Expresiones Racionales: Guía Completa de Operaciones y Simplificación
Es momento de que en álgebra veamos las expresiones racionales. ¿Si sabes qué son? si no, no te preocupes. Lo vamos a aprender sin problemas. 👇😊
Entonces, ahora vamos a estudiar las expresiones racionales. Una expresión racional no es más que una fracción en la que el numerador y/o el denominador son polinomios. Aquí tienes algunos ejemplos:
\[\frac{6}{{x - 1}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\frac{{{z^2} - 1}}{{{z^2} + 5}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\frac{{{m^4} + 18m + 1}}{{{m^2} - m - 6}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{4{x^2} + 6x - 10}}{1}\]
Es importante señalar que los polinomios pueden considerarse expresiones racionales si es necesario, aunque rara vez se escriben de esa forma.
Hay una regla implícita al trabajar con expresiones racionales que debemos abordar: la división entre cero no está permitida. Por lo tanto, siempre asumiremos que cualquier valor que tome la variable no hará que el denominador sea cero. Aunque rara vez escribimos estas restricciones, siempre debemos tenerlas en cuenta. Por ejemplo, en la primera expresión, debemos evitar \(x=1\); en la tercera, debemos evitar \(m=3\) y \(m=-2\).
Simplificación de Expresiones Racionales
El primer tema que debemos discutir es cómo reducir una expresión racional a su mínima expresión. Una expresión racional se ha reducido a su mínima expresión si todos los factores comunes del numerador y el denominador han sido cancelados. El proceso es idéntico al de simplificar fracciones numéricas.
Para simplificar, el primer paso es siempre factorizar completamente tanto el numerador como el denominador. Solo después de factorizar podemos cancelar los factores que sean comunes en ambos.
¡Cuidado con la cancelación! Un error muy común es cancelar términos que no son factores. Recuerda que para cancelar un término, este debe estar multiplicando a todo el numerador y a todo el denominador. No puedes cancelar algo que está sumando o restando.
Por ejemplo, en la expresión \(\frac{x-1}{x}\), las \(x\) no se pueden cancelar. Si sustituimos \(x=4\), obtenemos \(\frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}\), lo cual es muy diferente de \(-1\).
Ejemplo 1: Reducir \(\displaystyle \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{x^2} - 9x + 20}}\) a su mínima expresión.
Solución:
Primero, factorizamos el numerador y el denominador.
\[\frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{x^2} - 9x + 20}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}\]
Ahora podemos ver que \((x-4)\) es un factor común, por lo que lo cancelamos.
\[\frac{{\left( {\cancel{x - 4}} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {\cancel{x - 4}} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x - 5}}\]
La expresión ya está reducida a su mínima expresión.
Ejemplo 2: Reducir \(\displaystyle \frac{{{x^2} - 25}}{{5x - {x^2}}}\) a su mínima expresión.
Solución:
Factorizamos el numerador y el denominador.
\[\frac{{{x^2} - 25}}{{5x - {x^2}}} = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {5 - x} \right)}}\]
A primera vista, parece que no hay factores comunes. Sin embargo, nota que \((5-x)\) es casi igual a \((x-5)\). Podemos factorizar un signo negativo del término del denominador: \(5 - x = -(x - 5)\).
\[\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x\left[ { - \left( {x - 5} \right)} \right]}} = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{ - x\left( {x - 5} \right)}}\]
Ahora podemos cancelar el factor común \((x-5)\).
\[\frac{{\left( {\cancel{x - 5}} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{ - x\left( {\cancel{x - 5}} \right)}} = \frac{{x + 5}}{{ - x}} = - \frac{{x + 5}}{x}\]
Multiplicación y División de Expresiones Racionales
Para multiplicar y dividir expresiones racionales, seguimos las mismas reglas que con las fracciones numéricas. Para dividir, simplemente multiplicamos por el recíproco.
