Números Complejos - Ejercicios Resueltos (Guía Completa)

El último tema de esta sección, los números complejos, no está directamente relacionado con la mayoría de lo que hemos hecho en este capítulo, aunque sí tiene conexión con la sección de radicales, como veremos. Aunque no usaremos este material con frecuencia en el resto del curso, hay un par de secciones futuras donde será necesario, por lo que es mejor abordarlo de una vez.

En la sección de radicales, mencionamos que no podemos obtener un número real de la raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo, \(\sqrt{-9}\) no es un número real, ya que no existe ningún número real que al elevarlo al cuadrado nos dé un 9 NEGATIVO.

Ahora bien, también vimos que si \(a\) y \(b\) eran ambos positivos, entonces \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\). Si por un momento ignoramos esa restricción, podríamos hacer lo siguiente:

\[\sqrt{-9} = \sqrt{(9)(-1)} = \sqrt{9}\sqrt{-1} = 3\sqrt{-1}\]

El término \(\sqrt{-1}\) no es un número real, pero si lo piensas, podemos hacer esto para cualquier raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo:

\[\begin{align*}\sqrt { - 100} & = \sqrt {100} \sqrt { - 1} = 10\sqrt { - 1} \\ \sqrt { - 5} & = \sqrt 5 \,\,\sqrt { - 1} \\ \sqrt { - 290} & = \sqrt {290} \,\,\sqrt { - 1} \hspace{0.25in}\text{etc.}\end{align*}\]

Así, incluso si el número no es un cuadrado perfecto, siempre podemos reducir la raíz cuadrada de un número negativo a la raíz cuadrada de un número positivo (que nosotros o una calculadora podemos manejar) multiplicada por \(\sqrt{-1}\).

Entonces, si tuviéramos una manera de lidiar con \(\sqrt{-1}\), podríamos trabajar con raíces cuadradas de números negativos. La realidad es que, a este nivel, no hay forma de manejar \(\sqrt{-1}\), así que en lugar de lidiar con él, lo "hacemos desaparecer", por así decirlo, usando la siguiente definición:

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{i = \sqrt { - 1} }}\]

Nota que si elevamos al cuadrado ambos lados de esta igualdad, obtenemos:

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{i^2} = - 1}}\]

Será importante recordar esto más adelante. Esto demuestra que, de alguna manera, \(i\) es el único "número" que podemos elevar al cuadrado y obtener un valor negativo.

Usando esta definición, todas las raíces cuadradas anteriores se convierten en:

\[\begin{align*}\sqrt { - 9} & = 3\,i & \hspace{0.5in}\sqrt { - 100} & = 10\,i\\ \sqrt { - 5} & = \sqrt 5 \,i & \hspace{0.5in} \sqrt { - 290} & = \sqrt {290} \,i\end{align*}\]

Todos estos son ejemplos de números complejos.

La pregunta natural en este punto es probablemente, ¿por qué nos importa esto? La respuesta es que, como veremos en el próximo capítulo, a veces nos encontraremos con raíces cuadradas de números negativos y necesitaremos una forma de manejarlas. Por eso, necesitamos hablar de los números complejos.

¿Qué son los números complejos? 🤔

Comencemos con algunas de las definiciones y terminología básicas para los números complejos. La forma estándar de un número complejo es:

\[a + bi\]

donde \(a\) y \(b\) son números reales y pueden ser cualquier cosa: positivos, negativos, cero, enteros, fracciones, decimales, no importa. En la forma estándar, \(a\) se llama la parte real del número complejo y \(b\) se llama la parte imaginaria.

Aquí hay algunos ejemplos de números complejos:

\[3 + 5i\hspace{0.25in}\,\,\,\,\sqrt 6 - 10i\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{5} + i\,\,\,\,\,\,\,16i\,\,\,\,\,\,\,\,\,113\]

Los dos últimos probablemente necesiten un poco más de explicación. Es completamente posible que \(a\) o \(b\) sean cero. En \(16i\), la parte real es cero. Cuando la parte real es cero, a menudo llamamos al número complejo un número puramente imaginario. En el último ejemplo (113), la parte imaginaria es cero y en realidad tenemos un número real. Por lo tanto, pensando en los números de esta manera, podemos ver que los números reales son simplemente un subconjunto de los números complejos.

