Ley de los exponentes – Ejercicios Resueltos

Antes de adentrarnos a la ley de los exponentes es importante primero saber que los exponentes también llamado potencias, nos indicará la cantidad de veces que se multiplicará por si mismo un número o base, por citar un ejemplo sencillo.

\displaystyle {{5}^{4}}=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5

Podríamos decir que 5^4 podría llamarse “5 elevado a la cuarta potencia”, “5 a la 4” o simplemente “5 a la cuarta”.

Por lo que un exponente nos salva de estar escribiendo muchas multiplicaciones de un mismo número.

\displaystyle {{b}^{6}}=b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b

Pero para hacerlo aún más interesante, tenemos que ver las leyes que ronda a través de los exponentes. Aunque no sin antes de verificar tres puntos importantes en la exponenciación, estos tres puntos son requisito fundamental del aprendizaje de este tema, podríamos decir incluso que lo que necesitas memorizar o aprender son básicamente los puntos de abajo, después de ello lo demás sale fácil!! 😀

pero para hacerlo mejor aún, veamos el siguiente vídeo que explica el equipo de Fisimat.

3 Datos importantes para entender los exponentes

  1. El exponente dice cuantas veces un número se multiplicará
  2. Un exponente negativo significa dividir, lo contrario de multiplicar aquí se tendrá que dividir,
  3. Un exponente fraccional como 1/n significa tomar la raiz n-ésima .

Ya analizamos el punto 1, y en ese punto nos dimos cuenta realmente que una potencia dice las veces que una base se multiplica

Ahora veamos el punto 2

\displaystyle {{x}^{-n}}=\frac{1}{{{x}^{n}}}

Ojo esto es siempre válido, siempre y cuando x no sea cero, si x es cero, el resultado no está definido.

Ahora veamos el punto 3

\displaystyle {{x}^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{x}

Aquí es importante observar bien que ocurre con la potencia.

Si entendemos esos 3 puntos, entonces entenderemos a los exponentes y las leyes que se basan en esas ideas. Para no hacerlo muy teórico, hemos realizado una tabla donde podrás observar las leyes y ejemplos a su lado.

Ahora podríamos resolver el siguiente ejemplo:

Ejemplos Resueltos de Las Leyes de Exponentes

Si tenemos dudas nuevamente con el uso de las potencias, podemos ver el siguiente video para reafirmar nuestros conocimientos.

Ahora hagamos otro ejemplo más complicado.

Ejemplo 1: Simplificar la siguiente fracción algebraica

\displaystyle \frac{{{(3{{x}^{4}}{{y}^{-2}})}^{-3}}}{{{(2{{x}^{3}}{{y}^{2}})}^{-2}}}

Para poder simplificar debemos analizar lo siguiente, solamente tenemos potencias negativas que salen de la agrupación paréntesis, entonces lo que haremos será aplicar la ley para exponentes negativos, y con eso nos daremos cuenta que la expresión que está en el numerador pasará al denominador pero con exponente positivo, y la que está en el denominador pasará al numerador pero con exponentes positivo.

\displaystyle \frac{{{(3{{x}^{4}}{{y}^{-2}})}^{-3}}}{{{(2{{x}^{3}}{{y}^{2}})}^{-2}}}=\frac{{{(2{{x}^{3}}{{y}^{2}})}^{2}}}{{{(3{{x}^{4}}{{y}^{-2}})}^{3}}}

De esa forma, ya podemos aplicar las potencias a las agrupaciones.

\displaystyle \frac{{{(2{{x}^{3}}{{y}^{2}})}^{2}}}{{{(3{{x}^{4}}{{y}^{-2}})}^{3}}}=\frac{4{{x}^{6}}{{y}^{4}}}{27{{x}^{12}}{{y}^{-6}}}

Podemos separar los productos y aplicar las leyes básicas, para la división de potencias.

\displaystyle \frac{4{{x}^{6}}{{y}^{4}}}{27{{x}^{12}}{{y}^{-6}}}=\frac{4}{27}\cdot \frac{{{x}^{6}}}{{{x}^{12}}}\cdot \frac{{{y}^{4}}}{{{y}^{-6}}}

Aquí nos quedaría lo siguiente:

\displaystyle \frac{4{{x}^{6}}{{y}^{4}}}{27{{x}^{12}}{{y}^{-6}}}=\frac{4}{27}\cdot \frac{{{x}^{6}}}{{{x}^{12}}}\cdot \frac{{{y}^{4}}}{{{y}^{-6}}}=\frac{4}{27}\cdot {{x}^{6-12}}\cdot {{y}^{4-(-6)}}

Ahora tendríamos lo siguiente:

\displaystyle \frac{4{{x}^{6}}{{y}^{4}}}{27{{x}^{12}}{{y}^{-6}}}=\frac{4{{x}^{-6}}{{y}^{10}}}{27}=\frac{4{{y}^{10}}}{27{{x}^{6}}}

y listooo!! 😎

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