

Problema resuelto.

2.- En el triángulo  ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

Solución

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En este ejemplo a diferencia del anterior, no disponemos de dos ángulos, solamente de dos lados, por lo cual no podemos sumar los ángulos internos, e iniciar el proceso como se hizo anteriormente. 🙁

Pero el problema nos proporciona un lado p = 12cm, y el ángulo opuesto a éste de 76°, por lo que podemos obtener otro ángulo, mediante la fórmula de senos.

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}=\frac{n}{senN}$

podemos elegir que ángulo deseamos encontrar, para este ejemplo, usaremos la igualdad:

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}$

despejando a Sen M

$\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}$

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula, obtenemos:

$\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}=\frac{(8cm)sen(76{}^\circ )}{12cm}=0.6469$

sacando la inversa del seno, para encontrar el ángulo, tenemos:

$\displaystyle se{{n}^{-1}}M=0.6469$

$\displaystyle M=40{}^\circ .18$

Ahora, como sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, encontremos el ángulo faltante.

$\displaystyle 180{}^\circ =\angle M+\angle N+\angle P$

$\displaystyle 180{}^\circ =40.18{}^\circ +76{}^\circ +\angle P$

$\displaystyle \angle N=180{}^\circ -40.18{}^\circ -76{}^\circ $

$\displaystyle \angle N=63.42{}^\circ $

Por lo que el ángulo restante, es de 63.42°

El siguiente lado que nos falta por encontrar, lo volveremos hacer con la ley de senos.

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{n}{senN}$

Despejando a " n".

$\displaystyle n=\frac{p\cdot senN}{senP}$

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula:

$\displaystyle n=\frac{(12cm)\cdot sen(63.42{}^\circ )}{sen(76{}^\circ )}=11.09cm$

Por lo que el valor de n = 11.09 cm.

y con eso se da por resuelto el problema.

Veamos otro ejemplo:

3.- En el triángulo  ABC, a = 24 cm, <B = 33°, y <A = 108°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

Veamos, el triángulo formado con los datos propuestos:

Solución:

Con los datos obtenidos en el problema, es mucho más fácil hacer la relación de la fórmula a utilizar.

Como deseamos encontrar el lado b y c, podemos aplicar lo siguiente:

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}$

Posteriormente, despejar a "b", quedando así:

$\displaystyle b=\frac{\left( a \right)\left( senB \right)}{senA}$

Sustituyendo

$\displaystyle b=\frac{\left( a \right)\left( senB \right)}{senA}=\frac{\left( 24cm \right)\left( sen33{}^\circ \right)}{sen108{}^\circ }\approx 13.74$

Podemos ahora calcular el ángulo C, haciendo lo siguiente:

$\displaystyle 180{}^\circ =108{}^\circ +33{}^\circ +\sphericalangle C$

Qué obtendríamos:

$\displaystyle \sphericalangle C=180{}^\circ -108{}^\circ -33{}^\circ =39{}^\circ $

$\displaystyle \sphericalangle C=39{}^\circ $

Ahora procedemos a calcular el lado "C"

Aplicando la siguiente fórmula:

$\displaystyle \frac{c}{senC}=\frac{b}{senB}$

Obtenemos que:

$\displaystyle c=\frac{\left( b \right)\left( senC \right)}{senB}=\frac{\left( 13.74cm \right)\left( sen39{}^\circ \right)}{sen33{}^\circ }\approx 15.87$

Ahora es momento de practicar, resuelve los siguientes ejemplos 🙂

🔹 Ejercicios Resueltos de Ley de Senos Para Practicar

Una vez que se ha entendido el tema por completo, es importante resolver más ejercicios para profundizar más el tema. Se recomienda resolver los siguientes ejemplos en su cuaderno y después verificar si el resultado coincide con la solución 😀

Problema 3. Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que: c = 28 cm, <A = 69° y <B = 35° 

Ley de Senos - Ejercicios Resueltos

👉 Ver solución

Problema 4. Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que: b = 57 cm, c = 35 cm y <B = 42° 

Ley de Senos - Ejercicios

👉 Ver solución

Carlos julián

Carlos Julián es ingeniero mecatrónico, profesor de física y matemáticas y dedicado a la programación web. Creador de contenido educativo y maestro en ciencias de la educación.

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    51 Comentarios Publicados

  1. Isabel dice:

    Una observación en el primer ejemplo, el valor de c es 21.74 no 19.75

    1. Gracias Isabel, lo verificaremos en breve, una vez comprobado lo corregimos.

      Saludos 🙂

    2. Nallely dice:

      Pense que era la unica a la que le habia salido eso, gracias por un momento pense que estaba haciendo algo mal

      1. Marcos antonio pozos barranco dice:

        6

    3. Will Argueta dice:

      El primer ejercicio me dio a=23.86cm b=14.66 cm , si me equivoque que alguien me corrija..!

  2. dana dice:

    por lo que he aprendido en el primer ejemplo se utiliza la ley de los senos cuando se conocen dos angulos y un lado y en el primer ejemplo a'sen62.b'sen42 hay dos incognitas y solamente deberia de haber una

    1. jeison p dice:

      Dana Mira la ley de seno solo se aplica cuando nos dan un lado y el opuesto a ese lado EJEM: Lado b y angulo B y el Otro dato es complementario

  3. Leo dice:

    En el segundo ejercicio el angulo P es conocido, el angulo N es que vale 63.42

  4. Naomi dice:

    El resultado del primer ejercicio en c es 21.74 y no 19.75

  5. emmanuel dice:

    en el primero y el segundo estan las mismas instrucciones mas no es el mismo problema debeis cambiar las instrucciones del segundo y poner las correctas

    1. Se ha corregido Emmanuel, saludos.

  6. Tengo una duda ¿de donde sale el 118?

    1. No entiendo amigo, ¿118? , no veo donde esté ese valor.

    2. Angelly Andrea dice:

      el 118 ,sale de la suma del angulo 76 y el angulo 42,del primer ejecicio ...saludos

  7. ELEAZAR dice:

    En el segundo ejercicio que se hizo para que el lado M diera 40°.18 si el resultado era 0.6469???

    1. santiago marzo dice:

      se debe calcular sen a la potencia -1. Resulta 40.30.- En virtud que un angulo que mida 40 grados y lo que está a la derecha son fracciones de minuto, se debe multiplicar por 60 para poder pasar fracción de grados a minuto. Hecho lo cual el angulo resultante será 40º18´.- ¿ok?

      1. jukilloz dice:

        no te entendi nada, ayuda porfa de dondse sale ese 40 grados angulo M, me perdi totalmente no especifican nada, gracias de antemano

    2. Ramón Elías Canela dice:

      Se aplicó la inversa del seno, o también arcoseno (arcsen) que es lo mismo.

    3. Grettel dice:

      Una duda, yo usé la fórmula c/SenC= a/SenA y me salió 78.1 cm, no se supone que debería salir lo mismo?

      1. Si así es Grettel debe salir lo mismo.

  8. Santiago dice:

    Hola, creo que en el ejemplo 2 el ángulo N es 63,82 y no 63,42. Ya que al momento de sumarlos el resultado obtenido no da 180 sino 179,6. Muchas gracias por tu ayuda.

  9. adrian dice:

    disculpa el primer ejemplo para alla a minuscula esta mal porque tiene que dar 22.14

  10. adrian briceño dice:

    y el c daria 27.13

  11. Carlos Tello dice:

    Te agradezco mucho el espacio, el texto es comprensible y el dinamismo de la página me hicieron comprender muy bien lo que me enseñaron en prepa. Muchas felicidades por tu página!!!

    1. Gracias Carlos, de eso se trata de que se comprenda por completo.

    2. Tania Hernández dice:

      Hola tengo un ejercicio que no podemos hacerlo.
      En el triángulo ABC, b=18cm, m< A=86° y, m<c=64°. Me piden la ecuación para determinar la medida de b.

  12. Alejandro dice:

    oye hay alguna forma de sacar el sen de 62(como en el primer ejercicio) pero sin calculadora?

    1. No, solamente sería útil aprender los ángulos notables, que son el ángulo de 30, 45, 60, 90, y así sucesivamente

  13. carlos dice:

    Una pregunta, porque en el segundo ejemplo, cuando despejas el senM, inviertes la igualación del ángulo y lado P???

    1. Es un problema de despejes Carlos, dime si sigues teniendo problemas, En el blog hay un artículo que habla sobre como despejar variables, quizá te pueda servir.

  14. maryan dice:

    me pueden ayudar por fa el mio es de convertir de grados a minutos y no se como hacerlo

  15. claudia dice:

    para que problemas se utiliza la ley de senos?

    1. Si observas los ejemplos, es para cuando solamente conocemos dos ángulos y un lado, y también para cuando tenemos un ángulo y dos lados. Es aplicable en Física.

  16. Xymenya dice:

    Esto no es más que una simple regla de 3, es decir:
    Sin 76°/12cm= Sin ?/8cm
    Por lo tanto, para obtener el ángulo A tenemos que : Sin 76°x8cm÷12cm

  17. loquitoerras dice:

    hola
    como sacaste el 19.7 de lo se seno de 62 y 42

  18. henyerber camacho dice:

    alguien me daria un ejemplo de el coseno disculpen es que no entiendo por que me enrede todo con lo de el seno y las diferencias

  19. Raúl Rivera dice:

    Hola, como sería para utilizar la ley de senos con angulos con minutos?
    Tengo que un triangulo mide tiene como medidas: c=60cm, A=80º25' y B=35º43'
    Como sería para sacar a, b y C?

  20. Katty dice:

    Muchaas gracias lo entendí a la perfección ✌

  21. Ramón Elías Canela dice:

    Se aplicó la inversa del seno, o también arcoseno (arcsen) que es lo mismo.

  22. Paula dice:

    Buenos dias por favor me colabora del siguiente triangulo en el cual tengo el valor de angulo C=80 GRADOS y el lado c=8, para saber como averiguo cual es el valor del angulo A Y B y los lados a y b. gracias si me pueden colaborar

  23. Omar dice:

    Duda si hubo error o no??

  24. jairo dice:

    De donde sacan el valor por ejemplo de Sen33° o Sen108°? A mi con mi calculadora me da otro valor

  25. Ingrid garcia dice:

    Tengo una enorme duda, si los lados estan en letra mayuscula y los angulos en minuscula, como aplico la formula en el siguiente ejercicio:

    angulo a 60°, b y c, se desconocen
    lado B se desconoce y el lado A = 30 cm y el lado C= 60cm
    t
    teniendo en cuanta que el lado C es la base del triangulo
    y el angulo a es la union de la base C con el lado B

  26. Ingrid garcia dice:

    Ayuda urgente xfa

  27. Luz Míriam Londoño Cano dice:

    Gracias me orientó bastante

  28. Débora Verenzuela dice:

    Una pregunta, la ley de senos se puede aplicar utilizando valores de grados junto a minutos? Por ejemplo un ángulo que mida 49°40'

    1. Claro que si, es totalmente correcto. Puedes hacer la conversión.

  29. ALFONSO ENRIQUE VILLANUEVA MARRUFO dice:

    Únicamente comentar que es una forma por demás explicita e interesante de enseñar este tipo de problemas.
    GRACIAS

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