despejar fórmulas

Después de mucho tiempo sin publicar en el blog, desde el último artículo sobre la presión en fluidos  hoy volvemos nuevamente con más fuerza para publicar un post sobre como despejar fórmulas matemáticas o fórmulas de física. Esto sin duda trae grandes problemas a los estudiantes hoy en día, es por eso que para nosotros en fisimat será de gran aporte que tengamos que enseñarlo.  😎

Para ello lo primero que haremos será entender el concepto de despeje:

El hecho que tengamos que aprender a despejar una variable de una fórmula es porque muchas veces los problemas implican que tengamos que resolver para otra variable de la ecuación principal. Por ejemplo:

En la Ley de Coulomb:

$\displaystyle F=K\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}$

La fórmula principal relaciona a la Fuerza, porque de ahí podemos saber si se trata de una fuerza de atracción y repulsión, y que valor tiene dicha fuerza.

Pero … ¿Si queremos saber el valor de una carga?

Entonces ahí es donde se procede al famoso despeje. 🙂

👉 Pasos para aprender a despejar

Lo primero que debes de saber para poder despejar una fórmula, son los siguientes puntos:

Saber bien la jerarquización de las operaciones, es decir; que operación tiene más valor que otra.

  1. Agrupación
  2. Exponente y Radicación
  3. Multiplicación y División
  4. Suma y Resta
  5. Comparación

Este último con pocos fines de aplicación por ahora, pero que también es un proceso de operación a seguir en temas de programación, por ejemplo.

📄 Ejemplos de despejes de fórmulas

1.- Despejar a q2 de la Fórmula de atracción de cargas de la ley de Coulomb

El problema nos pide despejar  $\displaystyle {{q}_{2}}$ de la ley de Coulomb.

$\displaystyle F=K\frac{{{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}$

Para ello lo primero que vamos hacer será darnos cuenta que nuestra operación tiene diversas operaciones, como multiplicación, división y una potencia elevada al cuadrado. Entonces, ¿cómo iniciamos?

Si multiplicamos toda la ecuación por $\displaystyle {{r}^{2}}$ vamos a poder eliminarla del denominador, nos quedaría algo así:

$\displaystyle {{r}^{2}}\cdot F={{r}^{2}}\cdot K\frac{{{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}$

Con esto podemos simplificar en el segundo miembro a $\displaystyle {{r}^{2}}$

$\displaystyle {{r}^{2}}\cdot F=K{{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}$

Si observamos Kq1 están multiplicando ambos, entonces pasarán a dividir al otro miembro, es decir:

$\displaystyle \frac{{{r}^{2}}F}{K{{q}_{1}}}={{q}_{2}}$

Invertimos la ecuación:

$\displaystyle {{q}_{2}}=\frac{{{r}^{2}}F}{K{{q}_{1}}}$

Listo…!! Problema resuelto, veamos otro ejemplo más complicado.

2.- Despeje “d” de la fórmula de atracción de Newton

Para poder obtener a “d” de la siguiente fórmula de Gravitación Universal de Newton

$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{d}^{2}}}$

Vamos a despejar por partes, aunque este ejemplo no es nada complicado. Si sabemos que “d” está siendo dividida, entonces puede pasar a multiplicar lo del otro miembro, quedando así:

$\displaystyle {{d}^{2}}\cdot F=G\cdot {{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}$

Y la fuerza está multiplicándose, entonces puede ser divida por todo lo que tenemos en el segundo miembro, quedando así:

$\displaystyle {{d}^{2}}=\frac{G\cdot {{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{F}$

Pero como lo que nos piden, es solamente la distancia. Entonces sacamos raíz cuadrada de ambos miembros, quedando así:

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{G\cdot {{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{F}}$

Por lo que la respuesta es esa.

Ahora veamos un ejemplo aún más difícil.

3.- Despeje a M de la siguiente fórmula

$\displaystyle P=\frac{\sqrt{3Mk}}{2{{t}^{2}}}$

Lo primero que haremos será nuevamente analizar las operaciones que están dentro de esa ecuación y por lo pronto tenemos una raíz cuadrada en el numerador que dentro tiene a operación de productos y en el denominador tenemos un producto con una variable al cuadrado.

Despejamos a 2t^2 de ahí para que nos quede de la siguiente forma:

$\displaystyle 2{{t}^{2}}P=\sqrt{3Mk}$

Elevamos al cuadrado ambos miembros, para poder quitarle la raíz a nuestra variable M

$\displaystyle {{\left( 2{{t}^{2}}P \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{3Mk} \right)}^{2}}=3Mk$

es decir:

$\displaystyle {{\left( 2{{t}^{2}}P \right)}^{2}}=3Mk$

Despejamos ahora a “3k” para que podamos tener la variable que nos pide el problema:

$\displaystyle \frac{{{\left( 2{{t}^{2}}P \right)}^{2}}}{3k}=M$

Invertimos la ecuación, nos queda:

$\displaystyle M=\frac{{{\left( 2{{t}^{2}}P \right)}^{2}}}{3k}$

Por lo que sería nuestro resultado.

