En nuestros artículos y ejercicios resueltos sobre Cálculo Integral , existe uno de los temas más importantes y más odiado por algunos estudiantes, se trata sobre la Integración por partes , o bien las Integrales por partes. Este tipo de integración puede parecer complejo, pero no lo es del todo.

Hace algunos meses publicábamos sobre las integrales por sustitución o cambio de variable , recordemos que la mayor parte de las integrales tienen aplicaciones importantes en la ingeniería, y muchos campos de la ciencia, es por ello que debemos tener cuidado al momento de realizar cada integral y no equivocarnos en el proceso. El método por partes se aplica para un producto entre dos funciones, es ahí donde radica la fórmula e integración por éste método.  😀

🤔 ¿Cómo se obtiene la integral por partes?

Veamos como se obtiene:

Supongamos que tenemos la función de un producto, a dicha función la llamaremos “y”. Por lo tanto las dos funciones las pondremos de esta forma, a una como “u” y a otra como “v”.  Es decir:

\displaystyle y=uv

Si derivamos respecto a “x”, obtenemos lo siguiente:

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left( uv \right)

¡Atención aquí! , esto se trata de la derivada de un producto

\displaystyle \frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}

Vamos a multiplicar toda la igualdad por “dx” para eliminar a los denominadores

\displaystyle dx\left( \frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx} \right)

Esto nos da:

\displaystyle dy=udv+vdu

Integrando ambos miembros de la igualdad, tenemos:

\displaystyle \int{dy}=\int{udv}+\int{vdu}

De las tres integrales, solamente podemos integrar la primera (la del miembro izquierdo), porque es la única que podemos definir su valor, y esto nos da:

\displaystyle y=\int{udv}+\int{vdu}

Recordemos que al principio dijimos que y = uv , entonces podemos sustituir esa igualdad en lo que llevamos del proceso:

\displaystyle uv=\int{udv}+\int{vdu}

Que dicho y expresado de otra forma, esta igualdad la podemos invertir, es decir:

\displaystyle \int{udv}+\int{vdu}=uv

Y si ahora despejamos la primera integral, dejándola sola del miembro izquierdo, nos queda:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}

Que finalmente es la fórmula de integral por partes. 😎

✅ Reglas para la integración por partes

Ahora, antes de comenzar a resolver ejercicios donde apliquemos el método de por partes, es necesario tener en cuenta lo siguiente: Es muy probable que de la integral original nos quede una integral más, es decir; no en el primer intento de integración obtenemos el resultado, nos puede quedar otra integral más y seguiremos resolviendo.

Ahora, a pesar de que no existe una regla correcta para poder comprobar la variable adecuada en nuestra elección para u, o dv, hay algunos criterios funcionales que aplica en la mayor parte para las integrales por partes, estos criterios son.

1. Para integrales que tienen la forma:

\displaystyle \int{p(x)\ln xdx}

\displaystyle \int{p(x)arcsenxdx}

\displaystyle \int{p(x)arccosxdx}

\displaystyle \int{p(x)arctanxdx}

Donde p(x) es un polinomio, se recomienda siempre hacer U a la función trascendente, mientras que dv = p(x) [El polinomio]

2. Para integrales que tienen la forma:

\displaystyle \int{p(x){{e}^{ax}}dx}

\displaystyle \int{p(x)senxdx}

\displaystyle \int{p(x)\cos xdx}

En donde p(x) es un polinomio, se recomienda siempre hacer u = p(x), mientras que dv a la función trigonométrica o exponencial.

3.  Apoyarse del acrónimo LIATE 

Dónde:

L = Logarítmicas

I = Inversas

A = Algebraicas

T = Trigonométricas

E = Exponenciales

Con este criterio podemos establecer para nosotros quien debe ser U, de izquierda a derecha, es decir primero buscamos que haya logarítimicas, sino pasamos al segundo que es inversas, luego algebraicas y así sucesivamente.

Ejercicios Resueltos de Integrales Por Partes

En los siguientes ejercicios se hará uso de las técnicas de integración por partes y de todo lo relacionado con ILATE para resolver diversos casos de integración. Prestar mucha atención porque es de vital importancia.

Ejemplo 1: Resuelva la siguiente integral ʃ x sen x dx 

\displaystyle \int{xsen(x)dx}

Solución:

Este tipo de integral no se puede resolver por el método de sustitución, pues se trata del producto de dos funciones, tanto “x” como el “sen(x)” se multiplican, entonces tenemos que recurrir a la integración por partes.

