Integrales Trigonométricas - Ejercicios Resueltos

Llegó el momento de hablar de las integrales trigonométricas. Las integrales trigonométricas  son una herramienta fundamental en el cálculo, permitiendo resolver problemas relacionados con áreas, movimientos periódicos, fenómenos ondulatorios y muchas aplicaciones en física e ingeniería. En este tema, nos enfocaremos en dominar técnicas para integrar funciones trigonométricas elevadas a potencias enteras, específicamente de la forma:

• ∫ senⁿ(x) dx
• ∫ tanⁿ(x) dx
• ∫ secⁿ(x) dx

donde n es un número entero. Estas integrales requieren métodos creativos, como identidades trigonométricas (incluyendo las pitagóricas y las de ángulo doble), reducción de potencias o sustitución estratégica, que iremos desglosando paso a paso.

Identidades Trigonométricas para Simplificar Integrales

Para abordar estas integrales, es esencial recordar dos tipos de identidades fundamentales:

1. Identidades Pitagóricas:
   • sen²(x) + cos²(x) = 1
   • 1 + tan²(x) = sec²(x)
   • 1 + cot²(x) = csc²(x)

Estas identidades ayudan a reescribir potencias pares de funciones trigonométricas, facilitando la integración.

1. Identidades de Producto y Ángulo Doble:
   • sen(x)cos(x) = ½ sen(2x)
   • sen²(x) = (1 – cos(2x))/2
   • cos²(x) = (1 + cos(2x))/2

Estas son útiles para reducir exponentes altos o simplificar productos de funciones trigonométricas. Si no te queda claro, lo ponemos en la siguiente tabla:

Puntos a considerar antes de integrar

Para hacer el aprendizaje más interactivo, algunos ejercicios clave estarán resueltos en reels, TikTok y shorts. Estos videos cortos te mostrarán:

• Cómo aplicar sen(x)cos(x) = ½ sen(2x) para integrar sen³(x)cos(x) en segundos.
• Errores comunes al integrar secⁿ(x) usando identidades mal aplicadas.
• Demostraciones visuales de las identidades pitagóricas en acción.

Ejercicios de Integrales Trigonométricas

Es momento de practicar y de que aprendas a resolver Integrales Trigonométricas paso a paso. Seguro que entenderás el tema, recuerda que cada ejercicio está con solución explicada paso a paso en nuestra cuenta de TikTok e Instagram.

Solución:

Para resolver \(\int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx\), reescribimos \(\sin^3(x)\) como \(\sin^2(x) \sin(x)\):
\[
\int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) \, dx.
\]Aplicamos la identidad trigonométrica \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\):
\[
= \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) \, dx.
\]Expandimos el integrando:
\[
= \int (\cos^2(x) - \cos^4(x)) \sin(x) \, dx.
\]Realizamos la sustitución \(u = \cos(x)\), entonces \(du = -\sin(x) \, dx\), lo que implica \(\sin(x) \, dx = -du\):
\[
= \int (u^2 - u^4) (-du).
\]Cambiamos el signo e invertimos el orden de los términos:
\[
= \int (u^4 - u^2) \, du.
\]Integramos término a término usando la regla de la potencia \(\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\):
\[
= \frac{u^{4+1}}{4+1} - \frac{u^{2+1}}{2+1} + C.
\]Simplificamos las fracciones:
\[
= \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + C.
\]Sustituimos de nuevo \(u = \cos(x)\):
\[
= \frac{\cos^5(x)}{5} - \frac{\cos^3(x)}{3} + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \frac{\cos^5(x)}{5} - \frac{\cos^3(x)}{3} + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \sin^2(x) \, dx\), aplicaremos la identidad de reducción de potencias para el seno. Primero, recordamos la identidad trigonométrica:
\[
\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
\]Sustituyendo en la integral:
\[
\int \sin^2(x) \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx.
\]Separamos en dos integrales más simples:
\[
= \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx.
\]Resolvemos cada término. La primera integral es directa:
\[
\int 1 \, dx = x.
\]Para la segunda integral, \(\int \cos(2x) \, dx\), usamos sustitución: sea \(u = 2x\), entonces \(du = 2 \, dx\), lo que implica \(dx = \frac{du}{2}\). Reemplazando:
\[
\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(2x) + C.
\]Combinando los resultados:
\[
\int \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \sin^2(x) \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \sin^3(x) \, dx\), reescribimos \(\sin^3(x)\) como \(\sin^2(x) \sin(x)\):
\[
\int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx.
\]Aplicamos la identidad trigonométrica \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\):
\[
= \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx.
\]Realizamos la sustitución \(u = \cos(x)\), entonces \(du = -\sin(x) \, dx\), lo que implica \(\sin(x) \, dx = -du\):
\[
= \int (1 - u^2) (-du).
\]Cambiamos el signo e invertimos el orden de los términos:
\[
= \int (u^2 - 1) \, du.
\]Integramos término a término usando la regla de la potencia \(\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\) y la integral de una constante \(\int c \, du = cu\):
\[
= \frac{u^{2+1}}{2+1} - u + C.
\]Simplificamos la fracción:
\[
= \frac{u^3}{3} - u + C.
\]Sustituimos de nuevo \(u = \cos(x)\):
\[
= \frac{\cos^3(x)}{3} - \cos(x) + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \sin^3(x) \, dx = \frac{\cos^3(x)}{3} - \cos(x) + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \sin^4(x) \, dx\), reescribimos \(\sin^4(x)\) como \((\sin^2(x))^2\):
\[
\int \sin^4(x) \, dx = \int (\sin^2(x))^2 \, dx.
\]Aplicamos la identidad de reducción de potencias \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\):
\[
= \int \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 \, dx.
\]Expandimos el cuadrado en el numerador:
\[
= \int \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} \, dx.
\]Sacamos la constante \(\frac{1}{4}\) fuera de la integral:
\[
= \frac{1}{4} \int (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \, dx.
\]Aplicamos la identidad de reducción de potencias para el coseno:

\(\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\) con \(\theta = 2x\):

Entonces:

\[
= \frac{1}{4} \int \left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) \, dx.
\]Combinamos los términos constantes dentro de la integral:
\[
= \frac{1}{4} \int \left(\frac{2}{2} + \frac{1}{2} - 2\cos(2x) + \frac{\cos(4x)}{2}\right) \, dx.
\]Simplificamos los términos:
\[
= \frac{1}{4} \int \left(\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) \, dx.
\]Separamos la integral en términos más simples:
\[
= \frac{1}{4} \left( \int \frac{3}{2} \, dx - \int 2\cos(2x) \, dx + \int \frac{1}{2}\cos(4x) \, dx \right).
\]Integramos cada término:

\(\int \frac{3}{2} \, dx = \frac{3}{2}x\),

\(\int 2\cos(2x) \, dx = \sin(2x)\),

\(\int \frac{1}{2}\cos(4x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\sin(4x) = \frac{1}{8}\sin(4x)\):

