Ahora es momento de resolver tus dudas, mediante los ejercicios resueltos de la regla de los cuatro pasos para derivar, en este caso resolvemos el primer ejemplo llevando paso a paso la perfección de ello. 😀

1️⃣ Primer Paso

Colocamos la función principal e incrementamos “delta x”

$latex \displaystyle y=3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1$

Al incrementar ambos lados, nos queda:

$latex \displaystyle y+\Delta y=3{{(x+\Delta x)}^{3}}-2{{\left( {x+\Delta x} \right)}^{2}}+1$

Resolvemos las expresiones algebraicas, del cubo y cuadrática:

$latex \displaystyle y+\Delta y=3({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\Delta x+3x\Delta {{x}^{2}}+\Delta {{x}^{3}})-2({{x}^{2}}+2x\Delta x+\Delta {{x}^{2}})+1$

Realizamos las multiplicaciones pertinentes:

$latex \displaystyle y+\Delta y-y=3{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}\Delta x+9x\Delta {{x}^{2}}+3\Delta {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x\Delta x-2\Delta {{x}^{2}}+1$

2️⃣ Segundo Paso

Restamos la función original:

$latex \displaystyle \Delta y=3{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}\Delta x+9x\Delta {{x}^{2}}+3\Delta {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x\Delta x-2\Delta {{x}^{2}}+1-(3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1)$

Y ya restando, obtenemos:

$latex \displaystyle \Delta y=3{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}\Delta x+9x\Delta {{x}^{2}}+3\Delta {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x\Delta x-2\Delta {{x}^{2}}+1-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-1$

Y esto nos queda:

$latex \displaystyle \Delta y=9{{x}^{2}}\Delta x+9x\Delta {{x}^{2}}+3\Delta {{x}^{3}}-4x\Delta x-2\Delta {{x}^{2}}$

3️⃣ Tercer Paso

Ahora vamos a dividir por delta “x”, no sin antes factorizar el numerador:

$latex \displaystyle \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}=\frac{{\Delta x\left( {9{{x}^{2}}+9x\Delta x+3\Delta {{x}^{2}}-4x-2\Delta x} \right)}}{{\Delta x}}$

Ahora vamos a obtener el límite de delta de x cuando tiende a cero.

4️⃣ Cuarto Paso

$latex \displaystyle \underset{{\Delta x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}=9{{x}^{2}}+9x\Delta x+3\Delta {{x}^{2}}-4x-2\Delta x$

Todos los términos que tienen delta de “x” se harán cero, por lo que nos queda:

$latex \displaystyle \underset{{\Delta x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}=9{{x}^{2}}-4x$

Y Listo, problema resuelto 😀

¿Tienes dudas?