El conjugado del número complejo \(a + bi\) es el número complejo \(a - bi\). En otras palabras, es el número complejo original con el signo de la parte imaginaria cambiado. Aquí hay algunos ejemplos de números complejos y sus conjugados:

\[\begin{array}{*{20}{c}}{{\mbox{número complejo}}}&{\hspace{0.25in}{\mbox{conjugado}}}\\{3 + \frac{1}{2}i}&{\hspace{0.25in}3 - \frac{1}{2}i}\\{12 - 5i}&{\hspace{0.25in}12 + 5i}\\{1 - i}&{\hspace{0.25in}1 + i}\\{45i}&{\hspace{0.25in} - 45i}\\{101}&{\hspace{0.25in}101}\end{array}\hspace{0.25in}\]

Observa que el conjugado de un número real es simplemente él mismo, sin cambios.

Operaciones con Números Complejos

Ahora necesitamos discutir las operaciones básicas. Empezaremos con la suma y la resta. La forma más fácil de pensar en sumar y/o restar números complejos es tratar cada número complejo como un polinomio y realizar la operación de la misma manera que lo haríamos con los polinomios.

Solución:

Realmente no hay mucho que hacer aquí más que sumar o restar. Nota que los paréntesis en los primeros términos solo están ahí para indicar que estamos tratando ese término como un número complejo y, en general, no son necesarios.

a) \(\left( { - 4 + 7i} \right) + \left( {5 - 10i} \right) = (-4+5) + (7-10)i = 1 - 3i\)

b) \(\left( {4 + 12i} \right) - \left( {3 - 15i} \right) = 4 + 12i - 3 + 15i = (4-3) + (12+15)i = 1 + 27i\)

c) \(5i - \left( { - 9 + i} \right) = 5i + 9 - i = 9 + (5-1)i = 9 + 4i\)

Ahora veamos la multiplicación. De nuevo, con una pequeña diferencia, probablemente sea más fácil pensar en los números complejos como polinomios, así que multiplícalos como lo harías con polinomios. La única diferencia vendrá en el paso final, como veremos.

Solución:

a) Distribuimos el \(7i\) a través del paréntesis.

\[7i\left( { - 5 + 2i} \right) = - 35i + 14{i^2}\]

Aquí es donde entra en juego la pequeña diferencia. Este número NO está en forma estándar. La forma estándar no tiene un \(i^2\). Sin embargo, esto no es un problema si recordamos que \(i^2 = -1\).

\[7i\left( { - 5 + 2i} \right) = - 35i + 14\left( { - 1} \right) = - 14 - 35i\]

También reorganizamos el orden para que la parte real aparezca primero.

b) En este caso, haremos FOIL con los dos números y también necesitaremos recordar deshacernos del \(i^2\).

\[\left( {1 - 5i} \right)\left( { - 9 + 2i} \right) = - 9 + 2i + 45i - 10{i^2} = - 9 + 47i - 10\left( { - 1} \right) = 1 + 47i\]

c) Lo mismo con este.

\[\left( {4 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right) = 8 + 12i + 2i + 3{i^2} = 8 + 14i + 3\left( { - 1} \right) = 5 + 14i\]

d) Aquí hay una última multiplicación que nos llevará al siguiente tema.

\[\left( {1 - 8i} \right)\left( {1 + 8i} \right) = 1 + 8i - 8i - 64{i^2} = 1 + 64 = 65\]

No te sorprendas si el producto de dos números complejos es un número real. Puede suceder y sucederá en ocasiones.

División de Números Complejos

En la parte final del ejemplo anterior, multiplicamos un número por su conjugado. Hay una fórmula general muy útil para esto que será conveniente cuando hablemos de la división de números complejos.

\[\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} - abi + abi - {b^2}{i^2} = {a^2} + {b^2}\]

Entonces, cuando multiplicamos un número complejo por su conjugado, obtenemos un número real dado por:

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}}}\]

La idea principal en la división es que queremos escribir el resultado en forma estándar, lo que no permite tener \(i\) en el denominador. Para eliminar la \(i\) del denominador, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Solución:

a) Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de \(2+7i\), que es \(2-7i\).

\[\frac{{3 - i}}{{2 + 7i}} = \frac{{\left( {3 - i} \right)}}{{\left( {2 + 7i} \right)}}\frac{{\left( {2 - 7i} \right)}}{{\left( {2 - 7i} \right)}} = \frac{{6 - 23i + 7{i^2}}}{{{2^2} + {7^2}}} = \frac{{ - 1 - 23i}}{{53}} = - \frac{1}{{53}} - \frac{{23}}{{53}}i\]

Nota que para poner oficialmente la respuesta en forma estándar, separamos la fracción en sus partes real e imaginaria.

b) El conjugado de \(9-i\) es \(9+i\).

\[\frac{3}{{9 - i}} = \frac{3}{{\left( {9 - i} \right)}}\frac{{\left( {9 + i} \right)}}{{\left( {9 + i} \right)}} = \frac{{27 + 3i}}{{{9^2} + {1^2}}} = \frac{{27}}{{82}} + \frac{3}{{82}}i\]

c) Este es un poco diferente. Podríamos usar el conjugado de \(2i\), que es \(-2i\), pero es más fácil simplemente multiplicar el numerador y el denominador por \(i\).

Primero, separamos la fracción:

\[\frac{{6 - 9i}}{{2i}} = \frac{6}{{2i}} - \frac{{9i}}{{2i}} = \frac{3}{i} - \frac{9}{2}\]

Ahora, multiplicamos el primer término por \(i/i\):

\[\frac{{3\left( i \right)}}{{i\left( i \right)}} - \frac{9}{2} = \frac{{3i}}{{{i^2}}} - \frac{9}{2} = \frac{{3i}}{{ - 1}} - \frac{9}{2} = - \frac{9}{2} - 3i\]

Reglas para Raíces de Números Negativos

Necesitamos abordar un punto importante. De la sección de radicales, sabemos que \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) si ambos números son positivos. Resulta que esto también funciona si uno de los números es negativo. Por ejemplo:

\[6i = \sqrt { - 36} = \sqrt {\left( { - 4} \right)\left( 9 \right)} = \sqrt { - 4} \,\sqrt 9 = \left( {2i} \right)\left( 3 \right) = 6i\]

Sin embargo, si AMBOS números son negativos, la regla ya no funciona, como muestra lo siguiente:

\[6 = \sqrt {36} = \sqrt {\left( { - 4} \right)\left( { - 9} \right)} \ne \sqrt { - 4} \,\sqrt { - 9} = \left( {2i} \right)\left( {3i} \right) = 6{i^2} = - 6\]

Regla de oro: Cuando te encuentres con raíces cuadradas de números negativos, lo primero que debes hacer es convertirlas a números complejos usando \(i\). Si sigues esta regla, siempre obtendrás la respuesta correcta.

Solución:

Si multiplicáramos esto en su forma actual, podríamos cometer el error de combinar \(\sqrt{-36}\sqrt{-100}\), lo cual es incorrecto.

La forma correcta de trabajar este problema es convertir primero las raíces a números complejos.

\[\left( {2 - \sqrt { - 100} } \right)\left( {1 + \sqrt { - 36} } \right) = \left( {2 - 10i} \right)\left( {1 + 6i} \right)\]

Ahora multiplicamos:

\[\left( {2 - 10i} \right)\left( {1 + 6i} \right) = 2 + 12i - 10i - 60{i^2} = 2 + 2i - 60(-1) = 62 + 2i\]

Ejercicios Resueltos de Números Complejos

Solución:

Usamos el método FOIL para multiplicar los dos binomios.

