En el ejercicio se plantea el siguiente problema. Leerse con mucho cuidado

Nivel de Dificultad: ⭐⭐

Problema 3.- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Solución:

Para darle solución a este problema, es importante graficar al menos el punto del vértice y el punto del foco, serán indispensable para la solución del ejercicio.

Problema de Parábolas fuera del origen

Después podemos darnos cuenta que el vértice y el foco de una parábola están sobre su eje, es decir sobre el eje de las “y” y pasa precisamente en x = 3, por lo que podemos decir que dicho eje es paralelo al eje “Y”, tal como vemos en la imagen. La ecuación de la parábola asume la forma:

ecuacion_parabola

Como el vértice V es el punto (3, 4), donde h = 3 k = 4

Entonces podemos decir que:

$latex \displaystyle {{(x-3)}^{2}}=4p(y-4)$

Ahora bien, podemos observar que el valor de se puede encontrar restando la distancia que existe entre el vértice y el foco de forma vertical, es decir (4  – 2 ) y esto nos da el valor de 2,  Pero como el foco está abajo del vértice V, la parábola se abre hacia abajo y es negativo. Por tanto, p = -2 , y la ecuación de la parábola es:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{(x-3)}^{2}}=4(-2)(y-4)\\{{(x-3)}^{2}}=-12(y-4)\end{array}$

Por tanto la longitud del lado recto es 8.

La ecuación de la directriz:

La directriz tiene que sumar dos unidades también hacía arriba en dirección del vértice, por lo tanto al sumar 4 +2 = 6

Eso quiere decir que Y = 6

Que es nuestra solución.