Es decir:
\[
= \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2}x - \sin(2x) + \frac{1}{8}\sin(4x) \right) + C.
\]Distribuimos la constante \(\frac{1}{4}\):
\[
= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \sin^4(x) \, dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \sin^5(x) \, dx\), reescribimos \(\sin^5(x)\) como \(\sin^4(x) \sin(x)\):
\[
\int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx.
\]Reescribimos \(\sin^4(x)\) como \((\sin^2(x))^2\):
\[
= \int (\sin^2(x))^2 \sin(x) \, dx.
\]Aplicamos la identidad trigonométrica \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\):
\[
= \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx.
\]Expandimos el cuadrado en el paréntesis:
\[
= \int (1 - 2\cos^2(x) + \cos^4(x)) \sin(x) \, dx.
\]Realizamos la sustitución \(u = \cos(x)\), entonces \(du = -\sin(x) \, dx\), lo que implica \(\sin(x) \, dx = -du\):
\[
= \int (1 - 2u^2 + u^4) (-du).
\]Cambiamos el signo e invertimos el orden de los términos:
\[
= \int (u^4 - 2u^2 + 1) \, du.
\]Integramos término a término usando la regla de la potencia \(\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\) y la integral de una constante \(\int c \, du = cu\):
\[
= \frac{u^{4+1}}{4+1} - 2\frac{u^{2+1}}{2+1} + u + C.
\]Simplificamos las fracciones:
\[
= \frac{u^5}{5} - \frac{2u^3}{3} + u + C.
\]Sustituimos de nuevo \(u = \cos(x)\):
\[
= \frac{\cos^5(x)}{5} - \frac{2\cos^3(x)}{3} + \cos(x) + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \sin^5(x) \, dx = \frac{\cos^5(x)}{5} - \frac{2\cos^3(x)}{3} + \cos(x) + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \tan(x) \, dx\), reescribimos \(\tan(x)\) usando la identidad \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):
\[
\int \tan(x) \, dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx.
\]Realizamos la sustitución \(u = \cos(x)\), entonces \(du = -\sin(x) \, dx\), lo que implica \(\sin(x) \, dx = -du\):
\[
= \int \frac{-du}{u}.
\]Sacamos el signo negativo fuera de la integral:
\[
= - \int \frac{1}{u} \, du.
\]Integramos \(\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C\):
\[
= - \ln|u| + C.
\]Sustituimos de nuevo \(u = \cos(x)\):
\[
= - \ln|\cos(x)| + C.
\]Usando la propiedad del logaritmo \(-\ln(a) = \ln(a^{-1}) = \ln(1/a)\) y la identidad \(\frac{1}{\cos(x)} = \sec(x)\), podemos escribir el resultado alternativamente:
\[
= \ln\left|\frac{1}{\cos(x)}\right| + C = \ln|\sec(x)| + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C = \ln|\sec(x)| + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \tan^2(x) \, dx\), aplicamos la identidad trigonométrica \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\):
\[
\int \tan^2(x) \, dx = \int (\sec^2(x) - 1) \, dx.
\]Separamos la integral en dos términos:
\[
= \int \sec^2(x) \, dx - \int 1 \, dx.
\]Integramos cada término. La integral de \(\sec^2(x)\) es \(\tan(x)\) y la integral de \(1\) es \(x\):
\[
= \tan(x) - x + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \tan^2(x) \, dx = \tan(x) - x + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \tan^3(x) \, dx\), reescribimos \(\tan^3(x)\) como \(\tan^2(x) \tan(x)\):
\[
\int \tan^3(x) \, dx = \int \tan^2(x) \tan(x) \, dx.
\]Aplicamos la identidad trigonométrica \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\):
\[
= \int (\sec^2(x) - 1) \tan(x) \, dx.
\]Distribuimos \(\tan(x)\) dentro del paréntesis:
\[
= \int (\sec^2(x)\tan(x) - \tan(x)) \, dx.
\]Separamos la integral en dos términos:
\[
= \int \sec^2(x)\tan(x) \, dx - \int \tan(x) \, dx.
\]Resolvemos la primera integral \(\int \sec^2(x)\tan(x) \, dx\) usando la sustitución \(u = \tan(x)\), \(du = \sec^2(x) \, dx\):
\[
\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C_1 = \frac{\tan^2(x)}{2} + C_1.
\]Resolvemos la segunda integral \(\int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C_2\):
\[
\int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C_2.
\]Combinamos los resultados:
\[
= \frac{\tan^2(x)}{2} - (-\ln|\cos(x)|) + C.
\]Simplificamos el signo:
\[
= \frac{\tan^2(x)}{2} + \ln|\cos(x)| + C.
\]Alternativamente, usando \(\int \tan(x) \, dx = \ln|\sec(x)| + C\):
\[
= \frac{\tan^2(x)}{2} - \ln|\sec(x)| + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \tan^3(x) \, dx = \frac{\tan^2(x)}{2} + \ln|\cos(x)| + C = \frac{\tan^2(x)}{2} - \ln|\sec(x)| + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \tan^4(x) \, dx\), reescribimos \(\tan^4(x)\) como \(\tan^2(x) \tan^2(x)\):
\[
\int \tan^4(x) \, dx = \int \tan^2(x) \tan^2(x) \, dx.
\]Aplicamos la identidad trigonométrica \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\) a uno de los factores \(\tan^2(x)\):
\[
= \int \tan^2(x) (\sec^2(x) - 1) \, dx.
\]Distribuimos \(\tan^2(x)\) dentro del paréntesis:
\[
= \int (\tan^2(x)\sec^2(x) - \tan^2(x)) \, dx.
\]Separamos la integral en dos términos:
\[
= \int \tan^2(x)\sec^2(x) \, dx - \int \tan^2(x) \, dx.
\]Resolvemos la primera integral \(\int \tan^2(x)\sec^2(x) \, dx\) usando la sustitución \(u = \tan(x)\), \(du = \sec^2(x) \, dx\):
\[
\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C_1 = \frac{\tan^3(x)}{3} + C_1.
