Solucion Problema 1 de Regla de los Cuatro Pasos

Ahora es momento de resolver tus dudas, mediante los ejercicios resueltos de la regla de los cuatro pasos para derivar, en este caso resolvemos el primer ejemplo llevando paso a paso la perfección de ello. 😀

1️⃣ Primer Paso

Colocamos la función principal e incrementamos “delta x”

$\displaystyle y=3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1$

Al incrementar ambos lados, nos queda:

$\displaystyle y+\Delta y=3{{(x+\Delta x)}^{3}}-2{{\left( {x+\Delta x} \right)}^{2}}+1$

Resolvemos las expresiones algebraicas, del cubo y cuadrática:

$\displaystyle y+\Delta y=3({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\Delta x+3x\Delta {{x}^{2}}+\Delta {{x}^{3}})-2({{x}^{2}}+2x\Delta x+\Delta {{x}^{2}})+1$

Realizamos las multiplicaciones pertinentes:

$\displaystyle y+\Delta y-y=3{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}\Delta x+9x\Delta {{x}^{2}}+3\Delta {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x\Delta x-2\Delta {{x}^{2}}+1$

2️⃣ Segundo Paso

Restamos la función original:

$\displaystyle \Delta y=3{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}\Delta x+9x\Delta {{x}^{2}}+3\Delta {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x\Delta x-2\Delta {{x}^{2}}+1-(3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1)$

Y ya restando, obtenemos:

$\displaystyle \Delta y=3{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}\Delta x+9x\Delta {{x}^{2}}+3\Delta {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x\Delta x-2\Delta {{x}^{2}}+1-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-1$

Y esto nos queda:

$\displaystyle \Delta y=9{{x}^{2}}\Delta x+9x\Delta {{x}^{2}}+3\Delta {{x}^{3}}-4x\Delta x-2\Delta {{x}^{2}}$

3️⃣ Tercer Paso

Ahora vamos a dividir por delta “x”, no sin antes factorizar el numerador:

$\displaystyle \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}=\frac{{\Delta x\left( {9{{x}^{2}}+9x\Delta x+3\Delta {{x}^{2}}-4x-2\Delta x} \right)}}{{\Delta x}}$

Ahora vamos a obtener el límite de delta de x cuando tiende a cero.

4️⃣ Cuarto Paso

$\displaystyle \underset{{\Delta x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}=9{{x}^{2}}+9x\Delta x+3\Delta {{x}^{2}}-4x-2\Delta x$

Todos los términos que tienen delta de “x” se harán cero, por lo que nos queda:

$\displaystyle \underset{{\Delta x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}=9{{x}^{2}}-4x$

Y Listo, problema resuelto 😀

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