Veamos la solución paso a paso del problema 6, del tema de despejes de Fórmulas.

Nivel de Dificultad: ⭐⭐

Ejemplo 6.- Despeje a la variable t de la siguiente fórmula:

\displaystyle \frac{2t}{k-3}=\frac{8}{k-2t}

Solución: 

Para el siguiente problema, vamos a necesitar un poco más de paciencia y de entender mucho mejor el concepto de despeje, ya que puede haber cierta confusión en el proceso o desarrollo de dicho ejercicio. Para ello empezaremos con una secuencia de pasos hasta dar con el resultado correcto.

Paso 1: Mediante el proceso algebraico de igualdad, aplicamos la propiedad que nos dice:

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\to ad=bc

Entonces esto nos daría:

\displaystyle 2t\left( k-2t \right)=8\left( k-3 \right)

Paso 2: Procedemos aplicar la propiedad distributiva de tal forma que obtengamos una igualdad más clara sobre nuestra variable a despejar:

\displaystyle 2kt-4{{t}^{2}}=8k-24

Paso 3: Haremos que nuestra igualdad sea igual a cero, para ello vamos a mover 8k-24 al primer miembro, lógicamente el 8k pasará restando y -24 pasará sumando.

\displaystyle 2kt-4{{t}^{2}}-8k+24=0

Paso 4: Ordenamos los términos por el grado de las variables, de tal forma que:

\displaystyle -4{{t}^{2}}+2kt-8k+24=0

Paso 5: En este caso se procede con aplicar la fórmula general \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0

Asumimos que en este caso:

\displaystyle \begin{array}{l}a=-4\\b=2k\\c=-8k+24\end{array}

Y sustituimos en la fórmula general:

\displaystyle {{t}_{1,2}}=\frac{-2k\pm \sqrt{{{\left( 2k \right)}^{2}}-4\left( -4 \right)\left( -8k+24 \right)}}{2\left( -4 \right)}

Paso 6: Comenzamos a resolver, pero teniendo en cuenta que en esta fórmula de segundo grado o general, tendremos dos valores para t, positivo y negativo. De esta forma:

Para t1

\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{-2k+\sqrt{4{{k}^{2}}+16\left( -8k+24 \right)}}{-8}

\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{-2k+\sqrt{4{{k}^{2}}-128k+384}}{-8}

Para t2

\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{-2k-\sqrt{4{{k}^{2}}+16\left( -8k+24 \right)}}{-8}

\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{-2k-\sqrt{4{{k}^{2}}-128k+384}}{-8}

Al estar en término de otra variable, es imposible darle solución más explícita al resultado, por lo que el único despeje viable es tal como se ilustra en este ejemplo. Recuerda que si tienes dudas, puedes dejarlas en la caja de comentarios 😀

Resultado

\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{-2k+\sqrt{4{{k}^{2}}-128k+384}}{-8}

\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{-2k-\sqrt{4{{k}^{2}}-128k+384}}{-8}