\]Resolvemos la segunda integral \(\int \tan^2(x) \, dx\) usando la identidad \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\):
\[
\int (\sec^2(x) - 1) \, dx = \tan(x) - x + C_2.
\]Combinamos los resultados:
\[
= \frac{\tan^3(x)}{3} - (\tan(x) - x) + C.
\]Distribuimos el signo negativo:
\[
= \frac{\tan^3(x)}{3} - \tan(x) + x + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \tan^4(x) \, dx = \frac{\tan^3(x)}{3} - \tan(x) + x + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \tan^5(x) \, dx\), reescribimos \(\tan^5(x)\) como \(\tan^3(x) \tan^2(x)\):
\[
\int \tan^5(x) \, dx = \int \tan^3(x) \tan^2(x) \, dx.
\]Aplicamos la identidad trigonométrica \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\) a uno de los factores \(\tan^2(x)\):
\[
= \int \tan^3(x) (\sec^2(x) - 1) \, dx.
\]Distribuimos \(\tan^3(x)\) dentro del paréntesis:
\[
= \int (\tan^3(x)\sec^2(x) - \tan^3(x)) \, dx.
\]Separamos la integral en dos términos:
\[
= \int \tan^3(x)\sec^2(x) \, dx - \int \tan^3(x) \, dx.
\]Resolvemos la primera integral \(\int \tan^3(x)\sec^2(x) \, dx\) usando la sustitución \(u = \tan(x)\), \(du = \sec^2(x) \, dx\):
\[
\int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C_1 = \frac{\tan^4(x)}{4} + C_1.
\]Resolvemos la segunda integral \(\int \tan^3(x) \, dx\). Del Ejercicio 7, sabemos que \(\int \tan^3(x) \, dx = \frac{\tan^2(x)}{2} + \ln|\cos(x)| + C_2\).
\[
\int \tan^3(x) \, dx = \frac{\tan^2(x)}{2} + \ln|\cos(x)| + C_2.
\]Combinamos los resultados:
\[
= \frac{\tan^4(x)}{4} - \left(\frac{\tan^2(x)}{2} + \ln|\cos(x)|\right) + C.
\]Distribuimos el signo negativo:
\[
= \frac{\tan^4(x)}{4} - \frac{\tan^2(x)}{2} - \ln|\cos(x)| + C.
\]Alternativamente, usando \(\int \tan^3(x) \, dx = \frac{\tan^2(x)}{2} - \ln|\sec(x)| + C\):
\[
= \frac{\tan^4(x)}{4} - \left(\frac{\tan^2(x)}{2} - \ln|\sec(x)|\right) + C = \frac{\tan^4(x)}{4} - \frac{\tan^2(x)}{2} + \ln|\sec(x)| + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \tan^5(x) \, dx = \frac{\tan^4(x)}{4} - \frac{\tan^2(x)}{2} - \ln|\cos(x)| + C = \frac{\tan^4(x)}{4} - \frac{\tan^2(x)}{2} + \ln|\sec(x)| + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \sec(x) \, dx\), multiplicamos el integrando por \(\frac{\sec(x) + \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)}\):
\[
\int \sec(x) \, dx = \int \sec(x) \frac{\sec(x) + \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \, dx.
\]Multiplicamos en el numerador:
\[
= \int \frac{\sec^2(x) + \sec(x)\tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \, dx.
\]Realizamos la sustitución \(u = \sec(x) + \tan(x)\), entonces \(du = (\sec(x)\tan(x) + \sec^2(x)) \, dx\):
\[
= \int \frac{du}{u}.
\]Integramos \(\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C\):
\[
= \ln|u| + C.
\]Sustituimos de nuevo \(u = \sec(x) + \tan(x)\):
\[
= \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \sec^4(x) \, dx\), reescribimos \(\sec^4(x)\) como \(\sec^2(x) \sec^2(x)\):
\[
\int \sec^4(x) \, dx = \int \sec^2(x) \sec^2(x) \, dx.
\]Aplicamos la identidad trigonométrica \(\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)\) a uno de los factores \(\sec^2(x)\):
\[
= \int (1 + \tan^2(x)) \sec^2(x) \, dx.
\]Realizamos la sustitución \(u = \tan(x)\), entonces \(du = \sec^2(x) \, dx\):
\[
= \int (1 + u^2) \, du.
\]Integramos término a término usando la regla de la potencia \(\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\) y la integral de una constante \(\int c \, du = cu\):
\[
= u + \frac{u^{2+1}}{2+1} + C.
\]Simplificamos la fracción:
\[
= u + \frac{u^3}{3} + C.
\]Sustituimos de nuevo \(u = \tan(x)\):
\[
= \tan(x) + \frac{\tan^3(x)}{3} + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \sec^4(x) \, dx = \tan(x) + \frac{\tan^3(x)}{3} + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \sec^3(x) \, dx\), usaremos integración por partes con \(u = \sec(x)\) y \(dv = \sec^2(x) \, dx\):
\[
\int \sec^3(x) \, dx = \sec(x)\tan(x) - \int \tan(x) (\sec(x)\tan(x)) \, dx.
\]Simplificamos el integrando de la nueva integral:
\[
= \sec(x)\tan(x) - \int \sec(x)\tan^2(x) \, dx.
\]Aplicamos la identidad trigonométrica \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\):
\[
= \sec(x)\tan(x) - \int \sec(x)(\sec^2(x) - 1) \, dx.
\]Distribuimos \(\sec(x)\) en el integrando:
\[
= \sec(x)\tan(x) - \int (\sec^3(x) - \sec(x)) \, dx.
\]Separamos la integral en dos términos:
\[
= \sec(x)\tan(x) - \int \sec^3(x) \, dx + \int \sec(x) \, dx.
\]Sea \(I = \int \sec^3(x) \, dx\), la ecuación es \(I = \sec(x)\tan(x) - I + \int \sec(x) \, dx\). Sumamos \(I\) a ambos lados:
\[
2I = \sec(x)\tan(x) + \int \sec(x) \, dx.
\]Del Ejercicio 10, sabemos que \(\int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C'\). Sustituimos:
\[
2I = \sec(x)\tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C'.
\]Dividimos por 2 para despejar \(I\):
\[
I = \frac{1}{2}\sec(x)\tan(x) + \frac{1}{2}\ln|\sec(x) + \tan(x)| + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \sec^3(x) \, dx = \frac{1}{2}\sec(x)\tan(x) + \frac{1}{2}\ln|\sec(x) + \tan(x)| + C}
\]

