Divisibilidad y Números Primos - Ejercicios Resueltos

¡Amigos de Fisimat, Bienvenidos!, hoy hablaremos sobre un tema llamado divisibilidad y números primos que son conceptos fundamentales que nos permiten entender la estructura interna de los números naturales. Estos conceptos no solo son fascinantes desde el punto de vista teórico, sino que tienen aplicaciones prácticas en criptografía, programación, y resolución de problemas matemáticos complejos.

Comprender cuándo un número es divisible por otro, identificar números primos y aplicar criterios de divisibilidad nos proporciona herramientas poderosas para simplificar cálculos, resolver problemas de factorización y establecer las bases para el estudio de fracciones y el máximo común divisor. 💛

En este artículo exploraremos los conceptos de divisibilidad, los criterios más importantes, qué son los números primos y compuestos, y cómo aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas prácticos dentro de la aritmética

¿Qué es la Divisibilidad?

Decimos que un número natural $a$ es divisible por otro número natural $b$ (diferente de cero) si al dividir $a$ entre $b$ obtenemos un cociente exacto, es decir, el residuo es cero.

Notación matemática: $a$ es divisible por $b$ si existe un número natural $k$ tal que $a = b \times k$.

También podemos expresarlo como: $b$ divide a $a$, y se escribe $b | a$.

Ejemplo: $15$ es divisible por $3$ porque $15 = 3 \times 5$, por lo tanto $3 | 15$.

Propiedades de la Divisibilidad

Las propiedades de la divisibilidad nos ayudan a trabajar con estos conceptos de manera eficiente:

1. Reflexiva: Todo número se divide a sí mismo: $a | a$
2. Transitiva: Si $a | b$ y $b | c$, entonces $a | c$
3. Si $a | b$ y $a | c$, entonces $a | (b + c)$ y $a | (b - c)$
4. Si $a | b$, entonces $a | (b \times k)$ para cualquier natural $k$

Criterios de Divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten determinar rápidamente si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división completa.

Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 si y solo si su última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8).

Ejemplos: $234$, $1568$, $90$ son divisibles por 2.

Divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus cifras es divisible por 3.

Ejemplo: $123$ → $1 + 2 + 3 = 6$, como $6$ es divisible por $3$, entonces $123$ es divisible por $3$.

Divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras forman un número divisible por 4.

Ejemplo: $1324$ → las dos últimas cifras son $24$, como $24 \div 4 = 6$, entonces $1324$ es divisible por $4$.

Divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5 si y solo si termina en 0 o 5.

Ejemplos: $235$, $1540$, $95$ son divisibles por 5.

Divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6 si y solo si es divisible por 2 y por 3 simultáneamente.

Divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus cifras es divisible por 9.

Ejemplo: $729$ → $7 + 2 + 9 = 18$, como $18$ es divisible por $9$, entonces $729$ es divisible por $9$.

Divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10 si y solo si termina en 0.

Números Primos y Compuestos

Números Primos

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo.

Los primeros números primos son: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...$

Observaciones importantes:

Números Compuestos

Un número compuesto es un número natural mayor que 1 que tiene más de dos divisores positivos.

Ejemplos: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, ...$

Criba de Eratóstenes

La Criba de Eratóstenes es un algoritmo antiguo para encontrar todos los números primos hasta un límite dado.

Proceso:

1. Escribir todos los números del 2 hasta el límite deseado
2. Marcar el 2 como primo y tachar todos sus múltiples
3. Tomar el siguiente número no tachado, marcarlo como primo y tachar sus múltiples
4. Repetir hasta que todos los números estén procesados

Factorización en Números Primos

Todo número natural mayor que 1 puede expresarse como producto de números primos de manera única (salvo el orden de los factores). Esto se conoce como el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Ejemplo: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

Ejercicios Resueltos

Solución:

Aplicaremos cada criterio de divisibilidad paso a paso:

Divisibilidad por 2: La última cifra es 6 (par), por lo tanto 2,346 es divisible por 2.

Divisibilidad por 3: Sumamos las cifras: $2 + 3 + 4 + 6 = 15$. Como $15 \div 3 = 5$, entonces 2,346 es divisible por 3.

Divisibilidad por 4: Las dos últimas cifras son 46. Calculamos: $46 \div 4 = 11.5$. Como no es exacto, 2,346 no es divisible por 4.

Divisibilidad por 5: La última cifra es 6 (no es 0 ni 5), por lo tanto 2,346 no es divisible por 5.

