Ley de Cosenos - Ejercicios Resueltos
En el artículo anterior hablamos sobre la ley de senos y hoy le toca el turno a la ley de cosenos, una de las leyes también importantes en la trigonometría y geometría, necesaria para poder comprender las reglas que implica todo triángulo oblicuángulo (obtusángulo y acutángulo), es también conocida como una generalización del teorema de pitágoras.
Para utilizar la ley de cosenos en la resolución de problemas, es necesario entender que la podemos aplicar cuando tengamos los siguientes dos casos 🙂 :
- Tener todos los lados y no tener un ángulo en común
- Tener dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Fórmula para la Ley de Cosenos
La fórmula será la siguiente:
Hay que tener en cuenta que la relación que nos proporciona ésta ley, puede ser para diversas variables, no casarse con la idea de que los lados tienen que ser ABC, (a, b, c), si no que también pueden tener otras literales. Es por ello muy importante tener en cuenta lo siguiente:
Para encontrar un lado, basta con elevar al cuadrado las variables de los otros dos lados, menos el doble producto de ambas variables, por el coseno del ángulo que es opuesto al lado que deseamos encontrar.
Bien... Pero para entender mejor, hagamos el siguiente ejercicio 😎
1.- En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm, c = 19cm, <B = 55° , Resuelva el triángulo
Solución:
Para poder resolver el siguiente ejercicio, asumimos que el lado que deseamos encontrar es el lado b, puesto que el ángulo opuesto es B, entonces nuestra fórmula queda:
De esto resulta
Por lo que:
Ahora tenemos los tres lados de nuestro triángulo, pero nos hace falta conocer los ángulos, para ello, considero un ángulo que deseo calcular que bien puede ser el ángulo A o el ángulo C.
En este caso, elegiré el ángulo A, por lo que mi ecuación quedará:
Sin embargo, el valor del lado a, b y c ya los tengo, entonces procedo a despejar el coseno de A, para resolver.
Despejando aún más...
Invirtiendo la ecuación
Listo, ahora es momento de sustituir nuestros valores:
Ahora aplicando coseno inverso.
Por lo que el ángulo A, es de 42.69 grados.
Ahora mediante la suma de ángulos internos en un triángulo, aplicamos la propiedad para encontrar el ángulo restante:
Despejando a <C
Por lo que nuestro ejercicio está resuelto. Tenemos el triángulo completo 🙂
Aplicación de la ley de senos y cosenos
Al igual que la ley de senos, la ley de cosenos puede aplicarse para diversos problemas de la vida cotidiana, para ello colocaremos un ejemplo ilustrativo y su resolución:
Empecemos con la Ley de Cosenos:
2.- Un ingeniero topógrafo que se le olvidó llevar su equipo de medición, desea calcular la distancia entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto A, y con los únicos datos que tiene hasta ahora son las distancias de el respecto a los otros edificios, 180 m y 210 m, respectivamente, también sabe que el ángulo formado por los dos edificios y su posición actual "A" es de 39.4° ¿Qué distancia hay entre los dos edificios?
Solución:
Para este caso es importante analizar que tipos de datos tenemos al comienzo, y leyendo el enunciado del problema, así como viendo la imagen podemos darnos cuenta que solamente tenemos dos lados y un ángulo entre dichos lados, es lógico que lo primero que tenemos que hacer, será utilizar la ley de Cosenos.
En este ejercicio vemos que el ángulo que tenemos como dato, es opuesto a la distancia que deseamos encontrar, por lo que nuestra fórmula es ideal para aplicarla de comienzo.
despejando el cuadrado del primer miembro:
Empezamos a resolver:
Por lo que la distancia entre los dos edificios es de 134.47 metros aproximadamente. 😀
Ahora veamos un ejercicio para aplicar la Ley de Senos.
3.- La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos son de 58°20' y 67°32'. ¿A qué altura del suelo se encuentran?
Solución: Podría tratarse de un problema, sumamente complicado... Pero, no lo es. Por lo tanto procedemos a aplicar la ley de senos... No sin antes, convertir nuestros grados - minutos a grados decimales.
<A = 58°20' = 58.3333
<B =67°32' = 67.5333
Comprobamos el ángulo faltante.
Sustituyendo valores
Ahora, tenemos los 3 ángulos completos.
Vamos a calcular el lado a, que sería el lado opuesto al ángulo A 😎
No podríamos aplicar la ley de cosenos, porque nos haría falta un lado forzosamente, por lo tanto recurrimos aplicar la ley de senos.
Tenemos los 20Km que el problema nos da de referencia, y tenemos el ángulo opuesto a ese lado, que es el que encontramos de 54.14°, entonces tomamos esos datos para aplicar la ley de senos, a cualquier otro lado.
Despejando "a"
Sustituyendo valores:
Por lo que, el lado a mide 21 kilómetros.
Ahora podemos aplicar la función seno del ángulo 67.53 para obtener el cateto opuesto, que sería nuestra altura.
despejando h = altura del globo
Por lo que la altura del globo, es de 19.4 kilómetros aproximadamente (Redondeando).