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Solución:

Para resolver \(\int \frac{\sin^2(x) \cot(x)}{\sec(x)} \, dx\), simplificamos el integrando usando identidades trigonométricas \(\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\) y \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\):
\[
\frac{\sin^2(x) \cot(x)}{\sec(x)} = \frac{\sin^2(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{\frac{1}{\cos(x)}}.
\]Simplificamos el numerador:
\[
= \frac{\sin(x)\cos(x)}{\frac{1}{\cos(x)}}.
\]Multiplicamos por el recíproco del denominador:
\[
= \sin(x)\cos(x) \cdot \cos(x) = \sin(x)\cos^2(x).
\]La integral se convierte en:
\[
\int \sin(x)\cos^2(x) \, dx.
\]Realizamos la sustitución \(u = \cos(x)\), entonces \(du = -\sin(x) \, dx\), lo que implica \(\sin(x) \, dx = -du\):
\[
= \int u^2 (-du).
\]Sacamos el signo negativo fuera de la integral:
\[
= - \int u^2 \, du.
\]Integramos usando la regla de la potencia \(\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\):
\[
= - \frac{u^{2+1}}{2+1} + C.
\]Simplificamos la fracción:
\[
= - \frac{u^3}{3} + C.
\]Sustituimos de nuevo \(u = \cos(x)\):
\[
= - \frac{\cos^3(x)}{3} + C.
\]