¿Difícil? … Realmente No, el problema de despejes es un tema muy fácil de aplicar o hacer.

4.- Despeje a F de la siguiente fórmula

En este caso, usaremos el ejemplo que tenemos en el artículo principal, donde tenemos la siguiente ecuación:

$\displaystyle T=\frac{k-{{d}^{2}}+\frac{4\pi }{\sqrt{4F}}}{4kx+2\pi -d}$

Al principio, podría parecer difícil, pero no, no lo es… 😎

Vamos a despejar todo el denominador del segundo miembro, para después multiplicarlo a T , debido a que como está dividendo, ahora en el primer miembro tendrá que pasar a multiplicar, quedando así:

$\displaystyle T(4kx+2\pi -d)=k-{{d}^{2}}+\frac{4\pi }{\sqrt{4F}}$

Ahora, vamos a despejar a $\displaystyle \frac{4\pi }{\sqrt{4F}}$ que está sumando en el segundo miembro y lo pasaremos a restar al primero, quedando así:

$\displaystyle T(4kx+2\pi -d)-\frac{4\pi }{\sqrt{4F}}=k-{{d}^{2}}$

Ahora toda la expresión de $\displaystyle T(4kx+2\pi -d)$ la pasaremos a restar al segundo miembro:

Y obtenemos lo siguiente:

$\displaystyle -\frac{4\pi }{\sqrt{4F}}=k-{{d}^{2}}-T(4kx+2\pi -d)$

Ahora pasamos a $\displaystyle \sqrt{4F}$ a multiplicar al segundo miembro.

$ \displaystyle -4\pi =\left[ k-{{d}^{2}}-T(4kx+2\pi -d) \right]\sqrt{4F}$

Después de este paso, lo más recomendable es mandar a dividir toda la expresión que acababa de pasar a multiplicar a raiz de (4F), quedando esto así:

$\displaystyle \frac{-4\pi }{k-{{d}^{2}}-T(4kx+2\pi -d)}=\sqrt{4F}$

Invertimos la ecuación, esto no modifica nada.

$\displaystyle \sqrt{4F}=\frac{-4\pi }{k-{{d}^{2}}-T(4kx+2\pi -d)}$

Pero…. $\displaystyle \sqrt{4F}=2\sqrt{F}$ (Esto es por Álgebra básica) .

$\displaystyle 2\sqrt{F}=\frac{-4\pi }{k-{{d}^{2}}-T(4kx+2\pi -d)}$

Pasamos a dividir a 2, al segundo miembro.

$\displaystyle \sqrt{F}=\frac{-4\pi }{2\left[ k-{{d}^{2}}-T(4kx+2\pi -d) \right]}$

Podemos dividir a $\displaystyle \frac{-4\pi }{2}$

$\displaystyle \sqrt{F}=\frac{-2\pi }{k-{{d}^{2}}-T(4kx+2\pi -d)}$

Finalmente tenemos un odioso signo negativo en nuestro numerador del segundo miembro, que vamos a eliminar multiplicando por $\displaystyle \left( \frac{-1}{-1} \right)=1$

Que finalmente no altero nada, porque estoy multiplicando por la unidad, es decir por 1

$\displaystyle \sqrt{F}=\frac{-2\pi }{k-{{d}^{2}}-T(4kx+2\pi -d)}\left( \frac{-1}{-1} \right)$

$\displaystyle \sqrt{F}=\frac{2\pi }{-k+{{d}^{2}}+T(4kx+2\pi -d)}$

Ahora, queda la parte más fácil, vamos a elevar ambos miembros al cuadrado, para eliminar la raíz, y dar con el resultado.

$\displaystyle {{\left( \sqrt{F} \right)}^{2}}={{\left( \frac{2\pi }{-k+{{d}^{2}}+T(4kx+2\pi -d)} \right)}^{2}}$

Que finalmente es:

$\displaystyle F={{\left( \frac{2\pi }{-k+{{d}^{2}}+T(4kx+2\pi -d)} \right)}^{2}}$

Y listo… Problema resuelto 🙂

Ahora es momento de practicar 😀

Ejercicios Para Practicar

Ahora es momento de poner a prueba tu conocimiento, y ver si realmente has comprendido los ejemplos resueltos. De todas formas si no comprendes algún ejercicio, hemos creado la solución para cada uno.

Ejemplo 4.- Despeje a β de la siguiente fórmula:

$\displaystyle \alpha =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}$

Ver Solución

Ejemplo 5.- Despeje a la variable C de la siguiente fórmula:

$\displaystyle {{f}_{r}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Ver Solución

Ejemplo 6.- Despeje a la variable t de la siguiente fórmula:

$\displaystyle \frac{2t}{k-3}=\frac{8}{k-2t}$

Ver Solución

El método de despejes para fórmulas de física y matemáticas no son complicados, muchas veces lo complicado lo hacemos nosotros. Trata de resolver tu despeje entendiendo el concepto de jerarquización de las operaciones, para poder profundizar el tema.

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