Tabla de Frecuencias para Datos Agrupados - Ejercicios Resueltos

¡Hola, amigos de Fisimat! 👋 Soy Carlos Julian, y hoy vamos a embarcarnos en un viaje fascinante al corazón de la estadística descriptiva. Si alguna vez te has sentido abrumado por una montaña de números, datos y mediciones, estás en el lugar correcto. Organizar la información es el primer paso para entenderla, y la herramienta estrella para lograrlo son las tablas de frecuencias para datos agrupados. 📊

Recuerda que también tenemos el artículo para Datos NO agrupados  

En el mundo de la ingeniería, la física y las matemáticas, nos enfrentamos constantemente a grandes volúmenes de datos: las mediciones de resistencia de un material, los tiempos de reacción en un proceso químico, las alturas de una población, los resultados de miles de simulaciones... Presentar estos datos en su forma cruda es poco práctico e informativo. Necesitamos una manera de resumirlos, de encontrar patrones y de contar la historia que esconden. Ahí es donde las tablas de frecuencias se convierten en nuestras mejores aliadas.

En este artículo, te guiaré paso a paso, con un lenguaje claro y ejemplos prácticos, para que domines el arte de construir e interpretar estas tablas. No solo aprenderás la teoría, sino que construiremos una juntos desde cero. Al final, serás capaz de transformar cualquier conjunto de datos caótico en una estructura ordenada y llena de significado. ¿Listo para poner orden en el universo de los datos? ¡Empecemos! 🚀

¿Qué son Exactamente las Tablas de Frecuencias para Datos Agrupados?

Imagina que tienes las estaturas de 1000 estudiantes. Anotar una por una no nos dice mucho. Pero, ¿y si pudiéramos decir "250 estudiantes miden entre 1.60m y 1.70m"? ¡Eso sí es información útil! Esto es, en esencia, lo que hacemos con los datos agrupados. Agrupamos los datos en categorías o "cajas" para simplificar su análisis.

Una tabla de frecuencias para datos agrupados es, por lo tanto, una tabla que muestra la distribución de los datos en estos intervalos. Nos dice cuántos datos "caen" dentro de cada categoría. Para entender completamente una de estas tablas, necesitamos conocer sus componentes clave. ¡Vamos a desglosarlos!

Componentes de una Tabla de Frecuencias Agrupadas

• Clases o Intervalos ([L_i, L_s)): Son los grupos en los que se divide el conjunto de datos. Cada clase tiene un límite inferior (L_i), el valor más pequeño que puede pertenecer a la clase, y un límite superior (L_s), el valor más grande. Es una convención común usar un corchete `[` para indicar que el límite inferior está incluido y un paréntesis `)` para indicar que el límite superior está excluido. Esto asegura que ningún dato pertenezca a dos intervalos a la vez.
• Amplitud o Ancho de Clase (w): Es la "longitud" de cada intervalo. Se calcula como la diferencia entre el límite superior y el límite inferior. Para una construcción consistente de la tabla, es fundamental que todos los intervalos tengan la misma amplitud. Se calcula con la fórmula \(w = L_s - L_i\).
• Marca de Clase (x_i): Es el punto medio de cada intervalo, y se considera el valor representativo de todos los datos dentro de esa clase. Es crucial para cálculos posteriores como la media o la desviación estándar para datos agrupados. Se calcula con la fórmula: \[x_i = \frac{L_i + L_s}{2}\]
• Frecuencia Absoluta (f_i): Es el número de veces que se repite un dato, o en este caso, el número de datos que caen dentro de un intervalo de clase específico. La suma de todas las frecuencias absolutas debe ser igual al número total de datos (N). \(\sum f_i = N\)
• Frecuencia Relativa (h_i): Representa la proporción o el porcentaje del total de datos que se encuentra en un intervalo determinado. Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de la clase entre el número total de datos. \[h_i = \frac{f_i}{N}\] La suma de todas las frecuencias relativas siempre debe ser igual a 1 (o 100% si se expresa en porcentaje).
• Frecuencia Absoluta Acumulada (F_i): Es la suma de las frecuencias absolutas de todas las clases inferiores o iguales a la clase que se está considerando. Nos dice cuántos datos son menores o iguales al límite superior de esa clase. La última frecuencia absoluta acumulada siempre es igual al número total de datos (N).
• Frecuencia Relativa Acumulada (H_i): Es el análogo de la anterior, pero con frecuencias relativas. Es la suma de las frecuencias relativas de todas las clases hasta ese punto. Nos indica la proporción o porcentaje de datos que son menores o iguales al límite superior de la clase. El valor de la última \(H_i\) es siempre 1.