La solución final se escribe como:
\[
\boxed{\int \frac{\sin^2(x) \cot(x)}{\sec(x)} \, dx = - \frac{\cos^3(x)}{3} + C}
\]

¿Tuviste problemas para entender la integral?, no te preocupes mira el video paso a paso 👇

Conclusión

A partir de los ejercicios de integración trigonométrica realizados, podemos reflexionar sobre varios aspectos, por ejemplo:

Estas integrales son un componente esencial del cálculo integral. A menudo requieren el uso estratégico de identidades trigonométricas para transformar el integrando en una forma que pueda ser resuelta mediante sustitución, integración por partes, o integrales básicas. No hay un método único que funcione para todas; la clave reside en identificar la estructura del integrando (potencias de seno, coseno, tangente, secante, etc.) y aplicar la identidad o técnica adecuada. Su resolución puede ser laboriosa, implicando varias etapas de simplificación y aplicación de diferentes reglas de integración.

Las integrales trigonométricas, al igual que las funciones trigonométricas, tienen una amplia gama de aplicaciones en campos que modelan fenómenos periódicos o con comportamiento ondulatorio. Algunos ejemplos incluyen: En física e ingeniería, para el análisis de oscilaciones (como resortes y péndulos), propagación de ondas (luz, sonido, señales eléctricas), y sistemas de corriente alterna. En el cálculo de áreas, volúmenes o longitudes de curvas que se describen mediante funciones trigonométricas. En el procesamiento de señales y análisis de Fourier, donde las integrales se utilizan para descomponer funciones complejas en componentes sinusoidales más simples.

La práctica con estas integrales fomenta el dominio de las identidades trigonométricas y la habilidad para manipular expresiones algebraicas que las contienen. Se desarrolla la capacidad para identificar qué técnica de integración es la más adecuada según la forma del integrando. Se mejora la destreza en el uso de la sustitución y la integración por partes en contextos trigonométricos.

Se refuerza la importancia de simplificar una expresión antes de intentar integrarla. En conjunto, estos ejercicios construyen una base sólida en el cálculo integral y la manipulación de funciones trigonométricas, habilidades fundamentales en muchas disciplinas científicas y de ingeniería.