Divisibilidad por 6: Debe ser divisible por 2 y por 3. Como es divisible por ambos, 2,346 es divisible por 6.

Divisibilidad por 9: La suma de cifras es 15. Como $15 \div 9 = 1.67$, no es exacto, por lo tanto 2,346 no es divisible por 9.

Respuesta: 2,346 es divisible por 2, 3 y 6.

Solución:

Aplicaremos la Criba de Eratóstenes paso a paso:

Paso 1: Escribimos todos los números del 2 al 24:

$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24$

Paso 2: Marcamos el 2 como primo y tachamos sus múltiples:

$\underline{2}, 3, \cancel{4}, 5, \cancel{6}, 7, \cancel{8}, 9, \cancel{10}, 11, \cancel{12}, 13, \cancel{14}, 15, \cancel{16}, 17, \cancel{18}, 19, \cancel{20}, 21, \cancel{22}, 23, \cancel{24}$

Paso 3: Marcamos el 3 como primo y tachamos sus múltiples:

$\underline{2}, \underline{3}, \cancel{4}, 5, \cancel{6}, 7, \cancel{8}, \cancel{9}, \cancel{10}, 11, \cancel{12}, 13, \cancel{14}, \cancel{15}, \cancel{16}, 17, \cancel{18}, 19, \cancel{20}, \cancel{21}, \cancel{22}, 23, \cancel{24}$

Paso 4: Marcamos el 5 como primo (no tiene más múltiples nuevos en nuestro rango)

Paso 5: Los números restantes no tachados son primos.

Respuesta: Los números primos menores que 25 son: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$.

Solución

Para determinar si 97 es primo, debemos verificar si tiene divisores además de 1 y él mismo.

Solo necesitamos verificar divisibilidad por números primos hasta $\sqrt{97} \approx 9.8$, es decir, hasta 9.

Los números primos hasta 9 son: 2, 3, 5, 7.

Verificamos divisibilidad:

Por 2: 97 termina en 7 (impar), no es divisible por 2.

Por 3: $9 + 7 = 16$, y $16 \div 3 = 5.33...$, no es divisible por 3.

Por 5: 97 no termina en 0 ni 5, no es divisible por 5.

Por 7: $97 \div 7 = 13.86...$, no es divisible por 7.

Como 97 no es divisible por ningún número primo menor que su raíz cuadrada, concluimos que 97 es un número primo.

Solución

Factorizaremos 180 dividiéndolo sucesivamente por números primos:

$180 \div 2 = 90$

$90 \div 2 = 45$

$45 \div 3 = 15$

$15 \div 3 = 5$

$5 \div 5 = 1$

Organizando los factores:

$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

Verificamos: $2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$ ✓

Respuesta: $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

Solución

Tenemos un número de la forma $\overline{ab7c}$ que debe ser divisible por 4 y por 9.

Condición de divisibilidad por 4: Las dos últimas cifras (7c) deben formar un número divisible por 4.

Probamos valores de $c$:

$c = 0$: $70 \div 4 = 17.5$ (no exacto)

$c = 1$: $71 \div 4 = 17.75$ (no exacto)

$c = 2$: $72 \div 4 = 18$ (exacto) ✓

$c = 3$: $73 \div 4 = 18.25$ (no exacto)

$c = 4$: $74 \div 4 = 18.5$ (no exacto)

$c = 5$: $75 \div 4 = 18.75$ (no exacto)

$c = 6$: $76 \div 4 = 19$ (exacto) ✓

$c = 7$: $77 \div 4 = 19.25$ (no exacto)

$c = 8$: $78 \div 4 = 19.5$ (no exacto)

$c = 9$: $79 \div 4 = 19.75$ (no exacto)

Los valores posibles de $c$ por divisibilidad por 4 son: 2 y 6.

Condición de divisibilidad por 9: La suma de todas las cifras debe ser divisible por 9.

Suma de cifras = $a + b + 7 + c$

Para que sea divisible por 9, esta suma debe ser múltiplo de 9.

Como necesitamos que el número tenga 4 cifras, $a \geq 1$.

Respuesta: Los valores posibles de $c$ son 2 y 6, pero la condición final depende de los valores específicos de $a$ y $b$.

Solución:

Para encontrar los números primos entre 50 y 100, verificaremos cada número en este rango.

