Ecuación de la Recta Punto - Pendiente - Ejercicios Resueltos

Dentro de la geometría analítica, la ecuación punto - pendiente es muy importante en una de las ecuaciones de la recta, y que la podemos encontrar en nuestro libro de matemáticas, de la siguiente forma:

Ecuación de la Recta

La ecuación es útil cuando sabemos dos cosas:

  • Un punto en la línea.
  • La pendiente de la recta.

Ya que sabemos la fórmula, la pregunta que nos hacemos es la siguiente. ¿Qué significa la ecuación de punto - pendiente?

Contenidos
  1. La Ecuación Punto - Pendiente de una recta
  2. Ejercicios Resueltos de la Ecuación de la Recta Punto - Pendiente

La Ecuación Punto - Pendiente de una recta

Ecuación Punto - Pendiente

Podemos observar que:

$\displaystyle \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$ = Es un punto conocido

$\displaystyle \left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ = Es otro punto conocido

$\displaystyle m$ = Es la pendiente de la recta

La pendiente le podemos dar un sentido gráfico, de esta forma. (Observar la imagen).

Recordemos la fórmula de la pendiente:

$\displaystyle m=\frac{y-{{y}_{1}}}{x-{{x}_{1}}}$

De acá mismo, podemos hacer el despeje de y - y1, para que nos quede la ecuación que ya conocemos, ejemplo:

$\displaystyle y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$

Ejercicios Resueltos de la Ecuación de la Recta Punto - Pendiente

Para entender mucho mejor el tema, veamos los siguientes ejemplos resueltos, paso a paso 😀

 Ejemplo 1. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, - 5) y su pendiente es 3?

Solución:

El único punto que tenemos es (4, -5), que lo podemos asociar a $\displaystyle ({{x}_{1}},{{y}_{1}})$ y lógicamente m = 3, dicho de otra forma:

$\displaystyle {{x}_{1}}=4$

$\displaystyle {{y}_{1}}=-5$

$\displaystyle m=3$

Si la ecuación de la recta es:

$\displaystyle y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$

Vamos a sustituir nuestros datos, en dicha fórmula:

$\displaystyle y-\left( -5 \right)=3(x-4)$

Simplificando

$\displaystyle y+5=3x-12$

Igualando todo a cero.

$\displaystyle 3x-12-y-5=0$

Nuevamente, simplificamos:

$\displaystyle 3x-y-17=0$

▶ Resultado:

Ecuación de la Recta: $\displaystyle 3x-y-17=0$

De forma gráfica, esto es:

 Ejemplo 2. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, 2) y su pendiente es -3/2?

Solución:

Basándonos en nuestros datos del segundo ejercicio, podemos apreciar que nuestro punto posee coordenadas (-3,2), y que la pendiente es negativa, equivalente a -3/2. Dicho de otra forma, tenemos estos datos.

$\displaystyle {{x}_{1}}=-3$

$\displaystyle {{y}_{1}}=2$

$\displaystyle m=-\frac{3}{2}$

Si la ecuación de la recta es:

\displaystyle y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})

Vamos a sustituir nuestros datos, en la fórmula:

$\displaystyle y-2=-\frac{3}{2}(x-(-3))$

Simplificando.

$\displaystyle y-2=-\frac{3}{2}(x+3)$

Multiplicando lo del segundo miembro, en el primero.

$\displaystyle 2(y-2)=-3(x+3)$

Realizando el producto

$\displaystyle 2y-4=-3x-9$

Igualando a cero

$\displaystyle 2y-4+3x+9=0$

Ordenando e igualando.

▶ Resultado:

$\displaystyle 3x+2y+5=0$

De forma gráfica, tenemos:

Punto Pendiente Ecuación de la Recta

Ahora, vamos a intentar resolver un ejemplo, teniendo en cuenta la gráfica, es decir. Vamos a proporcionar gráficamente tanto al punto, como a la pendiente para poder encontrar la ecuación de la recta. 

 Ejemplo 3. Vea la siguiente gráfica y encuentre la ecuación de la recta. 

Ecuación de la Recta Punto Pendiente

Solución: 

Para poder resolver este tipo de problemas iniciando con el gráfico, es importante verificar los datos que tenemos, y colocarlos tal como lo interpretamos. Por ejemplo, tenemos un punto con coordenadas (3,2) y una pendiente de 3. Es decir:

$\displaystyle {{x}_{1}}=3$

$\displaystyle {{y}_{1}}=2$

$\displaystyle m=\frac{3}{1}=3$

Al tener nuestros datos, podemos simplemente sustituir en nuestra fórmula de ecuación punto - pendiente y resolver, sin problemas.