Ahora es momento de practicar, resuelve los siguientes ejercicios. 🙂
Ejercicios Resueltos de la Ley de Cosenos
Una vez que entendemos que en la resolución de triángulos oblicuángulos se requiere conocer:
- Tener al menos los 3 lados.
- Dos lados y el ángulo comprendido.
Ya podemos comenzar a resolver ejercicios sin problema alguno, ahora mismo se mencionan dos ejercicios para resolver y verificar si el resultado al que llegaste fue correcto 😀
3.- Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que a = 19 cm, b = 24 cm y c = 13 cm.
4.- Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que <A =57°36', b = 9cm y c = 15cm.
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DISCULPA TE EQUIVOCASTE NO BNO ME PARECE QUE EL ANGULO "B"
ES 67.53 PERO AL REDUCIRLO PARA SACAR EL ANGULO "C" LO PUSISTE COMO 67.33-
Efectivamente Aide, ya corregido. Al momento de pasar la reducción, se nos olvidó el número.
Saludos
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laura dice:
hola me puedes ayudar una tarea que necesito por favor es que no entiendo el tema bien de teorema y seno y coseno
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muchas gracias ha sido de gran ayuda para preparacion, y no he podido bajar el pdf de ejercicios de dropbox al parecer ya no esta disponible.- gracias y espero su comentario respecto al pdf
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Orlando Barrera dice:
a) a=50°,b=12,c=10
B) b=120°,a=8 , c=10
C) y=22°, a=8, c=5
D) B=77°, a=6, c= 7
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Hola Sara, puedes descargar los que están en la hoja de descarga.
Saludos
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gracias fue de buena ayuda para mii pero me parece que deberian poner mas ejemplos
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En eso estamos Luisa, el crear más ejemplos de éstos y crecer la comunidad.
Saludos
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me parece de gran ayuda tu pagina sigue adelante te recomendare en mi fb 🙂
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Ana dice:
Muchas gracias, han sido de mucha ayuda los ejemplos, y la práctica donde puedo conseguir las respuestas?
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Las respuestas, las iremos resolviendo en Ingtelecto.com
Pronto.
Saludos Ana!
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Hola Prof, Carlos Julian en el ejercicio 1 el resultado de b no esta correcto porque 246.6532 si se le saca la raiz es 15.7051... y luegoen el en cos A cuando se sustituyen los valores, no entiendo de donde sale el 0.7350 me podria explicar por favor.
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Carlos Tello dice:
Muy bueno, nada más me puedes decir que operación utilizas para convertir los grados-minutos a grados decimales por favor...con la calculadora cientifica si se puede, pero sí no me dejan utilizarla, como lo hago??? Estoy estudiando para un exámen de admisión.
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Deberías tomar nuestros cursos Carlos, ahí se explica paso a paso tus dudas. http://www.fisimat.com
Saludos.
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andrewo410 dice:
mira no entiendo esto sera que me lo podrias explicar
longitud de una sombra.un camino recto hace un angulo de 15 grados con la horizontal. cuando el angulo de elevacion del sol es de 57 grados. un poste vertical que esta a un lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de largo directamente cuesta abajo,como se muestra en la figura.calcula la longitud del poste
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Otra vez yo... porque al despejar el cosA en el primer ejemplo dejas el -2ab como negativo??? no debería ser positivo??
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Liiz dice:
Hola. Tienes el solucionario del pdf??
Cómo hago para saber si los ejercicios me quedaron bien?
agradezco tu atención -
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CARLOS NAVARRO dice:
Para encontrar un lado, basta con elevar al cuadrado las variables de los otros dos lados, menos DOBLE producto de ambas variables, por el coseno del ángulo que es opuesto al lado que deseamos encontrar.
CORREGIR, PORQUE SE TIENE MENOS EL PRODUCTO Y ES EL "DOBLE O DOS VECE EL PRODUCTO" -
buenas tarde profes necesito una audita,es urgente es un taller para mañana les agradezco me lo pueden enviar al correo la respuesta Dios les ha de bendecir.
1. una piscina en forma de riñón va ha ser medida entre dos puntos AyB,para tal fin,se ubica un punto C de tal manera que la distancia entre Ay C es de 10 metros,se determina que el angulo C mide 115º y que el angulo B mide 35º ,halla la distancia entre los puntos A Y B.
2.Dos puntos A y B están localizados en lados opuestos de un río, otro punto C se localiza en el mismo lado de B a 53 metros de este con los tres puntos se determina un triangulo en el que la medida del angulo B es de 105º y la del angulo C es de 20º determina la distancia entre los puntos Ay B -
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Angelic dice:
Hola Prof, Carlos Julian en el ejercicio 1 el resultado de b no esta correcto porque 246.6532 si se le saca la raiz es 15.7051… y luegoen el en cos A cuando se sustituyen los valores, no entiendo de donde sale el 0.7350 me podria explicar por favor.
