Veamos la solución del problema 1, del tema de despejes de Fórmulas.

Nivel de Dificultad: ⭐

Ejemplo 4.- Despeje a β de la siguiente fórmula:

\displaystyle \alpha =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}

Solución:

Despejar a la variable “β” no será tan complicado si entendimos el artículo de despejes de fórmulas. Vamos a resolver este ejercicio paso a paso, así que pon atención!

Paso 1:  Vamos elevar al cuadrado a los dos miembros, de tal forma que con ello logremos “eliminar” la raíz cuadrada donde está nuestra variable “β”, de tal forma que:

\displaystyle {{\alpha }^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \right)}^{2}}

Paso 2: Como bien sabemos, aplicando una propiedad algebraica de las raíces podemos desarrollar el cuadrado de la división del segundo miembro, de tal forma que:

\displaystyle {{\alpha }^{2}}=\frac{{{1}^{2}}}{{{\left( \sqrt{1-{{\beta }^{2}}} \right)}^{2}}}

Paso 3: Lo que explicábamos en el paso 1, con esto lograremos eliminar la raíz cuadrada de β

\displaystyle {{\alpha }^{2}}=\frac{1}{1-{{\beta }^{2}}}

Paso 4: En el denominador del segundo miembro tenemos 1-β² y está siendo divido por la unidad, es decir por 1. Entonces podemos pasar a multiplicarlo al primer miembro, para que nos quede:

\displaystyle \left( {{\alpha }^{2}} \right)\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1

Paso 5: Ahora también podemos pasar a α² a dividir, “donde antes estaba 1-β²”, de tal forma que:

\displaystyle 1-{{\beta }^{2}}=\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}

Paso 6: Vamos a ordenar a nuestras variables del primer miembro, así si tenemos 1-β² será igual que tener -β²+1

\displaystyle -{{\beta }^{2}}+1=\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}

Paso 7: Bien, ahora vamos hacer positiva a nuestra β² para ello vamos a multiplicar toda la ecuación por (-1), quedando así:

\displaystyle {{\beta }^{2}}-1=-\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}

Paso 8: Con esta expresión, vamos a mover -1 del primer miembro al segundo miembro pero pasará sumando.

\displaystyle {{\beta }^{2}}=-\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}+1

Paso 9: Recordemos que podemos ordenar también nuestro segundo miembro colocando primero la suma y después la resta.

\displaystyle {{\beta }^{2}}=1-\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}

Paso 10: Para este paso, solamente tenemos que despejar a β, y pasamos el cuadrado β como raíz cuadrada del segundo miembro.

\displaystyle \beta =\sqrt{1-\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}}

Resultado: 

El resultado de nuestro despeje es como apreciamos en el paso 10:

\displaystyle \beta =\sqrt{1-\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}}

Nota: Por lo general, cuando tenemos una raíz como expresión de un resultado, de manera correcta en álgebra se coloca así:

\displaystyle \beta =\pm \sqrt{1-\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}}

Ya que se puede asignar tanto un valor positivo, como negativo. Esto es porque es una raíz cuadrada. Los valores cuadráticos asumen dos soluciones.