Entender estos conceptos es la base para poder construir e interpretar cualquier tabla de frecuencias. ¡Ahora vamos a la acción! 🛠️

Cómo Construir una Tabla de Frecuencias para Datos Agrupados: Guía Paso a Paso

Construir la tabla puede parecer complicado, pero si seguimos un método ordenado, es un proceso muy lógico y sencillo. Aquí te presento los pasos que te convertirán en un experto constructor de tablas.

Paso 1: Determinar el Rango (R)

El primer paso es conocer la dispersión total de tus datos. El rango es simplemente la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de tu conjunto de datos.

Fórmula del Rango: \[R = x_{max} - x_{min}\]

Donde \(x_{max}\) es el dato más grande y \(x_{min}\) es el dato más pequeño.

Paso 2: Determinar el Número de Intervalos (k)

Ahora debemos decidir en cuántas "cajas" o clases vamos a agrupar nuestros datos. Si usamos muy pocas, perdemos detalle. Si usamos demasiadas, la tabla se vuelve grande y no simplifica mucho. Una regla general es usar entre 5 y 20 intervalos. Sin embargo, para un enfoque más matemático, podemos usar la Regla de Sturges.

Esta regla funciona muy bien para datos con distribución normal y tamaños de muestra no demasiado pequeños. ¡Es una herramienta fantástica en nuestro arsenal!

Paso 3: Calcular la Amplitud del Intervalo (w)

Una vez que sabemos la dispersión total de los datos (R) y en cuántas clases los dividiremos (k), podemos calcular qué tan "ancha" debe ser cada clase.

Fórmula de la Amplitud: \[w = \frac{R}{k}\]

El valor de 'w' que obtengas debe ser redondeado siempre hacia arriba, a un número entero o a un decimal conveniente (por ejemplo, si w = 4.32, podrías redondear a 5). Esto asegura que todos los datos, incluido el valor máximo, quepan dentro de los intervalos que construiremos.

Paso 4: Construir los Intervalos de Clase

¡Es hora de definir nuestras clases! ✍️

1. El límite inferior del primer intervalo será el valor mínimo de tus datos, \(x_{min}\).
2. Para encontrar el límite superior de este primer intervalo, simplemente suma la amplitud (w) al límite inferior.
3. El límite inferior del segundo intervalo será el límite superior del primero. Repite el proceso, sumando la amplitud para encontrar el nuevo límite superior.
4. Continúa este proceso hasta que hayas creado 'k' intervalos. El último intervalo debe contener tu valor máximo, \(x_{max}\).

Recuerda la notación [L_i, L_s) para evitar ambigüedades.

Paso 5: Conteo de Datos y Frecuencia Absoluta (fi)

Este es el paso más laborioso pero crucial. Debes recorrer todo tu conjunto de datos y determinar a qué intervalo pertenece cada uno. Una buena técnica es ir dato por dato y hacer una marca de conteo (un palito "|") en la fila del intervalo correspondiente. Al final, simplemente cuenta las marcas en cada fila para obtener la frecuencia absoluta (f_i) de cada clase.

¡Verificación importante! Al terminar, suma todas las \(f_i\). El resultado debe ser igual a N, el número total de datos. Si no es así, ¡hay un error en el conteo!

Paso 6: Calcular el Resto de las Columnas

Con la columna de frecuencia absoluta completa, calcular el resto es pan comido. Simplemente aplica las fórmulas que definimos anteriormente para cada fila de la tabla:

• Marca de Clase (x_i): \(x_i = (L_i + L_s) / 2\)
• Frecuencia Relativa (h_i): \(h_i = f_i / N\)
• Frecuencia Absoluta Acumulada (F_i): Suma la \(f_i\) de la clase actual a la \(F_i\) de la clase anterior.
• Frecuencia Relativa Acumulada (H_i): Suma la \(h_i\) de la clase actual a la \(H_i\) de la clase anterior.