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{ac}}{{bd}} \quad \text{y} \quad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\]
El procedimiento es: 1) Si es una división, conviértela en una multiplicación. 2) Factoriza todos los numeradores y denominadores. 3) Cancela todos los factores comunes. 4) Multiplica los factores restantes.
Ejemplo 3: Realizar la operación indicada: \(\displaystyle \frac{{{x^2} - 5x - 14}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\centerdot \,\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 14x + 49}}\)
Solución:
Factorizamos todos los polinomios primero.
\[\frac{{\left( {x - 7} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\,\centerdot \,\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 7} \right)}^2}}}\]
Ahora, cancelamos los factores comunes (\((x-7)\) y \((x-2)\)) a través de la multiplicación.
\[\frac{{\cancel{\left( {x - 7} \right)}\left( {x + 2} \right)}}{{\cancel{\left( {x - 2} \right)}\left( {x - 1} \right)}}\,\centerdot \,\frac{{\cancel{\left( {x - 2} \right)}\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 7} \right)}^{\cancel{2}}}}}\]
Multiplicamos los factores restantes.
\[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 7} \right)}}\]
Ejemplo 4: Realizar la operación indicada: \(\displaystyle \frac{{{m^2} - 9}}{{{m^2} + 5m + 6}} \div \frac{{3 - m}}{{m + 2}}\)
Solución:
Primero, convertimos la división en una multiplicación por el recíproco.
\[\frac{{{m^2} - 9}}{{{m^2} + 5m + 6}} \cdot \frac{{m + 2}}{{3 - m}}\]
Ahora factorizamos todo.
\[\frac{{\left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)}}{{\left( {m + 3} \right)\left( {m + 2} \right)}} \cdot \frac{{\left( {m + 2} \right)}}{{3 - m}}\]
Cancelamos \((m+3)\) y \((m+2)\). También factorizamos un signo negativo de \((3-m)\) para poder cancelar \((m-3)\).
\[\frac{{\left( {m - 3} \right)}}{1} \cdot \frac{1}{{ - \left( {m - 3} \right)}} = \frac{{\cancel{\left( {m - 3} \right)}}}{{ - \cancel{\left( {m - 3} \right)}}} = \frac{1}{{ - 1}} = -1\]
Suma y Resta de Expresiones Racionales
Para sumar o restar expresiones racionales, debemos tener un denominador común. Siempre es mejor usar el mínimo común denominador (MCD).
Pasos para encontrar el MCD:
- Factoriza completamente todos los denominadores.
- Haz una lista de cada factor diferente que aparezca.
- Para cada factor de la lista, toma la potencia más alta que aparezca en cualquiera de los denominadores.
- El MCD es el producto de estos factores con sus potencias más altas.
Ejemplo 5: Realizar la operación indicada: \(\displaystyle \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}} - \frac{1}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}}\)
Solución:
Primero, factorizamos los denominadores para encontrar el MCD.
\[\frac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{1}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}}\]
El MCD es \((x-3)(x+3)\). Ajustamos cada fracción para que tenga este denominador.
\[\frac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{1\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]
Ahora que tenemos un denominador común, combinamos los numeradores.
\[\frac{{2x - \left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - x + 3 - 2x - 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]
Simplificamos el numerador factorizando un -1, lo que permite una cancelación final.
\[\frac{{ - \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{x - 3}}\]
Ejercicios Resueltos de Expresiones Racionales
Ejercicio 1: Simplificar \( \displaystyle \frac{{{x^2} - 6x - 7}}{{{x^2} - 10x + 21}}\)
Solución:
Factorizamos el numerador y el denominador buscando dos números que multiplicados den el término constante y sumados den el coeficiente del término lineal.
\[ \frac{(x-7)(x+1)}{(x-7)(x-3)} \]
Cancelamos el factor común \((x-7)\).
