Exponentes Enteros - Ejercicios Resueltos

¡Hola, amigos de Fisimat!, En este capítulo de álgebra vamos a sumergirnos en el fascinante mundo de los exponentes enteros (potenciación). Para empezar, nos enfocaremos en los exponentes que son números enteros positivos. Más adelante, exploraremos qué sucede con los exponentes cero y los exponentes negativos. ¡Prepárate para potenciar tus conocimientos matemáticos! 🚀

Si quieres ir directo a los ejercicios, ¡Vamos a los problemas de potenciación!.

¿Qué son los Exponentes Enteros Positivos?

Recordemos primero la definición básica de la exponenciación cuando el exponente es un entero positivo. Si $a$ es cualquier número (llamado base) y $n$ es un entero positivo (llamado exponente), entonces:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{n \text{ veces}}$$

Esto significa que la base $a$ se multiplica por sí misma $n$ veces.

Por ejemplo, si queremos calcular $3^5$:

$$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$$

Aquí, la base es 3 y el exponente es 5.

Por ejemplo, si queremos calcular $3^5$:

$$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$$

Aquí, la base es 3 y el exponente es 5.

La Importancia de los Paréntesis ⚠️

Es crucial entender cómo los paréntesis afectan a las operaciones con exponentes, especialmente cuando trabajamos con números negativos. Considera estos dos casos:

$$(-2)^4 \quad \text{y} \quad -2^4$$

Aunque parezcan similares, ¡sus resultados son diferentes! Al realizar una exponenciación, recuerda que el exponente solo afecta a la cantidad que está inmediatamente a su izquierda.

En el primer caso, $(-2)^4$, el paréntesis está inmediatamente a la izquierda del exponente 4. Esto significa que todo lo que está dentro del paréntesis (el -2 completo) se eleva a la cuarta potencia:

$$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$$

(Recuerda: negativo por negativo da positivo. $(-2)(-2) = 4$, luego $4(-2) = -8$, y finalmente $-8(-2) = 16$).

En el segundo caso, $-2^4$, el número 2 es el que está inmediatamente a la izquierda del exponente 4. Por lo tanto, solo el 2 se eleva a la cuarta potencia. El signo negativo se mantiene al frente y NO se ve afectado por el exponente:

$$-2^4 = -(2^4) = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -(16) = -16$$

Para ilustrarlo mejor, hemos añadido paréntesis extra, pero generalmente se escribiría así:

$$-2^4 = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = -16$$

La lección aquí es: ¡Presta mucha atención a los paréntesis! Son muy importantes. Ignorarlos o ponerlos donde no corresponden puede cambiar completamente el resultado de un problema. Este consejo sobre los paréntesis no solo es para exponentes; será vital durante todo tu aprendizaje de matemáticas.

Exponente Cero y Exponentes Enteros Negativos

Ahora, veamos qué pasa con el exponente cero y los exponentes enteros negativos.

Exponente Cero

Para cualquier número $a$ distinto de cero, elevarlo al exponente cero siempre da como resultado 1:

$$a^0 = 1 \quad (\text{siempre que } a \ne 0)$$

Es fundamental que $a$ no sea cero. La expresión $0^0$ no está definida en matemáticas estándar.

Un ejemplo rápido:

$$(-1268)^0 = 1$$

Exponentes Enteros Negativos

Si $a$ es cualquier número distinto de cero y $n$ es un entero positivo (sí, positivo), entonces un exponente negativo se define así:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

¿Ves por qué exigimos que $a$ no sea cero? Si $a$ fuera cero, tendríamos $0^n$ en el denominador (que es 0 si $n > 0$), y la división por cero no está definida.

Aquí tienes un par de ejemplos rápidos de esta definición:

$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$

$$(-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = \frac{1}{-64} = -\frac{1}{64}$$

Un exponente negativo básicamente nos indica que debemos tomar el recíproco de la base elevada al exponente positivo.

Propiedades Fundamentales de los Exponentes Enteros

Aquí te presentamos algunas de las propiedades más importantes de los exponentes enteros. Estas "leyes de los exponentes" son herramientas esenciales para simplificar expresiones. Cada propiedad irá acompañada de un ejemplo para ilustrar su uso. Más adelante, veremos ejemplos más complejos.

Leyes de los Exponentes:

Producto de potencias con la misma base: $a^n a^m = a^{n+m}$

Cuando multiplicas potencias con la misma base, sumas los exponentes.

Ejemplo: $a^{-9}a^4 = a^{-9+4} = a^{-5}$

Potencia de una potencia: $(a^n)^m = a^{nm}$

Cuando una potencia se eleva a otra potencia, multiplicas los exponentes.

Ejemplo: $(a^7)^3 = a^{(7)(3)} = a^{21}$

Cociente de potencias con la misma base: $\displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ o también $\displaystyle \frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^{m-n}}$, siempre que $a \ne 0$.

Cuando divides potencias con la misma base, restas los exponentes. Puedes elegir la forma que te dé un exponente positivo o que simplifique mejor la expresión.

Ejemplo: $\displaystyle \frac{a^4}{a^{11}} = a^{4-11} = a^{-7}$ $\displaystyle \frac{a^4}{a^{11}} = \frac{1}{a^{11-4}} = \frac{1}{a^7}$ (que es lo mismo que $a^{-7}$)

Potencia de un producto: $(ab)^n = a^n b^n$

La potencia de un producto es el producto de las potencias de cada factor.

Ejemplo: $(ab)^{-4} = a^{-4}b^{-4}$

Potencia de un cociente: $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$, siempre que $b \ne 0$.

La potencia de un cociente es el cociente de las potencias del numerador y del denominador.

Ejemplo: $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^8 = \frac{a^8}{b^8}$

Potencia negativa de un cociente: $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}$, siempre que $a, b \ne 0$.

Elevar una fracción a un exponente negativo es igual a elevar la fracción invertida al exponente positivo.

Ejemplo: $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{-10} = \left(\frac{b}{a}\right)^{10} = \frac{b^{10}}{a^{10}}$

Potencia negativa de un producto (alternativa): $(ab)^{-n} = \displaystyle \frac{1}{(ab)^n}$, siempre que $a, b \ne 0$.

Similar a la definición de exponente negativo, pero para un producto.

Ejemplo: $(ab)^{-20} = \displaystyle \frac{1}{(ab)^{20}}$

Inverso de una potencia con exponente negativo: $\displaystyle \frac{1}{a^{-n}} = a^n$, siempre que $a \ne 0$.

Una base con exponente negativo en el denominador puede pasar al numerador con exponente positivo.

Ejemplo: $\displaystyle \frac{1}{a^{-2}} = a^2$

Cociente con exponentes negativos: $\displaystyle \frac{a^{-n}}{b^{-m}} = \frac{b^m}{a^n}$, siempre que $a, b \ne 0$.

Un término con exponente negativo en el numerador pasa al denominador con exponente positivo, y viceversa.

Ejemplo: $\displaystyle \frac{a^{-6}}{b^{-17}} = \frac{b^{17}}{a^6}$

Potencia de un producto de potencias: $(a^n b^m)^k = a^{nk} b^{mk}$

Distribuyes el exponente exterior a cada exponente interior (multiplicando).

Ejemplo: $(a^4 b^{-9})^3 = a^{(4)(3)} b^{(-9)(3)} = a^{12}b^{-27}$

Potencia de un cociente de potencias: $\displaystyle \left(\frac{a^n}{b^m}\right)^k = \frac{a^{nk}}{b^{mk}}$, siempre que $b \ne 0$.

Similar al anterior, pero con una fracción.

Ejemplo: $\displaystyle \left(\frac{a^6}{b^5}\right)^2 = \frac{a^{(6)(2)}}{b^{(5)(2)}} = \frac{a^{12}}{b^{10}}$

Observa que hay dos formas posibles para la tercera propiedad. La forma que uses dependerá generalmente de cómo quieras que se vea la respuesta final (por ejemplo, si prefieres exponentes positivos).

Además, ten en cuenta que muchas de estas propiedades se dieron con solo dos términos/factores, pero pueden extenderse a tantos términos/factores como necesitemos. Por ejemplo, la propiedad 4 se puede extender así: $$(abcd)^n = a^n b^n c^n d^n$$ Aquí solo usamos cuatro factores, pero esperamos que entiendas la idea. La propiedad 4 (y la mayoría de las otras propiedades) se puede extender para abarcar el número de factores que tengamos en un problema dado.

Errores Comunes que Debes Evitar 😵

Hay varios errores comunes que los estudiantes cometen con estas propiedades la primera vez que las ven. Echemos un vistazo a un par de ellos para que estés prevenido.

Error 1: Confundir $ab^{-2}$ con $(ab)^{-2}$

Considera el siguiente caso:

Correcto: $ab^{-2} = a \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{a}{b^2}$

Incorrecto: $ab^{-2} \ne \frac{1}{ab^2}$

En el caso $ab^{-2}$, solo la $b$ tiene el exponente $-2$ porque es lo que está inmediatamente a la izquierda del exponente. Por lo tanto, solo el término $b^{-2}$ se convierte en $\displaystyle \frac{1}{{{{b}^{2}}}}$ y se mueve al denominador (o más bien, $b$ se mueve al denominador con exponente positivo). ¡No arrastres la $a$ al denominador con la $b$! La $a$ permanece en el numerador (o donde estaba) porque no está afectada por el exponente $-2$.

Compara esto con el siguiente caso, donde los paréntesis cambian todo:

$$(ab)^{-2} = \frac{1}{(ab)^2}$$

Aquí, el exponente $-2$ está sobre el conjunto de paréntesis $(ab)$. Por lo tanto, podemos usar la propiedad 7, y tanto $a$ como $b$ se mueven al denominador con el exponente 2 (o, más precisamente, todo el término $(ab)$ se va al denominador con exponente positivo). ¡De nuevo, nota la importancia de los paréntesis y cómo pueden cambiar una respuesta!

Error 2: Interpretar mal fracciones con exponentes negativos

Aquí tienes otro error común:

Correcto: $\displaystyle \frac{1}{3a^{-5}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a^{-5}} = \frac{1}{3} \cdot a^5 = \frac{a^5}{3}$

Incorrecto: $\displaystyle \frac{1}{3a^{-5}} \ne 3a^5$

En este caso, el exponente $-5$ solo está en la $a$. Para usar la propiedad 8 ($ \frac{1}{x^{-k}} = x^k $) correctamente, tendríamos que separar la fracción como se muestra (considerando el 3 como un factor separado) y luego usar la propiedad 8 solo en el término $a^{-5}$. El 3 permanece en el denominador porque no tiene un exponente negativo que lo mueva.

Para que el 3 subiera junto con la $a$, la expresión original necesitaría haber sido:

$$\frac{1}{(3a)^{-5}} = (3a)^5$$

Una vez más, observa que este error común se reduce a tener cuidado con los paréntesis. Esto será un recordatorio constante. Siempre debemos ser cuidadosos con los paréntesis. Usarlos incorrectamente puede llevar a respuestas incorrectas.

Ejercicios Resueltos de Potenciación

Veamos algunos ejemplos de potenciación, cuando decimos "simplificar" en el enunciado del problema, queremos decir que necesitaremos usar todas las propiedades que podamos para llevar la respuesta a la forma requerida. Además, una respuesta "simplificada" tendrá la menor cantidad de términos posibles, y cada variable o base debería aparecer solo una vez con un único exponente.

Hay muchos caminos diferentes que podemos tomar para llegar a la respuesta final para cada uno de estos. Al final, la respuesta será la misma independientemente del camino que hayas utilizado para obtenerla. Todo lo que esto significa para ti es que, siempre y cuando uses las propiedades correctamente, puedes tomar el camino que te resulte más fácil. El camino que a otros les parezca más fácil puede no ser el que a ti te resulte más fácil. Eso está bien.

Además, no pondremos tantos detalles al usar algunas de estas propiedades como lo hicimos en los ejemplos dados con cada propiedad. Por ejemplo, ya no mostraremos las multiplicaciones reales de los exponentes, simplemente daremos el resultado de la multiplicación.

Solución:

Para este, usaremos primero la propiedad 10: $(a^n b^m)^k = a^{nk} b^{mk}$ (extendida a tres factores dentro del paréntesis).

$$(4x^{-4}y^5)^3 = 4^3 (x^{-4})^3 (y^5)^3 = 4^3 x^{-4 \cdot 3} y^{5 \cdot 3} = 64x^{-12}y^{15}$$

¡No olvides poner el exponente en la constante (el 4)! Ese es uno de los errores más comunes que cometen los estudiantes en estos problemas de simplificación.

Ahora necesitamos evaluar el primer término ($4^3 = 64$) y eliminar el exponente negativo en el segundo término ($x^{-12}$). Para eliminar el exponente negativo, usamos la definición $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$$64x^{-12}y^{15} = 64 \left(\frac{1}{x^{12}}\right) y^{15} = \frac{64y^{15}}{x^{12}}$$

Simplificamos aún más nuestra respuesta combinando todo en una sola fracción. Esto siempre debe hacerse.

El paso intermedio en esta parte ($64 \left(\frac{1}{x^{12}}\right) y^{15}$) generalmente se omite. La definición de exponentes negativos nos dice que movamos el término al denominador (si está en el numerador) o al numerador (si está en el denominador) y cambiemos el signo del exponente. Así que, de ahora en adelante, haremos eso sin escribir el paso intermedio.

Solución:

En este caso, primero usaremos la propiedad 10 en ambos términos y luego combinaremos los términos usando la propiedad 1 ($a^n a^m = a^{n+m}$). Finalmente, eliminaremos los exponentes negativos.

\begin{align*} (-10z^2y^{-4})^2 (z^3y)^{-5} &= ((-10)^2 (z^2)^2 (y^{-4})^2) ((z^3)^{-5} y^{-5}) \\ &= (100 z^4 y^{-8}) (z^{-15} y^{-5})\end{align*}

Ahora combinamos las bases iguales sumando sus exponentes:

$$100 z^{4+(-15)} y^{-8+(-5)} = 100 z^{4-15} y^{-8-5} = 100z^{-11}y^{-13}$$

Finalmente, escribimos con exponentes positivos:

$$100z^{-11}y^{-13} = \frac{100}{z^{11}y^{13}}$$

Hay un par de cosas con las que tener cuidado en este problema. Primero, al usar la propiedad 10 en el primer término, asegúrate de elevar al cuadrado el "-10" completo (da +100) y no solo el 10. Segundo, en el paso final, el 100 se queda en el numerador ya que no tiene un exponente negativo. El exponente "-11" es solo para la $z$, y el "-13" es solo para la $y$, por lo que solo $z$ e $y$ se mueven al denominador.

Solución:

Este no es tan difícil. Usaremos la definición de exponentes negativos (o la propiedad 9) para mover todos los términos con exponentes negativos. Un término con exponente negativo en el numerador se mueve al denominador con exponente positivo, y un término con exponente negativo en el denominador se mueve al numerador con exponente positivo.

$$\frac{n^{-2}m}{7m^{-4}n^{-3}} = \frac{m \cdot m^4 \cdot n^3}{7n^2}$$

Recuerda que $m = m^1$. Ahora simplificamos usando la propiedad 1 para combinar las $m$ en el numerador y la propiedad 3 para combinar las $n$:

$$\frac{m^{1+4} n^{3-2}}{7} = \frac{m^5 n^1}{7} = \frac{m^5n}{7}$$

De nuevo, el 7 se queda en el denominador ya que no tiene un exponente negativo. No te sorprendas si todos los términos se mueven al numerador o si todos los términos se mueven al denominador. Eso sucederá en ocasiones.

Solución:

Este ejemplo es similar al anterior, excepto que hay un poco más sucediendo. El primer paso será, de nuevo, deshacernos de los exponentes negativos. El término $(3y^5)^{-2}$ está en el denominador y tiene un exponente negativo (-2) aplicado a todo el paréntesis. Por lo tanto, todo el término $(3y^5)$ se moverá al numerador con un exponente positivo 2.

Los términos $x^{-1}$ e $y^{-4}$ en el numerador se moverán al denominador con exponentes positivos.

$$\frac{5x^{-1}y^{-4}}{(3y^5)^{-2}x^9} = \frac{5(3y^5)^2}{x^1 y^4 x^9}$$

Ahora aplicamos la potencia al término $(3y^5)^2$:

$$\frac{5 \cdot 3^2 (y^5)^2}{xy^4x^9} = \frac{5 \cdot 9 \cdot y^{10}}{xy^4x^9}$$

Multiplicamos los números y combinamos las variables usando las propiedades de los exponentes:

$$\frac{45y^{10}}{x^{1+9}y^4} = \frac{45y^{10}}{x^{10}y^4}$$

Finalmente, simplificamos $y^{10}/y^4$:

$$\frac{45y^{10-4}}{x^{10}} = \frac{45y^6}{x^{10}}$$

Solución:

Hay varios primeros pasos que podemos tomar con este. El primer paso que casi siempre vamos a tomar con este tipo de problemas es simplificar primero la fracción dentro del paréntesis tanto como sea posible. Después de hacer eso, usaremos la propiedad 5 ($\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$) para lidiar con el exponente que está en el paréntesis.

Dentro del paréntesis:

$$\frac{z^{-5}}{z^{-2}x^{-1}} = \frac{z^2 x^1}{z^5}$$

Simplificamos $z^2/z^5$ usando la propiedad 3 (la forma $\frac{1}{a^{m-n}}$ para obtener un exponente positivo en el denominador):

$$\frac{x}{z^{5-2}} = \frac{x}{z^3}$$

Ahora aplicamos el exponente exterior 6:

$$\left(\frac{x}{z^3}\right)^6 = \frac{x^6}{(z^3)^6} = \frac{x^6}{z^{3 \cdot 6}} = \frac{x^6}{z^{18}}$$

Recuerda que casi nunca escribimos un exponente de "1" ($x^1 = x$).

Solución:

Este es muy similar a la parte anterior. La principal diferencia es el exponente negativo en el exterior. Nos ocuparemos de eso una vez que hayamos simplificado la fracción dentro del paréntesis.

Primero, simplifiquemos la fracción interior:

$$\frac{24a^3b^{-8}}{6a^{-5}b} = \frac{24}{6} \cdot \frac{a^3}{a^{-5}} \cdot \frac{b^{-8}}{b^1}$$

$$= 4 \cdot a^{3-(-5)} \cdot b^{-8-1} = 4 \cdot a^{3+5} \cdot b^{-9} = 4a^8b^{-9}$$

Escribimos $b^{-9}$ con exponente positivo:

$$\frac{4a^8}{b^9}$$

Ahora aplicamos el exponente exterior -2 a esta fracción simplificada:

$$\left(\frac{4a^8}{b^9}\right)^{-2}$$

Podemos usar la propiedad 6: $\left(\frac{A}{B}\right)^{-n} = \left(\frac{B}{A}\right)^n$.

$$\left(\frac{b^9}{4a^8}\right)^2$$

Finalmente, aplicamos el exponente 2 al numerador y al denominador:

$$\frac{(b^9)^2}{(4a^8)^2} = \frac{b^{9 \cdot 2}}{4^2 (a^8)^2} = \frac{b^{18}}{16a^{8 \cdot 2}} = \frac{b^{18}}{16a^{16}}$$