Teorema de Tales - Ejercicios Resueltos

Dentro de la geometría y trigonométrica existe un teorema muy relevante por sus distintas aplicaciones, y se trata del teorema de Tales, en honor así al famoso matemático griego, este teorema recibe también el nombre de teorema básico de proporcionalidad. Este teorema se aplica en triángulos semejantes. ¿Triángulos semejantes?, exacto, si dos triángulos son semejantes entre sí, entonces tienen las siguientes características.

• Los ángulos correspondientes de ambos triángulos son iguales
• Los lados correspondientes de ambos triángulos están en proporción entre sí.

¿Qué nos dice el Teorema de Tales?

Estableciendo el teorema básico de proporcionalidad que es el siguiente:

Si se dibuja una línea paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos lados en puntos distintos, entonces los otros dos lados se dividen en la misma proporción. Intentemos ahora probar el enunciado del teorema básico de proporcionalidad

Consideremos el siguiente triángulo ΔABC, como se muestra en la figura dada. En este triángulo, trazamos una línea PQ paralela al lado BC de ΔABC y que corta a los lados AB y AC en P y Q, respectivamente.

De aquí observamos que los tres ángulos iguales y sus lados son proporcionales:

$\displaystyle \frac{{\overline{{AB}}}}{{\overline{{AP}}}}=\frac{{\overline{{AC}}}}{{\overline{{AQ}}}}=\frac{{\overline{{BC}}}}{{\overline{{PQ}}}}$

Estar azón se cumple entre dos lados del mismo triángulo y también entre los lados correspondientes del otro:

$\displaystyle \frac{{\overline{{AB}}}}{{\overline{{AC}}}}=\frac{{\overline{{AP}}}}{{\overline{{AQ}}}}$

Ejercicios Resueltos del Teorema de Tales

Solución:

Siguiendo el teorema podemos decir que la proporcionalidad está en:

$\displaystyle \frac{{\overline{{AD}}}}{{\overline{{AB}}}}=\frac{{\overline{{AE}}}}{{\overline{{AC}}}}$

Sustituyendo

$\displaystyle \frac{{12}}{{x+12}}=\frac{{14}}{{42}}$

Realizando el producto cruzado en la igualdad, obtenemos:

$\displaystyle 12(42)=14(x+12)$

Multiplicando

$\displaystyle 504=14x+168$

Restando

$\displaystyle 504-168=14x$

$\displaystyle 336=14x$

Despejando a "x"

$\displaystyle x=\frac{{336}}{{14}}$

$\displaystyle x=24$

Por lo que el lado x = 24 

Solución:

Podemos observar claramente que existen dos triángulos semejantes ΔABC y ΔEDC, por lo tanto podemos relacionar de la siguiente manera nuestra fórmula de solución (aplicando el teorema de Tales):

$\displaystyle \frac{{\overline{{CD}}}}{{\overline{{CB}}}}=\frac{{\overline{{ED}}}}{{\overline{{AB}}}}$

sustituyendo nuestros datos:

$\displaystyle \frac{{54}}{{184}}=\frac{{134}}{x}$

Realizando el producto cruzado de la igualdad

$\displaystyle 54\left( x \right)=\left( {134} \right)\left( {184} \right)$

Multiplicando

$\displaystyle 54\left( x \right)=24656$

Despejando a "x"

$\displaystyle x=\frac{{24656}}{{54}}$

Esto da como resultado:

$\displaystyle x=456.59$

Por lo que el lado x = 456.59

Solución:

Según los datos de nuestro problema, tenemos:

$\displaystyle \overline{{PA}}=180m$

$\displaystyle \overline{{CD}}=150m$

$\displaystyle \overline{{PC}}=50m$

Vemos que existe la paralelidad entre los segmentos, aplicando el teorema de Tales:

$\displaystyle \overline{{AB}}\parallel \overline{{CD}}$

Aplicando nuestra relación de proporción o Tereoma de Tales:

$\displaystyle \frac{{\overline{{AB}}}}{{\overline{{CD}}}}=\frac{{\overline{{PA}}}}{{\overline{{PC}}}}$

Sustituyendo los valores que tenemos como datos:

$\displaystyle \frac{{\overline{{AB}}}}{{150}}=\frac{{180}}{{50}}$

Despejando el segmento AB:

$\displaystyle \overline{{AB}}=\frac{{\left( {150} \right)\left( {180} \right)}}{{50}}$

Esto da como resultado:

$\displaystyle \overline{{AB}}=\frac{{27000}}{{50}}=540m$

Por lo que, la magnitud del cerro será de 540 metros.

Solución:

En ocasiones los problemas relacionados con el teorema de Tales, no contienen la asignación de segmentos como tal y se tiene que inferir con el conocimiento hasta ahora para poder resolver este problema.

Observemos que la relación entre los 13 cm y 8.2 cm corresponden a una parte igual de longitud de los dos triángulos, y por lo tanto los 8 cm y "x" también están en la misma relación, por lo tanto podemos plantear lo siguiente:

$\displaystyle \frac{{13cm}}{{8.2cm}}=\frac{{8cm}}{x}$

Multiplicando cruzado

$\displaystyle 13cm\left( x \right)=\left( {8cm} \right)\left( {8.2cm} \right)$

$\displaystyle 13cm\left( x \right)=65.6c{{m}^{2}}$

Despejando a "x"

$\displaystyle x=\frac{{65.6c{{m}^{2}}}}{{13cm}}$

Obtenemos:

$\displaystyle x=5.04cm$

Por lo que el valor de x = 5.04 cm