\[ \frac{x+1}{x-3} \]
Ejercicio 2: Simplificar \( \displaystyle \frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{x^2} - 9}}\)
Solución:
El numerador es un trinomio cuadrado perfecto y el denominador es una diferencia de cuadrados.
\[ \frac{{(x+3)^2}}{(x-3)(x+3)} \]
Cancelamos el factor común \((x+3)\).
\[ \frac{x+3}{x-3} \]
Ejercicio 3: Simplificar \( \displaystyle \frac{{2{x^2} - x - 28}}{{20 - x - {x^2}}}\)
Solución:
Factorizamos ambos trinomios, prestando atención a los signos. Es útil reordenar el denominador y factorizar un -1.
\[ \frac{2x^2 - x - 28}{-(x^2 + x - 20)} = \frac{(2x+7)(x-4)}{-(x+5)(x-4)} \]
Cancelamos el factor común \((x-4)\).
\[ \frac{2x+7}{-(x+5)} = -\frac{2x+7}{x+5} \]
Ejercicio 4: Multiplicar \( \displaystyle \frac{{{x^2} + 5x - 24}}{{{x^2} + 6x + 8}}\,\centerdot \,\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} - 3x}}\)
Solución:
Factorizamos todos los numeradores y denominadores.
\[ \frac{(x+8)(x-3)}{(x+4)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)^2}{x(x-3)} \]
Cancelamos los factores comunes: \((x-3)\), \((x+2)\).
\[ \frac{(x+8)\cancel{(x-3)}}{(x+4)\cancel{(x+2)}} \cdot \frac{(x+2)^{\cancel{2}}}{x\cancel{(x-3)}} = \frac{(x+8)(x+2)}{x(x+4)} \]
Ejercicio 5: Dividir \( \displaystyle \frac{{{x^2} - 49}}{{2{x^2} - 3x - 5}} \div \frac{{{x^2} - x - 42}}{{{x^2} + 7x + 6}}\)
Solución:
Invertimos la segunda fracción y cambiamos la operación a multiplicación. Luego, factorizamos todo.
\[ \frac{(x-7)(x+7)}{(2x-5)(x+1)} \cdot \frac{(x+6)(x+1)}{(x-7)(x+6)} \]
Cancelamos los factores comunes: \((x-7)\), \((x+1)\) y \((x+6)\).
\[ \frac{x+7}{2x-5} \]
Ejercicio 6: Dividir \( \displaystyle \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{2{x^2} - 8x - 24}} \div \frac{{{x^2} - 9x + 20}}{{{x^2} - 11x + 30}}\)
Solución:
Invertimos y multiplicamos. Factorizamos todo, incluyendo el factor común 2 en el primer denominador.
\[ \frac{(x-4)(x+2)}{2(x^2-4x-12)} \cdot \frac{(x-5)(x-6)}{(x-4)(x-5)} = \frac{(x-4)(x+2)}{2(x-6)(x+2)} \cdot \frac{(x-5)(x-6)}{(x-4)(x-5)} \]
Cancelamos todos los factores comunes: \((x-4)\), \((x+2)\), \((x-5)\) y \((x-6)\). Todo se cancela excepto el 2 en el denominador.
\[ \frac{1}{2} \]
Ejercicio 7: Simplificar \( \displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{{x + 1}}}}{{\displaystyle \frac{{x + 4}}{{{x^2} + 11x + 10}}}}\)
Solución:
Convertimos la división compleja en una multiplicación por el recíproco.
\[ \frac{3}{x+1} \cdot \frac{x^2+11x+10}{x+4} = \frac{3}{x+1} \cdot \frac{(x+10)(x+1)}{x+4} \]
Cancelamos el factor común \((x+1)\).
\[ \frac{3(x+10)}{x+4} \]
Ejercicio 8: Sumar \( \displaystyle \frac{3}{{x - 4}} + \frac{x}{{2x + 7}}\)
Solución:
El MCD es el producto de los denominadores: \((x-4)(2x+7)\). Ajustamos cada fracción.