¡Y listo! Has construido una tabla de frecuencias para datos agrupados completa y profesional. 🎉

Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Tabla de Frecuencias para Datos Agrupados

La teoría está muy bien, pero la práctica hace al maestro. Vamos a aplicar todo lo aprendido con un ejemplo detallado. 👨‍🏫

Solución:

Vamos a seguir nuestros pasos metódicamente para construir la tabla de frecuencias.

Paso 1: Determinar el Rango (R)

Primero, identificamos el valor máximo y el mínimo en el conjunto de datos.

• Valor máximo (\(x_{max}\)): 97
• Valor mínimo (\(x_{min}\)): 59

Ahora, calculamos el rango:

\[R = 97 - 59 = 38\]

Paso 2: Determinar el Número de Intervalos (k)

Tenemos un total de N = 60 estudiantes. Usemos la Regla de Sturges para encontrar el número de intervalos.

\[k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(60)\]

Calculamos el logaritmo: \(\log_{10}(60) \approx 1.778\)

\[k = 1 + 3.322 \cdot (1.778) \approx 1 + 5.907 \approx 6.907\]

Redondeamos al entero más cercano, por lo que usaremos \(k = 7\) intervalos.

Paso 3: Calcular la Amplitud del Intervalo (w)

Ahora usamos el rango y el número de intervalos para encontrar la amplitud.

\[w = \frac{R}{k} = \frac{38}{7} \approx 5.42\]

Recordemos que siempre debemos redondear hacia arriba. Por lo tanto, usaremos una amplitud de \(w = 6\). Esto garantiza que cubriremos todo el rango de datos.

Paso 4: Construir los Intervalos de Clase

Comenzamos con el valor mínimo, 59, y usamos la amplitud de 6.

• Clase 1: [59, 59 + 6) = [59, 65)
• Clase 2: [65, 65 + 6) = [65, 71)
• Clase 3: [71, 71 + 6) = [71, 77)
• Clase 4: [77, 77 + 6) = [77, 83)
• Clase 5: [83, 83 + 6) = [83, 89)
• Clase 6: [89, 89 + 6) = [89, 95)
• Clase 7: [95, 95 + 6) = [95, 101)

El último intervalo, [95, 101), incluye nuestra calificación máxima de 97, así que la construcción es correcta.

Pasos 5 y 6: Conteo y Cálculo de Columnas

Ahora, procedemos a contar cuántos datos caen en cada intervalo para obtener la frecuencia absoluta (f_i). Luego, calculamos el resto de las columnas. El resultado es la siguiente tabla completa:

Nota: La suma de las frecuencias relativas puede dar ligeramente diferente de 1 (ej. 1.002) debido a los errores de redondeo. ¡Es completamente normal!

Interpretando la Tabla: ¿Qué Nos Dicen los Datos?

Una vez construida la tabla, la verdadera magia está en interpretarla. La tabla que creamos nos da una radiografía completa del rendimiento de los estudiantes.

• Análisis de Frecuencia Absoluta (\(f_i\)): Podemos ver que el intervalo más común fue [71, 77), con 12 estudiantes. Esto nos indica que la mayor concentración de calificaciones se encuentra en ese rango. El rendimiento más bajo se agrupa en varios intervalos con 7 estudiantes cada uno.
• Análisis de Frecuencia Relativa (\(h_i\)): La clase [71, 77) contiene el 20% del total de los estudiantes (0.200). Esta es una forma más intuitiva de entender la distribución. Podemos decir que 1 de cada 5 estudiantes obtuvo una calificación en ese rango.
• Análisis de Frecuencia Acumulada (\(F_i\)): ¿Cuántos estudiantes aprobaron si la nota mínima para hacerlo es 65? Miramos la frecuencia acumulada hasta el primer intervalo, \(F_1 = 10\) (los que sacaron menos de 65). Entonces, \(60 - 10 = 50\) estudiantes aprobaron. ¿Cuántos obtuvieron una nota inferior a 83? Miramos la \(F_i\) del intervalo [77, 83), que es 39. ¡39 estudiantes obtuvieron menos de 83!

