Teorema de Pitágoras - Ejercicios Resueltos

En Fisimat solemos hablar sobre el teorema de Pitágoras, pero no teníamos un artículo relacionado a este asombroso tema. Así que hemos decidido crearlo, para que sea mucho más fácil poder aprender física y geometría sin problemas. Aquí aprenderemos sobre sus aplicaciones, derivaciones y ecuaciones seguidas de ejemplos resueltos sobre los triángulos.

¿Qué es el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras se aplica principalmente a un triángulo rectángulo (el que posee un lado de 90 grados), y su enunciado se basa en entender que, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Esto se representa matemáticamente de la siguiente manera:

$\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

El triángulo (ΔABC) estaría dado de la siguiente forma:

Aquí hay un triángulo rectángulo con sus nombres correspondientes a cado lado, cabe señalar que la hipotenusa es el lado más largo de éste.

La ecuación del teorema de Pitágoras

La ecuación del teorema de Pitágoras se expresa como se expuso arriba, sin embargo, es importante detallar algunos puntos importantes.

c = hipotenusa

a = cateto opuesto

b = cateto adyacente

Si quisiéramos obtener el valor de nuestro cateto opuesto o cateto adyacente, solamente tendríamos que realizar nuestro despeje.

Demostración del Teorema de Pitágoras

La demostración del teorema de Pitágoras es relativamente fácil. Para concluir el resultado, se dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa de lado igual a su longitud y tracemos rectas paralelas a los catetos, de manera que se obtenga la construcción de abajo.

Como puedes observar, los triángulos T1, T2 y T3 son congruentes al triángulo ΔABC, y sus catetos determinan un cuadrado de lado a + b, de tal manera que si queremos obtener el área total de esta figura de forma independiente diríamos:

4 Áreas de triángulos + área del cuadrado de adentro, es decir:

$\displaystyle 4\acute{A}rea\left( {\Delta ABC} \right)+{{c}^{2}}$

Ahora, modifiquemos un poco el arreglo principal, para obtener lo siguiente:

Expresando las áreas por separado, obtendríamos nuevamente los cuatro triángulos y adicionalmente un cuadrado pequeño de área b x b y otro de área a x a

$\displaystyle 4\acute{A}rea\left( {\Delta ABC} \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

Uniendo ambas áreas tanto del primer arreglo, como del segundo, obtenemos que:

$\displaystyle 4\acute{A}rea\left( {\Delta ABC} \right)+{{c}^{2}}=4\acute{A}rea\left( {\Delta ABC} \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

Esto finalmente nos devuelve:

$\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

Ejercicios Resueltos del Teorema de Pitágoras

Es momento de resolver algunos ejemplos o ejercicios para comprender como se aplica este teorema.

Solución:

Una vez que tenemos los datos del triángulo, lo primero será analizar a quién le asignaremos los 9cm y 15cm respectivamente, en este caso tomaremos como a = 9 cm (cateto opuesto) y b = 15 cm (cateto adyacente), entonces tenemos nuestros datos:

Datos:

a = 9cm

b = 15cm

c = ?

Sustituyendo en nuestra fórmula:

$\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

Esto quedaría:

$\displaystyle {{c}^{2}}={{(9cm)}^{2}}+{{(15cm)}^{2}}$

$\displaystyle {{c}^{2}}=81c{{m}^{2}}+225c{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{c}^{2}}=306c{{m}^{2}}$

$\displaystyle c=\sqrt{{306c{{m}^{2}}}}$

Sacando la raíz cuadrada, obtenemos:

$\displaystyle c=17.49cm$

Por lo que nuestra hipotenusa tendrá un valor de c = 17.49 cm

Solución:

A diferencia del problema anterior, en este caso la incógnita no está en la hipotenusa, sino en uno de sus catetos, por lo tanto la fórmula a utilizar será la misma, pero despejando al cateto opuesto.

$\displaystyle {{a}^{2}}={{c}^{2}}-{{b}^{2}}$

Siempre en los catetos, se utilizarán la diferencia entre la hipotenusa y el cateto pendiente.

Datos:

a = ?

b = 8 cm

c = 10 cm

Sustituyendo datos:

$\displaystyle {{a}^{2}}={{\left( {10cm} \right)}^{2}}-{{\left( {8cm} \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{a}^{2}}=100c{{m}^{2}}-64c{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{a}^{2}}=36c{{m}^{2}}$

Aplicando la raíz cuadrada

$\displaystyle a=\sqrt{{36c{{m}^{2}}}}$

$\displaystyle a=6cm$

Por lo tanto el lado del cateto opuesto faltante, es de a = 6cm

Solución:

Para este problema, nuevamente podemos apreciar que nos hace falta un cateto, y ese cateto que nos hace falta es el adyacente. Por lo tanto tenemos que aplicar una fórmula parecida al ejercicio anterior, solo que quedará de la siguiente manera:

$\displaystyle {{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$

Ahora sustituyamos en nuestros datos:

Datos: 

a = 8 cm

b = ?

c = 17 cm

Sustituyendo datos:

$\displaystyle {{b}^{2}}={{\left( {17cm} \right)}^{2}}-{{\left( {8cm} \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{b}^{2}}=289c{{m}^{2}}-64c{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{b}^{2}}=225c{{m}^{2}}$

$\displaystyle b=\sqrt{{225c{{m}^{2}}}}$

$\displaystyle b=15cm$

Solución:

Ahora es momento de aplicar nuestros conocimientos del teorema de Pitágoras. Si observamos en este problema, nos pide encontrar la altura, sin embargo, podemos apreciar que la sombra representa al cateto adyacente y la hipotenusa la podemos apreciar a simple vista. Entonces encontremos el cateto opuesto que representa la altura.

Datos:

a = ?

b = 400 m

c = 500 m

Este problema es muy similar al problema 2 de este mismo sitio web. Entonces aplicaremos:

$\displaystyle {{a}^{2}}={{c}^{2}}-{{b}^{2}}$

Sustituyendo nuestros datos:

$\displaystyle {{a}^{2}}={{\left( {500m} \right)}^{2}}-{{\left( {400m} \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{a}^{2}}=250,000{{m}^{2}}-160,000{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{a}^{2}}=90,000{{m}^{2}}$

$\displaystyle a=\sqrt{{90,000{{m}^{2}}}}$

$\displaystyle a=300m$

Por lo que la altura de nuestra torre Eiffel, es de 300 m