Sistema de Ecuaciones – Método de Reducción

El día de hoy platicaremos sobre otro de los métodos del sistema de ecuaciones, para encontrar la solución de un sistema, además del método gráfico, que vimos en el anterior artículo. Existen otros métodos y que iremos viendo en el transcurso del artículo. En este caso nos toca explicar sobre el método de reducción. Éste método consiste que al sumar dos ecuaciones se obtenga otra ecuación, pero con una sola variable, así, al despejar ésta se pueda encontrar el valor de la incógnita. Será un proceso entretenido, ya verás 😀

Es muy importante que para llevar a cabo el proceso de la eliminación de una incógnita de los dos miembros de la ecuación tengamos que multiplicar por números tales que en las dos ecuaciones, los coeficientes de una de las variables sean inversos aditivos.

Pero como siempre decimos, es mucho mejor ver un ejemplo; así que aquí vamos…

Ejercicios Resueltos del Método de Reducción

Ejemplo 1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

\displaystyle 2x+y=7

\displaystyle x+3y=11

Solución:

primer paso: Tenemos que elegir la variable que queremos eliminar primero, en este caso vamos a elegir “x” , entonces para poder convertirlo en inverso aditivo, tenemos que multiplicarlo por -2 , a la segunda ecuación, porque haciendo esto al sumar las dos ecuaciones, nos quedaríamos nada más con la que podremos despejar. Así que:

\displaystyle -2(x+3y)=-2(11)

\displaystyle -2x-6y=-22

segundo paso: Ahora solamente tenemos que sumar la primera ecuación, con la que hemos obtenido de multiplicar por -2.

\displaystyle \begin{array}{l}2x+y=7\\-2x-6y=-22\end{array}

Como resultado tenemos.

\displaystyle -5y=-15

tercer paso: Procedemos a realizar el despeje de la incógnita.

\displaystyle y=\frac{-15}{-5}=3

Por lo que el valor de y es 3.

cuarto paso: Ahora este valor de y = 3 , se sustituye en cualquier ecuación del sistema para obtener el valor de 

\displaystyle 2x+3=7

Despejando

\displaystyle \begin{array}{l}2x=7-3\\x=\frac{4}{2}=2\end{array}

Por lo que resulta que x = 2 , y = 3

Ejemplo 2:  Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

\displaystyle \begin{array}{l}3x-2y=-13\\x+4y=5\end{array}

Solución: 

Primer paso: Como bien sabemos, al observar las dos ecuaciones tenemos que elegir una incógnita que deseamos eliminar, para ello hemos seleccionado a la variable , por lo que para encontrar al inverso aditivo de la segunda ecuación, entonces tenemos que multiplicar por 2 a la primera ecuación.

\displaystyle \begin{array}{l}2(3x-2y)=2(-13)\\6x-4y=-26\end{array}

Segundo paso: Ahora si podemos sumar, para poder eliminar la incógnita de “y”.

\displaystyle \begin{array}{l}6x-4y=-26\\x+4y=5\end{array}

Quedando así

\displaystyle \begin{array}{l}7x=-21\\x=-\frac{21}{7}=-3\end{array}

Tercer paso: Ahora el proceso es sumamente más sencillo, puesto que ya tenemos el valor de una incógnita. Solo falta encontrar la otra. Para ello tomamos la primera ecuación.

\displaystyle \begin{array}{l}-3+4y=5\\4y=5+3\\y=\frac{8}{4}=4\end{array}

Ahora podemos decir que ya tenemos todo resuelto.

x = -3 , y = 4

Hasta ahora el proceso de solución debe ser más sencillo, no debe haber problema alguno para encontrar las variables por el método de reducción, que también muchos libros se le conoce como método de suma y resta, pero es exactamente lo mismo.

Ejemplo 3:

Una niña compró en una tienda 2 paletas y un jugo por 7 pesos; al otro día la misma niña compró una paleta y cinco jugos por 17 pesos. ¿Cuánto cuesta cada paleta y cada refresco?

Solución: Sin duda, al tener la habilidad de resolver un sistema de ecuaciones por el método de suma y resta, ya podemos encontrar la solución a problemas de éste tipo, para ello tenemos que fijarnos en los datos que nos dan, y elaborar nuestras ecuaciones.

\displaystyle \begin{array}{l}2x+y=7\\x+5y=17\end{array}

Bien en esta ecuación simultánea, procederemos con lo que hemos hecho en los ejemplos 1 y 2.

En este caso nos conviene multiplicar por -2 a la segunda ecuación y sumarlas, para así eliminar la variable “x”

\displaystyle \begin{array}{l}-2(x+5y)=-2(17)\\-2x-10y=-34\end{array}

Con esto podemos sumar ambas ecuaciones y observar que nos quedaremos con una sola variable.

\displaystyle \begin{array}{l}2x+y=7\\-2x-10y=-34\end{array}

Como resultado tendríamos esto:

\displaystyle \begin{array}{l}-9y=-27\\y=\frac{-27}{-9}=3\end{array}

Por lo que tenemos como resultado: y = 3 ; o sea que el precio del jugo es de 3 (pesos, dolares, soles, libras, euros), la moneda por ahora no nos interesa. Solo la cantidad de moneda.

Tomamos una de las ecuaciones iniciales, sustituimos el valor de y = 3 , y con esto tendremos el valor de “x”.

\displaystyle \begin{array}{l}2x+y=7\\2x=7-y\\x=\frac{7-y}{2}=\frac{7-3}{2}=2\end{array}

Y de ahí hemos obtenido el valor de x = 2

Entonces podemos concluir de la siguiente forma:

Precio de Paleta = 2 pesos

Precio de Jugo = 3 pesos

Ejemplo resuelto de Método Suma y Resta en Video

Recordemos nuevamente que el método de reducción es el mismo que el método de suma y resta. Así que veamos una explicación a profundidad.

Espero que este tema haya quedado claro, y si tienes dudas por favor dejarlo en la caja de comentarios 😀

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