\[ \frac{3(2x+7)}{(x-4)(2x+7)} + \frac{x(x-4)}{(x-4)(2x+7)} \]
Combinamos los numeradores y simplificamos.
\[ \frac{6x + 21 + x^2 - 4x}{(x-4)(2x+7)} = \frac{x^2 + 2x + 21}{(x-4)(2x+7)} \]
Ejercicio 9: Calcular \( \displaystyle \frac{2}{{3{x^2}}} - \frac{1}{{9{x^4}}} + \frac{2}{{x + 4}}\)
Solución:
El MCD de los denominadores \(3x^2\), \(9x^4\) y \((x+4)\) es \(9x^4(x+4)\).
\[ \frac{2(3x^2)(x+4)}{9x^4(x+4)} - \frac{1(x+4)}{9x^4(x+4)} + \frac{2(9x^4)}{9x^4(x+4)} \]
Combinamos y simplificamos los numeradores.
\[ \frac{6x^3 + 24x^2 - x - 4 + 18x^4}{9x^4(x+4)} = \frac{18x^4 + 6x^3 + 24x^2 - x - 4}{9x^4(x+4)} \]
Ejercicio 10: Restar \( \displaystyle \frac{x}{{{x^2} + 12x + 36}} - \frac{{x - 8}}{{x + 6}}\)
Solución:
Factorizamos el primer denominador: \(x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2\). El MCD es \((x+6)^2\).
\[ \frac{x}{(x+6)^2} - \frac{(x-8)(x+6)}{(x+6)^2} \]
Combinamos numeradores, prestando atención al signo negativo.
\[ \frac{x - (x^2 - 2x - 48)}{(x+6)^2} = \frac{x - x^2 + 2x + 48}{(x+6)^2} = \frac{-x^2 + 3x + 48}{(x+6)^2} \]
Ejercicio 11: Calcular \( \displaystyle \frac{1}{{{x^2} - 13x + 42}} + \frac{{x + 1}}{{x - 6}} - \frac{{{x^2}}}{{x - 7}}\)
Solución:
Factorizamos el primer denominador: \(x^2 - 13x + 42 = (x-6)(x-7)\). El MCD es \((x-6)(x-7)\).
\[ \frac{1}{(x-6)(x-7)} + \frac{(x+1)(x-7)}{(x-6)(x-7)} - \frac{x^2(x-6)}{(x-6)(x-7)} \]
Combinamos y simplificamos los numeradores.
\[ \frac{1 + (x^2 - 6x - 7) - (x^3 - 6x^2)}{(x-6)(x-7)} = \frac{1 + x^2 - 6x - 7 - x^3 + 6x^2}{(x-6)(x-7)} = \frac{-x^3 + 7x^2 - 6x - 6}{(x-6)(x-7)} \]
Ejercicio 12: Sumar \( \displaystyle \frac{{x + 10}}{{{{\left( {3x + 8} \right)}^3}}} + \frac{x}{{{{\left( {3x + 8} \right)}^2}}}\)
Solución:
El MCD es \((3x+8)^3\).
\[ \frac{x+10}{(3x+8)^3} + \frac{x(3x+8)}{(3x+8)^3} \]
Combinamos y simplificamos los numeradores.
\[ \frac{x + 10 + 3x^2 + 8x}{(3x+8)^3} = \frac{3x^2 + 9x + 10}{(3x+8)^3} \]
Ejercicios Resueltos de Expresión Racional en PDF
Conclusión
Trabajar con expresiones racionales es una extensión de las habilidades que ya tienes con fracciones y polinomios. La clave del éxito siempre radica en la factorización. Ya sea para simplificar, multiplicar, dividir, sumar o restar, factorizar primero es el paso más crucial. Recuerda siempre buscar un denominador común para sumas y restas, y ten mucho cuidado con las reglas de cancelación y el manejo de los signos negativos para evitar errores comunes.
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