Además, esta tabla es el punto de partida para crear representaciones gráficas como histogramas y polígonos de frecuencias, que nos permiten visualizar la distribución de los datos de una manera aún más clara y directa.

¡Absolutamente! Entendido y corregido. Una disculpa por el desliz en el formato. La práctica constante es la clave para la maestría, y seguir las reglas al pie de la letra es parte fundamental de la disciplina en matemáticas e ingeniería. 🤓

Aquí tienes los tres ejercicios resueltos, ahora sí, presentados en un único bloque de código HTML y con toda la notación matemática expresada correctamente con los delimitadores de MathJax. ¡A seguir practicando!

Solución:

Procedemos a organizar estos datos en una tabla de frecuencias siguiendo los pasos establecidos.

Paso 1: Determinar el Rango (R)

Identificamos los tiempos máximo y mínimo registrados.

• Valor máximo (\(x_{max}\)): 40 minutos
• Valor mínimo (\(x_{min}\)): 25 minutos

Calculamos el rango:

\[R = 40 - 25 = 15\]

Paso 2: Determinar el Número de Intervalos (k)

Aplicamos la Regla de Sturges para \(N = 45\) operarios.

\[k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(45)\]

Calculamos el logaritmo: \(\log_{10}(45) \approx 1.653\)

\[k = 1 + 3.322 \cdot (1.653) \approx 1 + 5.49 \approx 6.49\]

Redondeamos al entero más cercano. Por lo tanto, usaremos \(k = 6\) intervalos.

Paso 3: Calcular la Amplitud del Intervalo (w)

Usamos el rango y el número de intervalos.

\[w = \frac{R}{k} = \frac{15}{6} = 2.5\]

En este caso, el resultado es un decimal exacto. Para facilitar la interpretación de los intervalos, es conveniente redondear hacia arriba a un número entero. Usaremos una amplitud de \(w = 3\).

Paso 4: Construir los Intervalos de Clase

Iniciamos desde el valor mínimo (25) con la amplitud de 3.

• Clase 1: [25, 28)
• Clase 2: [28, 31)
• Clase 3: [31, 34)
• Clase 4: [34, 37)
• Clase 5: [37, 40)
• Clase 6: [40, 43)

El último intervalo, [40, 43), incluye nuestro valor máximo de 40. La construcción es correcta.

Pasos 5 y 6: Conteo y Elaboración de la Tabla Final

Realizamos el conteo de los datos para cada intervalo y calculamos todas las columnas de la tabla.

Análisis rápido: La mayor concentración de operarios (13, que representan casi el 29%) tarda entre 28 y 31 minutos. La tabla también muestra que casi el 70% de los trabajadores completan la tarea en menos de 34 minutos (ver \(H_3\)). Solo un operario tardó 40 minutos o más, siendo un caso atípico. 📈

Solución:

Analicemos la resistencia de estas probetas de concreto.

Paso 1: Determinar el Rango (R)

• Valor máximo (\(x_{max}\)): 42.0 MPa
• Valor mínimo (\(x_{min}\)): 32.2 MPa

\[R = 42.0 - 32.2 = 9.8\]

Paso 2: Determinar el Número de Intervalos (k)

Para \(N = 50\) probetas, usamos la Regla de Sturges.

\[k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(50)\]

Calculamos el logaritmo: \(\log_{10}(50) \approx 1.699\)

\[k = 1 + 3.322 \cdot (1.699) \approx 1 + 5.64 \approx 6.64\]

Redondeamos al entero más cercano, así que usaremos \(k = 7\) intervalos.

Paso 3: Calcular la Amplitud del Intervalo (w)

\[w = \frac{R}{k} = \frac{9.8}{7} = 1.4\]

Para mantener la simplicidad y trabajar con números más manejables, redondearemos esta amplitud hacia arriba a \(w = 1.5\).

Paso 4: Construir los Intervalos de Clase

Comenzamos con 32.2 y sumamos la amplitud de 1.5.

• Clase 1: [32.2, 33.7)
• Clase 2: [33.7, 35.2)
• Clase 3: [35.2, 36.7)
• Clase 4: [36.7, 38.2)
• Clase 5: [38.2, 39.7)
• Clase 6: [39.7, 41.2)
• Clase 7: [41.2, 42.7)

El valor máximo de 42.0 está incluido en el último intervalo, así que todo está en orden.

Pasos 5 y 6: Conteo y Elaboración de la Tabla Final

Después de contar los datos en cada intervalo y hacer los cálculos, la tabla resultante es:

Análisis rápido: La distribución de la resistencia parece bastante simétrica, centrada alrededor de los intervalos 3 y 4. El 36% de las probetas (0.18 + 0.18) tienen una resistencia entre 35.2 y 38.2 MPa. Si el estándar de calidad requiere que al menos el 80% de las probetas superen los 35 MPa, podemos ver en la \(H_2\) que el 26% no lo hace (son menores de 35.2), por lo que el 74% restante sí supera esa marca, cumpliendo el requisito de manera ajustada. 🏗️

Solución:

Vamos a organizar estos niveles de ruido para entender mejor la contaminación acústica de la zona.

Paso 1: Determinar el Rango (R)

• Valor máximo (\(x_{max}\)): 95 dB
• Valor mínimo (\(x_{min}\)): 65 dB

\[R = 95 - 65 = 30\]

Paso 2: Determinar el Número de Intervalos (k)

Con \(N = 80\) mediciones, aplicamos la Regla de Sturges.

\[k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(80)\]

Calculamos el logaritmo: \(\log_{10}(80) \approx 1.903\)

\[k = 1 + 3.322 \cdot (1.903) \approx 1 + 6.32 \approx 7.32\]

Redondeamos al entero más cercano, lo que nos da \(k = 7\) intervalos.

Paso 3: Calcular la Amplitud del Intervalo (w)

\[w = \frac{R}{k} = \frac{30}{7} \approx 4.28\]

Redondeamos hacia arriba para asegurar la cobertura de todos los datos. Usaremos una amplitud de \(w = 5\).

Paso 4: Construir los Intervalos de Clase

Empezando en 65 con una amplitud de 5.

• Clase 1: [65, 70)
• Clase 2: [70, 75)
• Clase 3: [75, 80)
• Clase 4: [80, 85)
• Clase 5: [85, 90)
• Clase 6: [90, 95)
• Clase 7: [95, 100)

El valor máximo (95) queda incluido en el último intervalo.

Pasos 5 y 6: Conteo y Elaboración de la Tabla Final

Finalmente, contamos los datos y calculamos las columnas para obtener nuestra tabla definitiva.

Análisis rápido: El intervalo modal (el más frecuente) es [75, 80) dB, con 18 mediciones. La Organización Mundial de la Salud recomienda no superar los 85 dB de forma prolongada. Podemos ver en la frecuencia acumulada \(F_4 = 59\) que 59 de las 80 mediciones (casi el 74%) estuvieron por debajo de este umbral. Sin embargo, esto significa que el 26% restante de las veces el ruido superó este nivel, justificando la necesidad de estudiar barreras acústicas u otras medidas. 🔊

Conclusión: El Poder del Orden

Hoy hemos transformado un conjunto de 60 números aparentemente aleatorios en una tabla estructurada y llena de información y varios ejercicios resueltos más. Hemos visto que, con un método claro y secuencial, cualquier persona puede construir una tabla de frecuencias para datos agrupados. Esta herramienta no es solo un ejercicio académico; es una técnica fundamental utilizada en ingeniería para analizar la calidad de un producto, en ciencias para estudiar poblaciones, y en finanzas para entender la distribución de los rendimientos de activos.

Dominar la creación e interpretación de estas tablas te da el poder de encontrar patrones, resumir información compleja y tomar decisiones basadas en evidencia. Es el primer gran paso para convertirte en un verdadero analista de datos. ¡Espero que esta guía te haya sido de gran utilidad y te sientas más seguro para enfrentarte a cualquier conjunto de datos que se cruce en tu camino! 💪