Un método eficiente es verificar divisibilidad solo por primos hasta $\sqrt{100} = 10$, es decir: 2, 3, 5, 7.

Verificando números impares (los pares mayores que 2 no son primos):

51: $51 = 3 \times 17$ (compuesto)

53: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

55: $55 = 5 \times 11$ (compuesto)

57: $57 = 3 \times 19$ (compuesto)

59: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

61: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

63: $63 = 9 \times 7$ (compuesto)

65: $65 = 5 \times 13$ (compuesto)

67: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

69: $69 = 3 \times 23$ (compuesto)

71: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

73: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

75: $75 = 3 \times 25$ (compuesto)

77: $77 = 7 \times 11$ (compuesto)

79: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

81: $81 = 3^4$ (compuesto)

83: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

85: $85 = 5 \times 17$ (compuesto)

87: $87 = 3 \times 29$ (compuesto)

89: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

91: $91 = 7 \times 13$ (compuesto)

93: $93 = 3 \times 31$ (compuesto)

95: $95 = 5 \times 19$ (compuesto)

97: No divisible por 2, 3, 5, 7 → primo ✓

99: $99 = 9 \times 11$ (compuesto)

Respuesta: Los números primos entre 50 y 100 son: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. En total hay 10 números primos.

Solución:

Este problema requiere una demostración basada en las propiedades de la divisibilidad.

Dado: $n$ es divisible por 12, es decir, $12 | n$.

Demostrar: $3 | n$ y $4 | n$.

Demostración:

Paso 1: Como $12 | n$, existe un entero $k$ tal que $n = 12k$.

Paso 2: Factorizamos 12:

$12 = 3 \times 4$

Paso 3: Sustituyendo en la expresión de $n$:

$n = 12k = (3 \times 4)k = 3 \times (4k)$

Como $4k$ es un entero, esto muestra que $n$ es el producto de 3 por un entero, por lo tanto $3 | n$.

Paso 4: De manera similar:

$n = 12k = (4 \times 3)k = 4 \times (3k)$

Como $3k$ es un entero, esto muestra que $n$ es el producto de 4 por un entero, por lo tanto $4 | n$.

Conclusión: Si $n$ es divisible por 12, entonces $n$ es divisible por 3 y por 4.

Nota: Esto es un caso particular del principio general: si $a | n$ y $a = bc$, entonces $b | n$ y $c | n$.

Solución:

Este problema se resuelve encontrando todos los divisores de 36, ya que cada divisor representa una posible cantidad de estudiantes por grupo.

Paso 1: Encontramos la factorización prima de 36:

$36 = 2^2 \times 3^2$

Paso 2: Los divisores de 36 son todos los números de la forma $2^a \times 3^b$ donde $0 \leq a \leq 2$ y $0 \leq b \leq 2$.

Calculando sistemáticamente:

$2^0 \times 3^0 = 1$

$2^1 \times 3^0 = 2$

$2^2 \times 3^0 = 4$

$2^0 \times 3^1 = 3$

$2^1 \times 3^1 = 6$

$2^2 \times 3^1 = 12$

$2^0 \times 3^2 = 9$

$2^1 \times 3^2 = 18$

$2^2 \times 3^2 = 36$

Los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Paso 3: Interpretamos cada divisor:

1 estudiante por grupo: 36 grupos (no válido, necesitamos más de 1 por grupo)

2 estudiantes por grupo: 18 grupos

3 estudiantes por grupo: 12 grupos

4 estudiantes por grupo: 9 grupos

6 estudiantes por grupo: 6 grupos

9 estudiantes por grupo: 4 grupos

12 estudiantes por grupo: 3 grupos

18 estudiantes por grupo: 2 grupos

36 estudiantes por grupo: 1 grupo

Respuesta: El maestro puede formar los grupos de 8 maneras diferentes: con 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, o 36 estudiantes por grupo.

Conclusión

La divisibilidad y los números primos son conceptos fundamentales que revelan la estructura oculta de los números naturales. Los criterios de divisibilidad nos proporcionan herramientas rápidas y eficientes para determinar relaciones entre números sin realizar cálculos complejos. Los números primos, como los "átomos" de la aritmética, son la base de la factorización y tienen aplicaciones que van desde la matemática pura hasta la criptografía moderna. Comprender estos conceptos nos prepara para abordar temas más avanzados como fracciones, máximo común divisor, mínimo común múltiple, y nos proporciona una base sólida para el álgebra y la teoría de números.