Necesitamos dos cosas, ¿quién será ” u ” ? y ¿quién será ” dv ” ?

Aplicando el acrónimo ILATE, vemos que no hay Inversas, no hay Logarítmicas, y lo que si tenemos es una función Algebraica, por lo que se puede tomar en cuenta para hacer a “u” a la función algebraica, si hacemos esto, tenemos:

\displaystyle \begin{array}{l}u=x\\dv=sen(x)dx\end{array}

Entonces:

  • Derivada de  = dx
  • Integral de dv = -cos(x)

Aplicando nuestra fórmula de integral por partes:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}

Es decir, que ya tenemos:

Ordenando, y resolviendo la integral del coseno x, qué es seno de x, entonces tenemos:

▶ Resultado:

Ejemplo 2: Resuelva la siguiente integral

\displaystyle \int{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}

Solución:

Si nos basamos nuevamente en el acrónimo ILATE , vemos que tenemos dos funciones en la integral, a x al cuadrado y a la exponencial elevado a la “x”, entonces si seguimos la regla, lo primero que vamos a encontrar es a la algebraica, quien será nuestra “u” y la otra parte “dv” será para la exponencial, de esta forma:

\displaystyle \begin{array}{l}u={{x}^{2}}\\dv={{e}^{x}}dx\end{array}

Entonces:

  • Derivada de = 2x dx
  • Integral de dv = e^(x)

Es, decir que ya tenemos:

Sin embargo, aquí nos topamos con un caso diferente, existe otra integral por partes dentro de la misma integral por partes :O

Ordenamos y resolvemos dicha integral.

\displaystyle \int{2x{{e}^{x}}dx}

Nuevamente se trata de una integral por partes, entonces vamos a solucionarlo como lo hemos venido haciendo.

\displaystyle \begin{array}{l}u=2x\\dv={{e}^{x}}dx\end{array}

De esta nueva integral, nos queda:

  • Derivada de = 2dx
  • Integral de dv = e^(x)

Por lo que:

Resolviendo la segunda integral nos queda:

\displaystyle \int{2x{{e}^{x}}dx=2x{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}}

Ahora juntando nuestra última integral, con la anterior. Nos queda:

▶ Resultado:

Ejemplo 3: Resuelva la integral de la secante cúbica

\displaystyle \int{{{\sec }^{3}}xdx}

Solución:

Una de las integrales más nombradas dentro de la integración por partes, es la integral de la secante cúbica, ésta integral de pontencia none, se debe hacer por partes. Así que la vamos a resolver sin problemas.

Primero aplicaremos lo siguiente:

\displaystyle \int{{{\sec }^{3}}xdx=}\int{{{\sec }^{2}}x\sec xdx}

Por identidad trigonométrica, sabemos que:

\displaystyle {{\sec }^{2}}x={{\tan }^{2}}x+1

Sustituyendo en nuestra integral.

\displaystyle \int{\left( {{\tan }^{2}}x+1 \right)\sec xdx}

Aplicando propiedad distributiva, tenemos que:

\displaystyle \int{{{\tan }^{2}}x}\sec xdx+\int{\sec x}dx

La segunda integral es la más sencilla, porque es una integral directa. Ahora debemos realizar la primera. Y nos enfocaremos en ello.

Para esta integral por parte, hacemos:

\displaystyle \begin{array}{l}u=\tan x\\dv=\tan x\sec xdx\end{array}

De esta integral, nos queda:

  • Derivada de = sec^2(x) dx
  • Integral de dv = sec x

Es decir que ya tenemos:

Si observamos, vemos que en nuestro desarrollo de la integral obtenemos exactamente el resultado de la integral que estamos resolviendo, entonces vamos a realizar lo siguiente:Si realizamos el despeje, tenemos entonces que:

\displaystyle \int{{{\sec }^{3}}xdx}+\int{{{\sec }^{3}}xdx}=\tan x\sec x+\int{\sec xdx}

Las integrales del miembro izquierdo se suman, y en el miembro derecho integramos a secante de “x”. Esto daría:

\displaystyle 2\int{{{\sec }^{3}}xdx}=\tan x\sec x+\ln (\tan x+\sec x)+c

Y finalmente, despejamos a la integral de secante cúbica, por lo que el dos que multiplica a la integral, pasará a dividir al segundo miembro, de esta forma:

▶ Resultado: