Solución Problema 2 Ley de Cosenos

En el siguiente ejercicio 2 resuelto de la Ley de Cosenos, se vuelve a plantear el problema, el triángulo y su solución.

Nivel de Dificultad:

4.- Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que <A =57°36', b = 9cm y c = 15cm.

Solución:

Al igual que en el ejercicio anterior, necesitamos recabar los datos que nos proporciona el problema y empezar a resolver con la fórmula de la Ley de Cosenos.

b = 9 cm.

c = 15 cm.

<A = 57°36'

Antes de comenzar a resolver el ejercicio, es importante hacer una conversión de las unidades de minutos y pasarlas a grados, para ello vemos que el ángulo A, posee 57° con 36 minutos, entonces realizamos.

$\displaystyle \begin{array}{l}60'\to 1{}^\circ \\36'\to x{}^\circ \end{array}$

Aplicamos nuestro despeje:

$\displaystyle x{}^\circ =\frac{\left( 36' \right)\left( 1{}^\circ \right)}{60'}=0.6{}^\circ$

Por lo que realmente el ángulo A, tiene:

$\displaystyle \sphericalangle A=57.6{}^\circ$

Teniendo este dato, ya podemos realizar el cálculo correspondiente para completar los datos del triángulo oblicuángulo. A simple vista nos hace falta el lado a, por lo que aplicamos la fórmula para obtenerlo:

Obteniendo el lado a

$\displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A$

$\displaystyle a=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A}$

Sustituyendo los datos en la fórmula tenemos:

$\displaystyle a=\sqrt{{{(9cm)}^{2}}+{{(15cm)}^{2}}-2(9cm)(15cm)cos(57.6{}^\circ )}$

$\displaystyle a=\sqrt{306c{{m}^{2}}-144.6732c{{m}^{2}}}$

$\displaystyle a=\sqrt{161.3267c{{m}^{2}}}$

$\displaystyle a=12.7cm$

∴ a = 12.7 cm.

Obteniendo el ángulo B

Usaremos nuestra fórmula

$\displaystyle \cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}$

sustituyendo nuestros datos, tendremos:

$\displaystyle \cos B=\frac{{{(12.7cm)}^{2}}+{{(15cm)}^{2}}-{{(9cm)}^{2}}}{2(12.7cm)(15cm)}=\frac{305.29c{{m}^{2}}}{381c{{m}^{2}}}=0.8012$

Despejando B

$\displaystyle B=\arccos (0.8012)=36.76{}^\circ$

Obteniendo el ángulo C

$\displaystyle \cos C=\frac{{{(12.7cm)}^{2}}+{{(9cm)}^{2}}-{{(15cm)}^{2}}}{2(12.7cm)(9cm)}=\frac{17.29c{{m}^{2}}}{228.6c{{m}^{2}}}=0.0756$

Despejando C

$\displaystyle C=\arccos (0.0756)=85.66{}^\circ$

Resultados

$\displaystyle \begin{array}{*{35}{l}} \sphericalangle A={{57.6}^{{}^\circ }} \\ \sphericalangle B={{36.75}^{{}^\circ }} \\ \sphericalangle C={{85.66}^{{}^\circ }} \\ \end{array}$

Es posible que en algunos casos al sumar los ángulos internos, las centésimas se pasen por 1 o 2, esto es porque al momento de ir elevando al cuadrado cada factor, hemos ido ya sea truncando o redondeando los valores.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta