ley de senos

El descubrimiento de la ley de senos dio gran paso a grandes descubrimientos de la geometría plana, y con ello la solución a muchos problemas que implicaban el cálculo de longitudes y ángulos, es por ello que el día de hoy hablaremos exclusivamente sobre la ley de senos, y de como aplicarlo a un caso especial para la primera condición de equilibrio. 😎

Una de las cosas que debemos saber acerca de la ley de senos, es que solo es aplicable a triángulos oblicuángulos, es decir aquellos triángulos los cuales no tienen ningún ángulo recto o de 90°.

También debemos considerar dos puntos importantes, para poder utilizar dicha ley, y consiste en aplicarla solo cuando nos encontramos bajo los siguientes dos casos:

  • Cuando los datos conocidos son dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
  • Cuando se tenga dos ángulos y cualquier lado.

Fórmula para la Ley de Senos

La fórmula para resolver ejercicios de triángulos mediante la ley de senos, es la siguiente:

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}

También podemos emplear la misma fórmula, pero recíproca, es decir:

\displaystyle \frac{senA}{a}=\frac{senB}{b}=\frac{senC}{c}

ley de senos 1

📃 Ejemplos resueltos de la Ley de Senos

1.- En el triángulo  ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

ley de senos ejercicio

Solución: Si observamos, podemos ver que nuestro triángulo tiene dos ángulos y un solo lado, por lo cual podemos aplicar la ley de senos, sin embargo, podemos realizar un análisis sencillo para hallar el otro ángulo desconocido, tomando en cuenta que; la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo deben sumar 180°.

\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ

Colocando, los datos que tenemos en nuestro triángulo.

\displaystyle \angle A+42{}^\circ +76{}^\circ =180{}^\circ

\displaystyle \angle A+118{}^\circ =180{}^\circ

\displaystyle \angle A=180{}^\circ -118{}^\circ =62{}^\circ

Por lo que el ángulo en A, es de 62 grados.

\displaystyle \angle A=62{}^\circ

Ahora tenemos que encontrar el valor de las longitudes de a y c, para ello recurriremos a la fórmula:

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}

Si observamos, nos interesa encontrar el valor del lado a y c, y ya tenemos a nuestra disposición cuanto equivalen los ángulos opuestos a esos lados, por lo cual, puedo tomar la igualdad que yo desee.

Supongamos que necesito encontrar el lado a entonces, hacemos:

\displaystyle \frac{a}{sen62{}^\circ }=\frac{b}{sen42{}^\circ }

Por lo que sustituyendo procedemos a despejar.

\displaystyle a=\frac{b\cdot sen62{}^\circ }{sen42{}^\circ }=19.79cm

Listo…! hemos encontrado el valor del lado a.

Ahora encontremos el lado restante.

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{c}{senC}

\displaystyle \frac{19.79cm}{sen62{}^\circ }=\frac{c}{sen76{}^\circ }

despejando a “c”

\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }

realizando la operación:

\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }=21.75cm

por lo que el lado restante “c” mide 21.75 cm.

Problema resuelto.

2.- En el triángulo  ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

Solución

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En este ejemplo a diferencia del anterior, no disponemos de dos ángulos, solamente de dos lados, por lo cual no podemos sumar los ángulos internos, e iniciar el proceso como se hizo anteriormente. 🙁

Pero el problema nos proporciona un lado p = 12cm, y el ángulo opuesto a éste de 76°, por lo que podemos obtener otro ángulo, mediante la fórmula de senos.

\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}=\frac{n}{senN}

podemos elegir que ángulo deseamos encontrar, para este ejemplo, usaremos la igualdad:

\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}

despejando a Sen M

\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula, obtenemos:

\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}=\frac{(8cm)sen(76{}^\circ )}{12cm}=0.6469

sacando la inversa del seno, para encontrar el ángulo, tenemos:

\displaystyle se{{n}^{-1}}M=0.6469

\displaystyle M=40{}^\circ .18

Ahora, como sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, encontremos el ángulo faltante.

\displaystyle 180{}^\circ =\angle M+\angle N+\angle P

\displaystyle 180{}^\circ =40.18{}^\circ +76{}^\circ +\angle P

\displaystyle \angle N=180{}^\circ -40.18{}^\circ -76{}^\circ

\displaystyle \angle N=63.42{}^\circ

Por lo que el ángulo restante, es de 63.42°

El siguiente lado que nos falta por encontrar, lo volveremos hacer con la ley de senos.

\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{n}{senN}

Despejando a ” n”.

\displaystyle n=\frac{p\cdot senN}{senP}

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula:

\displaystyle n=\frac{(12cm)\cdot sen(63.42{}^\circ )}{sen(76{}^\circ )}=11.09cm

Por lo que el valor de n = 11.09 cm.

y con eso se da por resuelto el problema.

Veamos otro ejemplo:

3.- En el triángulo  ABC, a = 24 cm, <B = 33°, y <A = 108°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

Veamos, el triángulo formado con los datos propuestos:

Solución:

Con los datos obtenidos en el problema, es mucho más fácil hacer la relación de la fórmula a utilizar.

Como deseamos encontrar el lado b y c, podemos aplicar lo siguiente:

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}

Posteriormente, despejar a “b”, quedando así:

\displaystyle b=\frac{\left( a \right)\left( senB \right)}{senA}

Sustituyendo

\displaystyle b=\frac{\left( a \right)\left( senB \right)}{senA}=\frac{\left( 24cm \right)\left( sen33{}^\circ \right)}{sen108{}^\circ }\approx 13.74

Podemos ahora calcular el ángulo C, haciendo lo siguiente:

\displaystyle 180{}^\circ =108{}^\circ +33{}^\circ +\sphericalangle C

Qué obtendríamos:

\displaystyle \sphericalangle C=180{}^\circ -108{}^\circ -33{}^\circ =39{}^\circ

\displaystyle \sphericalangle C=39{}^\circ

Ahora procedemos a calcular el lado “C”

Aplicando la siguiente fórmula:

\displaystyle \frac{c}{senC}=\frac{b}{senB}

Obtenemos que:

\displaystyle c=\frac{\left( b \right)\left( senC \right)}{senB}=\frac{\left( 13.74cm \right)\left( sen39{}^\circ \right)}{sen33{}^\circ }\approx 15.87

Ahora es momento de practicar, resuelve los siguientes ejemplos 🙂

🔹 Ejercicios Resueltos de Ley de Senos Para Practicar

Una vez que se ha entendido el tema por completo, es importante resolver más ejercicios para profundizar más el tema. Se recomienda resolver los siguientes ejemplos en su cuaderno y después verificar si el resultado coincide con la solución 😀

Problema 3. Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que: c = 28 cm, <A = 69° y <B = 35° 

Ley de Senos - Ejercicios Resueltos

👉 Ver solución

Problema 4. Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que: b = 57 cm, c = 35 cm y <B = 42° 

Ley de Senos - Ejercicios

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