ley de cosenos

En el artículo anterior hablamos sobre la ley de senos  y hoy le toca el turno a la ley de cosenos, una de las leyes también importantes en la trigonometría y geometría, necesaria para poder comprender las reglas que implica todo triángulo oblicuángulo (obtusángulo y acutángulo), es también conocida como una generalización del teorema de pitágoras.

Para utilizar la ley de cosenos en la resolución de problemas, es necesario entender que la podemos aplicar cuando tengamos los siguientes dos casos 🙂 :

  • Tener todos los lados y no tener un ángulo en común
  • Tener dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

Fórmula para la Ley de Cosenos

La fórmula será la siguiente:

\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma

\displaystyle {{a}^{2}}={{c}^{2}}+{{b}^{2}}-2bc\cos \alpha

\displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos \beta

ley de cosenos 1

Hay que tener en cuenta que la relación que nos proporciona ésta ley,  puede ser para diversas variables, no casarse con la idea de que los lados tienen que ser  ABC, (a, b, c), si no que también pueden tener otras literales. Es por ello muy importante tener en cuenta lo siguiente:

Para encontrar un lado, basta con elevar al cuadrado las variables de los otros dos lados, menos el producto de ambas variables, por el coseno del ángulo que es opuesto al lado que deseamos encontrar.

Bien… Pero para entender mejor, hagamos el siguiente ejercicio 😎

1.- En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm, c = 19cm, <B = 55° , Resuelva el triángulo

 

Solución: 

Para poder resolver el siguiente ejercicio, asumimos que el lado que deseamos encontrar es el lado b, puesto que el ángulo opuesto es B, entonces nuestra fórmula queda:

\displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cdot \cos B

De esto resulta

\displaystyle {{b}^{2}}={{13}^{2}}+{{19}^{2}}-2(13)(19)\cdot \cos (55{}^\circ )

\displaystyle {{b}^{2}}=169+361-494(0.5735)

Por lo que:

\displaystyle {{b}^{2}}=246.6532

\displaystyle b=15.7052cm

Ahora tenemos los tres lados de nuestro triángulo, pero nos hace falta conocer los ángulos, para ello, considero un ángulo que deseo calcular que bien puede ser el ángulo A o el ángulo C.

En este caso, elegiré el ángulo A, por lo que mi ecuación quedará:

\displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cdot \cos A

Sin embargo, el valor del lado a, b y c ya los tengo, entonces procedo a despejar el coseno de A, para resolver.

\displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=-2bc\cdot \cos A

Despejando aún más…

\displaystyle \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}=\cos A

Invirtiendo la ecuación

\displaystyle \cos A=\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}

Listo, ahora es momento de sustituir nuestros valores:

\displaystyle \cos A=\frac{{{13}^{2}}-{{15.7052}^{2}}-{{19}^{2}}}{-2(15.7052)(19)}=0.7350

Ahora aplicando coseno inverso.

\displaystyle A={{\cos }^{-1}}(0.7350)=42.69{}^\circ

Por lo que el ángulo A, es de 42.69 grados.

Ahora mediante la suma de ángulos internos en un triángulo, aplicamos la propiedad para encontrar el ángulo restante:

\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ

\displaystyle 42.69{}^\circ +55{}^\circ +\angle C=180{}^\circ

Despejando a <C

\displaystyle \angle C=180{}^\circ -42.69{}^\circ +55{}^\circ =82.31{}^\circ

Por lo que nuestro ejercicio está resuelto. Tenemos el triángulo completo 🙂

Aplicación de la ley de senos y cosenos

Al igual que la ley de senos, la ley de cosenos puede aplicarse para diversos problemas de la vida cotidiana, para ello colocaremos un ejemplo ilustrativo y su resolución:

Empecemos con la Ley de Cosenos:

2.- Un ingeniero topógrafo que se le olvidó llevar su equipo de medición, desea calcular la distancia entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto A, y con los únicos datos que tiene hasta ahora son las distancias de el respecto a los otros edificios, 180 m y 210 m, respectivamente, también sabe que el ángulo formado por los dos edificios y su posición actual “A” es de 39.4° ¿Qué distancia hay entre los dos edificios?  