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jessica johana flores dice:
hola este en el ejercicio numero 3 al momento de sacar el cos del Angulo b te sale 95.34 en el arcos -0931 y a mi me sale 84.65 estoy haciendo algo mal, o es error en la resolucion del problema?
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Las cantidades se redondean, pero no quiere decir que necesariamente tengan que ser así. Saludos!
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mary dice:
Buenas tardes profesor Carlos Julian podria ayudarme con un ejercicio es que estoy enrredada con la ley del seno y coseno: El ángulo mas amplio de un triángulo mide 110° y es formado por dos lados que miden 8 metros y 13 metros. Ubique el lado restante.
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Sofia dice:
Hola oye entonces porque en ese ejercicio del seno primero veo que para hallar la altura aparece 20.95 y después 21 porque pasa eso? :0
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esther dice:
hola ,linda tarde nesecito su ayuda me piden 10 ejercicios c/u de ley de pitagoras, thales de mileto y de senos y cosenos seria tan amable de enviarme .
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Jesús SD dice:
Para comprobar los ejercicios de triángulos podeis usar TrianCal que está en la web Procomun
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Natalia dice:
Buenas tardes. disculpa cuando me daan un tríangulo con dos ángulo y dos lados, se utiliza la ley del seno o la ley del coseno?
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Jhon Maita dice:
Saludos profe, tengo un ejercicio con un triangulo oblicuángulo, donde me dan dos lados pero ningun angulo, sera posible aplicar la ley del seno o del coseno?
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Isabel Buendía Cortés dice:
Tengo una duda, lo de abajo no es negativo en los tres
cos A = (b2+ c2-a2)/ (2bc) lo de abajo ¿no es nagativo?, pero lo mismo para Cos B y par CosC , es que en lops ttres casos lo pones positivo y tengo esa duda , ¿ es nagativo o es positivo?, porque en el problema 3, de aplivación lo de abajo (el demominador) lo pones positivo.
De favor, tengo esa duda. -
Buenos días Prof.
El comentario anterior lo preciso con mayor exactitud: En el problema 3, dentro de los Ejercicios Resueltos de la Ley de Cosenos, realiza tres despejes de los cosenos: cos A, cos B y cos C, en los tres casos el denominador lo indica positivo, mi duda es ¿ el denominador es positivo o negativo? , retomo ejercicio 3, de los Ejercicios Resueltos de la Ley de Cosenos. Gracias -
liliana ardila dice:
lo q pasa es q en el ejercicio 1 la suma de 169 + 361-494(0.5735) mi profesor dice q esta mal porq el resultado es 246.691
no se quien tiene razon? -
Mariana Morales Márquez dice:
Los valores de los ángulos me dan diferentes y el resultado me da otro. No es error de mi calculadora, porque lo investigué y el valor de COS y SIN son otros, creo que se usaron otros, así que no me dan los resultados e hice los mismos pasos que dice el problema.
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Julia dice:
si en el ejercicio de "Un ingeniero topógrafo (...)" me piden que lo resuelva con la formula de "b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B"
como deberia resolverlo???? gracias de antemano 🙂 -
Cristian dice:
Tengo un problema...
b=12 c=12 C=68°
Como se puede resolver?
Agradeceria la ayuda -
Buenas tardes profesor Carlos Julian podria ayudarme con un ejercicio es que estoy enrredada con la ley del seno y coseno: El ángulo mas amplio de un triángulo mide 110° y es formado por dos lados que miden 8 metros y 13 metros. Ubique el lado restante.
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deiby olave dice:
nesesito ayuda con este triangulo un angulo mide 40 el lado mas largo mide 80 cm y otro mide 3 cm nesesito encontrar los dos angulos faltantes y el otro lado
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Elias Sanchez dice:
me pueden ayudar con 5 ejemplos con la ley de de senos y ley de cosenos
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Min dice:
Me ha ayudado mucho está explicación, muchas gracias :]
Para profundizar en este tema, podrían por favor subir ejercicios con explicación que sean más apegados a cosas de la vida real?
Gracias -
Vanesa dice:
Resolver con ayuda ya la fórmula de la ley de los cosenos resolver los siguientes triángulos determinar el valor de un gato como en los ejemplos anteriores
1 dato a=7cm b =5cm y c=8cm
2 dato a=2.5cm b=3cm y c=4cm
3 dato a=6cm b=3cm y c=5cm
4 dato a =4cm b= 5cm y c=6cm
5 dato a =4cm b= 2cm y c =3cmAyuda q osino pierdo la materia
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Isabel Buendía Cortés dice:
cos A=(13^2-15.7052^2-19^2) /-2(15.7052)(19)=0.7350
Perdón Prof. Por mi ignorancia. aquí ¿Aplico la ley de los signos?
(13^2-15.7052^2-19^2) /-2(15.7052)(19), es decir ¡me queda -0.7359? o es +0.7359?
Muchas gracias. -
angel dice:
en el ejercicio 1 cuando despejamos el ángulo c debería ser c=180-42.69-55=82.31 y no c=180-42.69+55=192.31 deben de arreglarlo
89 Comentarios Publicados
El 297 Alias *el chingon* 
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