En el siguiente ejercicio 2 resuelto de la Ley de Cosenos, se vuelve a plantear el problema, el triángulo y su solución.

Nivel de Dificultad: ⭐⭐

4.- Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que <A =57°36′, b = 9cm y c = 15cm. 

Solución:

Al igual que en el ejercicio anterior, necesitamos recabar los datos que nos proporciona el problema y empezar a resolver con la fórmula de la Ley de Cosenos.

b = 9 cm.

c = 15 cm.

<A = 57°36′

Antes de comenzar a resolver el ejercicio, es importante hacer una conversión de las unidades de minutos y pasarlas a grados, para ello vemos que el ángulo A, posee 57° con 36 minutos, entonces realizamos.

$latex \displaystyle \begin{array}{l}60’\to 1{}^\circ \\36’\to x{}^\circ \end{array}$

Aplicamos nuestro despeje:

$latex \displaystyle x{}^\circ =\frac{\left( 36′ \right)\left( 1{}^\circ \right)}{60′}=0.6{}^\circ $

Por lo que realmente el ángulo A, tiene:

$latex \displaystyle \sphericalangle A=57.6{}^\circ $

Teniendo este dato, ya podemos realizar el cálculo correspondiente para completar los datos del triángulo oblicuángulo. A simple vista nos hace falta el lado a, por lo que aplicamos la fórmula para obtenerlo:

Obteniendo el lado a

$latex \displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A$

$latex \displaystyle a=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A}$

Sustituyendo los datos en la fórmula tenemos:

$latex \displaystyle a=\sqrt{{{(9cm)}^{2}}+{{(15cm)}^{2}}-2(9cm)(15cm)cos(57.6{}^\circ )}$

$latex \displaystyle a=\sqrt{306c{{m}^{2}}-144.6732c{{m}^{2}}}$

$latex \displaystyle a=\sqrt{161.3267c{{m}^{2}}}$

$latex \displaystyle a=12.7cm$

∴ a = 12.7 cm.

Obteniendo el ángulo B

Usaremos nuestra fórmula

$latex \displaystyle \cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}$

sustituyendo nuestros datos, tendremos:

$latex \displaystyle \cos B=\frac{{{(12.7cm)}^{2}}+{{(15cm)}^{2}}-{{(9cm)}^{2}}}{2(12.7cm)(15cm)}=\frac{305.29c{{m}^{2}}}{381c{{m}^{2}}}=0.8012$

Despejando B

$latex \displaystyle B=\arccos (0.8012)=36.76{}^\circ $

Obteniendo el ángulo C

$latex \displaystyle \cos C=\frac{{{(12.7cm)}^{2}}+{{(9cm)}^{2}}-{{(15cm)}^{2}}}{2(12.7cm)(9cm)}=\frac{17.29c{{m}^{2}}}{228.6c{{m}^{2}}}=0.0756$

Despejando C

$latex \displaystyle C=\arccos (0.0756)=85.66{}^\circ $

Resultados

$latex \displaystyle \begin{array}{*{35}{l}}
\sphericalangle A={{57.6}^{{}^\circ }} \\
\sphericalangle B={{36.75}^{{}^\circ }} \\
\sphericalangle C={{85.66}^{{}^\circ }} \\
\end{array}$

Es posible que en algunos casos al sumar los ángulos internos, las centésimas se pasen por 1 o 2, esto es porque al momento de ir elevando al cuadrado cada factor, hemos ido ya sea truncando o redondeando los valores.