Solución:

Para este caso es importante analizar que tipos de datos tenemos al comienzo, y leyendo el enunciado del problema, así como viendo la imagen podemos darnos cuenta que solamente tenemos dos lados y un ángulo entre dichos lados, es lógico que lo primero que tenemos que hacer, será utilizar la ley de Cosenos.

En este ejercicio vemos que el ángulo que tenemos como dato, es opuesto a la distancia que deseamos encontrar, por lo que nuestra fórmula es ideal para aplicarla de comienzo.

\displaystyle {{d}^{2}}={{(180m)}^{2}}+{{(210m)}^{2}}-2(180m)(210m)\cos (39.4{}^\circ )

despejando el cuadrado del primer miembro:

\displaystyle d=\sqrt{{{(180m)}^{2}}+{{(210m)}^{2}}-2(180m)(210m)\cos (39.4{}^\circ )}

Empezamos a resolver:

\displaystyle d=\sqrt{18081.34{{m}^{2}}}

\displaystyle d=134.47m

Por lo que la distancia entre los dos edificios es de 134.47 metros aproximadamente. 😀

Ahora veamos un ejercicio para aplicar la Ley de Senos.

3.- La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos son de 58°20′ y 67°32′. ¿A qué altura del suelo se encuentran?

Solución: Podría tratarse de un problema, sumamente complicado… Pero, no lo es. Por lo tanto procedemos a aplicar la ley de senos… No sin antes,  convertir nuestros grados – minutos a grados decimales.

<A = 58°20′ = 58.3333

<B =67°32′ = 67.5333

Comprobamos el ángulo faltante.

\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ

\displaystyle \angle C=180{}^\circ -\angle A-\angle B

Sustituyendo valores

\displaystyle \angle C=180{}^\circ -58.33{}^\circ -67.53{}^\circ =54.14{}^\circ

Ahora, tenemos los 3 ángulos completos.

Vamos a calcular el lado a, que sería el lado opuesto al ángulo A 😎

No podríamos aplicar la ley de cosenos, porque nos haría falta un lado forzosamente, por lo tanto recurrimos aplicar la ley de senos.

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}

Tenemos los 20Km que el problema nos da de referencia, y tenemos el ángulo opuesto a ese lado, que es el que encontramos de 54.14°, entonces tomamos esos datos para aplicar la ley de senos, a cualquier otro lado.

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{c}{senC}

Despejando “a”

\displaystyle a=\frac{c\cdot senA}{senC}

Sustituyendo valores:

\displaystyle a=\frac{20km\cdot sen(58.33{}^\circ )}{sen(54.14{}^\circ )}=21km

Por lo que, el lado a mide 21 kilómetros.

Ahora podemos aplicar la función seno del ángulo 67.53 para obtener el cateto opuesto, que sería nuestra altura.

\displaystyle sen67.53{}^\circ =\frac{h}{20.95km}

despejando h = altura del globo

\displaystyle h=(sen67.53)(21km)=19.40km

Por lo que la altura del globo, es de 19.4 kilómetros aproximadamente (Redondeando).

Ahora es momento de practicar, resuelve los siguientes ejercicios. 🙂

Ejercicios Resueltos de la Ley de Cosenos

Una vez que entendemos que en la resolución de triángulos oblicuángulos se requiere conocer:

  1. Tener al menos los 3 lados.
  2. Dos lados y el ángulo comprendido.

Ya podemos comenzar a resolver ejercicios sin problema alguno, ahora mismo se mencionan dos ejercicios para resolver y verificar si el resultado al que llegaste fue correcto 😀

3.- Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que a = 19 cm, b = 24 cm y c = 13 cm. 

Ver solución

4.- Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que <A =57°36′, b = 9cm y c = 15cm. 

Ver solución