\[ (4)(12) + (4)(11i) - (5i)(12) - (5i)(11i) \]\[ = 48 + 44i - 60i - 55i^2 \]

Agrupamos las partes real e imaginaria y sustituimos \(i^2 = -1\).

\[ = 48 - 16i - 55(-1) = 48 - 16i + 55 = 103 - 16i \]

Solución:

Distribuimos el signo negativo y agrupamos las partes reales e imaginarias.

\[ -3 - i - 6 + 7i = (-3 - 6) + (-1 + 7)i = -9 + 6i \]

Solución:

Distribuimos el signo negativo y agrupamos las partes reales e imaginarias.

\[ 1 + 4i + 16 - 9i = (1 + 16) + (4 - 9)i = 17 - 5i \]

Solución:

Usamos la propiedad distributiva.

\[ (8i)(10) + (8i)(2i) = 80i + 16i^2 \]

Sustituimos \(i^2 = -1\) y ordenamos en la forma estándar \(a+bi\).

\[ 80i + 16(-1) = -16 + 80i \]

Solución:

Usamos el método FOIL.

\[ (-3)(1) + (-3)(10i) - (9i)(1) - (9i)(10i) \]\[ = -3 - 30i - 9i - 90i^2 \]

Agrupamos y sustituimos \(i^2 = -1\).

\[ = -3 - 39i - 90(-1) = -3 - 39i + 90 = 87 - 39i \]

Solución:

Usamos el método FOIL.

\[ (2)(8) + (2)(3i) + (7i)(8) + (7i)(3i) \]\[ = 16 + 6i + 56i + 21i^2 \]

Agrupamos y sustituimos \(i^2 = -1\).

\[ = 16 + 62i + 21(-1) = 16 + 62i - 21 = -5 + 62i \]

Solución:

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \((2 - 10i)\).

\[ \frac{(7-i)(2-10i)}{(2+10i)(2-10i)} = \frac{14 - 70i - 2i + 10i^2}{2^2 + 10^2} \]

Simplificamos el numerador sustituyendo \(i^2 = -1\) y calculamos el denominador.

\[ \frac{14 - 72i - 10}{4 + 100} = \frac{4 - 72i}{104} \]

Separamos en la forma estándar y simplificamos las fracciones.

\[ \frac{4}{104} - \frac{72}{104}i = \frac{1}{26} - \frac{9}{13}i \]

Solución:

Para eliminar la \(i\) del denominador, podemos multiplicar por el conjugado \((3i)\) o simplemente por \(i\).

\[ \frac{(1+5i)(i)}{(-3i)(i)} = \frac{i + 5i^2}{-3i^2} \]

Sustituimos \(i^2 = -1\).

\[ \frac{i + 5(-1)}{-3(-1)} = \frac{-5+i}{3} \]

Separamos en la forma estándar.

\[ -\frac{5}{3} + \frac{1}{3}i \]

Solución:

Multiplicamos por el conjugado del denominador, que es \((8+i)\).

\[ \frac{(6+7i)(8+i)}{(8-i)(8+i)} = \frac{48 + 6i + 56i + 7i^2}{8^2 + (-1)^2} \]

Simplificamos el numerador y calculamos el denominador.

\[ \frac{48 + 62i - 7}{64+1} = \frac{41+62i}{65} \]

Separamos en la forma estándar.

\[ \frac{41}{65} + \frac{62}{65}i \]

Ejercicios de Números Complejos en PDF

Conclusión

Los números complejos son una extensión fundamental de los números reales que nos permiten encontrar soluciones a problemas que antes eran imposibles, como las raíces cuadradas de números negativos. Entender la unidad imaginaria \(i\), la forma estándar \(a+bi\), las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división mediante el conjugado) y la regla de oro para manejar raíces negativas te proporcionará una base sólida para temas más avanzados en álgebra, cálculo y áreas de la ingeniería. La clave está en manejar la propiedad \(i^2 = -1\) y operar de manera ordenada, separando siempre la parte real de la imaginaria.