Ley de Tangentes – Ejercicios Resueltos

Carlos julián Octubre 29, 2015 Física, Matemáticas 9 comentarios

Hey que tal!!! antes de iniciar el artículo, perdonar la falta de acentuación en el comic de arriba, pero el tipo de fuente no permite agregar acentos.. 🙁

Ahora si… En la semana publicamos dos artículos relacionados con la ley de senos y la ley de cosenos. En la cual se desarrollaron algunos ejercicios resueltos e indicado para que tipo de casos se suelen aplicar. Pero estoy seguro que también te has hecho la pregunta. ¿Y existirán también ley para las tangentes?

La respuesta es Siii! las tangentes también tienen sus propias leyes y sirven para lo mismo, para encontrar ya sea ángulos o lados de los triángulos oblicuángulos entonces ¿cómo podemos aplicarlo?

Fórmula para ley de tangentes

La fórmula para resolver ejercicios donde apliquemos ley de tangentes, es la siguiente:

$\displaystyle \frac{a-c}{a+c}=\frac{\tan \left( \frac{A-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+C}{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{b-c}{b+c}=\frac{\tan \left( \frac{B-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{B+C}{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \left( \frac{A-B}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+B}{2} \right)}$

¿Qué nos dice la fórmula de la ley de tangentes?, el cociente entre la suma y resta de dos lados es igual a la razón entre la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a cada uno de los lados, y la tangente de la semisuma de dichos ángulos.

Puede ser un poco confuso entender teóricamente lo que significa, pero veamos un ejemplo resuelto.

Ejemplos resueltos de la ley de tangentes

1.- En el triángulo ABC, c = 10 cm, A = 68° , C = 36°, Resuelve el triángulo

Solución: Si observamos, tenemos el siguiente triángulo:

Si tenemos el lado c y el ángulo C podemos relacionarlo con otro lado y su ángulo opuesto, para esta ley no nos servirá de nada tener un lado que no conocemos y su ángulo opuesto que tampoco conocemos, necesitamos al menos un ángulo conocido y el lado opuesto o viceversa. 😎

En este ejemplo tenemos el ángulo A, pero nos falta su lado, entonces ahí si podemos aplicar nuestra ley de tangentes, para ello, usaremos la fórmula:

$\displaystyle \frac{a-c}{a+c}=\frac{\tan \left( \frac{A-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+C}{2} \right)}$

y sustituimos nuestros datos:

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=\frac{\tan \left( \frac{68{}^\circ -36{}^\circ }{2} \right)}{\tan \left( \frac{68{}^\circ +36{}^\circ }{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=\frac{\tan (15{}^\circ )}{\tan (55{}^\circ )}$

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=\frac{0.2867}{1.2799}$

realizamos el cociente de los decimales de las tangentes.

$\displaystyle \frac{a-10}{a+10}=0.2240$

Empezamos a despejar nuestra variable “a”

$\displaystyle a-10=0.2240(a+10)$

$\displaystyle a-10=0.2240a+2.240$

$\displaystyle a-0.2240a=2.240+10$

$\displaystyle 0.776a=12.240$

$\displaystyle a=\frac{12.240}{0.776}=15.77cm$

$\displaystyle a=15.77cm$

que sería nuestro lado a, ahora podemos calcular nuestro lado restante, con la misma ley. Pero para ello, hay que conocer el ángulo B, que podemos hallarlo muy fácil mediante lo siguiente:

$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ$

$\displaystyle 68{}^\circ +\angle B+36{}^\circ =180{}^\circ$

$\displaystyle \angle B=180{}^\circ -68{}^\circ -36{}^\circ$

$\displaystyle \angle B=76{}^\circ$

Por lo que tenemos el ángulo de B, ahora si podemos resolver mediante la ley, para encontrar el lado b

Podemos elegir el lado a y b, o podemos elegir la fórmula donde relaciona al lado c y b, eso queda a nuestra elección… Ya que podemos encontrar el lado de b, mediante las dos fórmulas:

$\displaystyle \frac{b-c}{b+c}=\frac{\tan \left( \frac{B-C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{B+C}{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \left( \frac{A-B}{2} \right)}{\tan \left( \frac{A+B}{2} \right)}$

En este caso, usaremos el lado a y b.

y empezamos a sustituir datos.

$\displaystyle \frac{15.77-b}{15.77+b}=\frac{\tan \left( \frac{68{}^\circ -76{}^\circ }{2} \right)}{\tan \left( \frac{68{}^\circ +76{}^\circ }{2} \right)}$

$\displaystyle \frac{15.77-b}{15.77+b}=\frac{\tan \left( -{{4}^{{}^\circ }} \right)}{\tan \left( {{72}^{{}^\circ }} \right)}$

$\displaystyle \frac{15.77-b}{15.77+b}=\frac{-0.0699}{3.0776}$

$\displaystyle \frac{15.77-b}{15.77+b}=-0.0227$

$\displaystyle 15.77-b=-0.0227(15.77+b)$

despejando a “b”

$\displaystyle 15.77-b=-0.3579-0.0227b$

$\displaystyle -b+0.0227b=-0.3579-15.77$

$\displaystyle -0.9773b=-16.1279$

$\displaystyle b=\frac{-16.1279}{-0.9773}=16.5025cm$

$\displaystyle b=16.5025cm$

Y listo…! 😎

Con esta ley podemos encontrar también los lados y ángulos de un triángulo oblicuángulo…

Intenta bajar los ejercicios para la ley de senos, y resuélvelos por el mismo método 🙂

Acerca del Autor

Carlos julián

Fundador de Fisimat, Desarrollador Web y Profesor.

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9 Comentarios

Alejandro
Enero 1, 2016 | Responder
Hola 🙂
disculpa, cuando
comienzas a despejar “b”, en el 3er paso ¿de donde sale -0.9773b? ayúdame por favor 😀

Carlos julián
Enero 2, 2016 | Responder
Muy fácil Alejandro.
Recuerda que tenemos esta parte:
– b + 0.0227b = -0.3579 – 15.77
Si te das cuenta el ( – b ) , tiene el coeficiente de – 1, no se coloca pero ahí está, entonces obtienes lo siguiente:
-1b + 0.0227b = – 0.9773b
En pocas palabras, estamos restando -1 a 0.0227
Saludos 🙂

Alejandro
Enero 2, 2016 | Responder
ya entendí, muchas gracias 😀
saludos 🙂

Julian
Enero 27, 2016 | Responder
Hola, como resolvería un triángulo en el que me dan dos lados y un ángulo, con la ley de la tangente???

Carlos julián
Enero 27, 2016 | Responder
Tienes que analizar si es posible o no, en este caso no es posible, para eso hay otras leyes que las puedes buscar en el blog.
Observa la fórmula, ahí te puedes dar cuenta si es posible o no.

Alejandro
Mayo 22, 2016 | Responder
diaculpa como se llaman esas otras leyes
Para resolver ese tipo de triangulo que mensiona Julian

Carlos julián
Mayo 24, 2016 | Responder
Hola Alejandro!
Recuerde que son tres leyes las que resuelven triángulos de este tipo, la ley de senos, cosenos y tangentes. Las funciones trigonométricas principales.

nayeli ortiz
Abril 19, 2017 | Responder
hola 🙂 quiero preguntar sobre los secantes de la trigonometria y me han ayudadon muchos tus ejerccios.

Carlos julián
Abril 26, 2017 | Responder
La secante como tal tiene un interpretación geométrica que nos indica que es una recta que toca dos veces a una curva, a diferencia de la tangente que solamente la toca una vez. Ahora si te refieres a la secante trigonométrica, su interpretación es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Saludos

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