$\displaystyle y-2=3(x-3)$

Multiplicando

$\displaystyle y-2=3x-9$

Igualando a cero

$\displaystyle 3x-9-y+2=0$

Y finalmente, tenemos:

▶ Resultado:

$\displaystyle 3x-y-7=0$

 Ejemplo 4. Vea la siguiente gráfica y encuentre la ecuación de la recta. 

Solución:

Para este ejemplo, vemos que nuestra recta pasa exactamente en el punto (0,0), es decir, pasa por el origen. Esto es muy importante porque nuestra ecuación será muy fácil de resolver. Nuestra pendiente si observamos vemos que es negativa , esto es porque la recta se inclina de lado izquierdo y no derecho. Entonces, tenemos:

$\displaystyle {{x}_{1}}=0$

$\displaystyle {{y}_{1}}=0$

$\displaystyle m=-\frac{3}{1}=-3$

Si sustituimos estos valores, en nuestra ecuación, vamos a obtener que:

$\displaystyle y-0=-3\left( x-0 \right)$

Simplificamos y multiplicamos

$\displaystyle y=-3x-0$

Simplificando aún más

$\displaystyle y=-3x$

Igualando a cero, finalmente tenemos:

▶ Resultado:

$\displaystyle 3x+y=0$

 Ejemplo 5. Vea la siguiente gráfica y encuentre la ecuación de la recta. 

Pendiente No definida

Solución:

Lo que observamos es una recta totalmente vertical, ¿cuál será su pendiente?. Para este tipo de rectas, la pendiente no está definida. De hecho podemos decir que se trata de un caso especial , y se utiliza una ecuación diferente para describirla.

$\displaystyle x=1.5$

Cada punto en la línea tiene coordenadas x = 1.5 , por eso su ecuación es de la misma forma.

Carlos julián

Carlos Julián es ingeniero mecatrónico, profesor de física y matemáticas y dedicado a la programación web. Creador de contenido educativo y maestro en ciencias de la educación.

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    19 Comentarios Publicados

  1. hola como estas dice:

    el segundo ejercicio esta mal

    1. No está mal, se corrigió el título del problema, ahora todo está correcto.

  2. Luis Gabriel dice:

    Muy bien. Por fin logré entenderlo 😉

    1. Antonio dice:

      En el ejemplo 2, el denominador de la pendiente, 2, pasa a multiplicar a y e y1, ¿ no debería también multiplicar a x y x1 y después multiplicar al paréntesis por 3?

      1. karol dice:

        lo mismo me pregun tabaa

      2. No necesariamente, eso es álgebra Antonio.

      3. Wilder dice:

        Buena explicación, detalle en el desarrollo

    2. garcia G>H dice:

      yo no entiendo nada 😥 nomas entiendo dos pero las no

  3. Daniel Giménez dice:

    Una explicación excelente y unos ejemplos claros. En resumen: un magnífico profesor

  4. Gustavo dice:

    Porque en el ejemplo2 pone (-3,-2) y al sustituir sería y -(-2)=3/2(x-(-3) y en el -(-2) no has cambiado el signo y al despejar has mantenido el menos

    1. El problema es con 2, no con -2, ahí fue error del título del problema, pero ya está corregido.

  5. luna dice:

    Gracias muy buenos ejercicios

  6. Anahí Campos dice:

    el punto y del segundo ejercicio es negativo, pero al poner el procedimiento lo ponen positivo, eso altera todo el ejercicio y su resultado

  7. denis dice:

    1. graficar la familia de rectas dadas en el mismo rectángulo de vista.
    ¿Qué tienen en común las rectas?
    𝒚 =𝟑/𝟐
    + 𝒎(𝒙 − 𝟖) para 𝒎 = 𝟎,±𝟎.𝟓, ±𝟏,±𝟐
    2. Encuentre la pendiente y el punto de intersección de la recta y trace su gráfica
    −𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟑𝟎 = 𝟎
    3. Trace la recta que pasa por (−2, −11); perpendicular a la recta que pasa por
    (1,1) y (5,−1)
    4. Trace la recta que pasa por (1,−6); paralela a la recta 𝑥 + 2𝑦 = 6

  8. Brenda dice:

    Gracias por todo justo me pidieron 5 ejercicios sobre la ecuacion de la recta punto y pendiente

  9. Juan Manuel López dice:

    Excelente solución a nuestros problemas.

  10. Artemis dice:

    Cual es la ecuacion diferente para definirla?? necesito saber eso gracias

  11. Ivette dice:

    -G(3,-7) H(-10,0)

  12. Alfredo dice:

    Ay we mi mente

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