Límites con el número e cuando tiende a infinito

El número e es un número irracional que se define como la base de los logaritmos naturales. Se trata de una constante matemática importante que se utiliza en cálculos estadísticos, cálculo, geometría y muchos otros campos de gran relevancia científica.

El número “e” está definido por:

$\displaystyle e=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{n}} \right)}^{n}}$

El número e es llamado también un número trascendental el cual tiene un valor aproximado de 2.718281828… Considerando la fórmula de arriba, podemos realizar la siguiente sustitución:

$\displaystyle u=\frac{1}{n}$

Donde:

$\displaystyle u=\frac{1}{n}\to 0$ como $\displaystyle n\to \pm \infty $ nos proporciona otra definición para e.

$\displaystyle e=\underset{{u\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+u} \right)}^{{\frac{1}{u}}}}$

Aquí podemos encontramos con expresiones de potencia, en las que la base y la potencia se aproximan a un cierto número a (o al infinito). En muchos casos, estos tipos de límites se pueden calcular tomando el logaritmo de la función.

Ejercicios Resueltos de Límites con e

Solución:

Aplicamos propiedad de potencias:

$\displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{n}} \right)}^{{n+5}}}=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {{{{\left( {1+\frac{1}{n}} \right)}}^{n}}{{{\left( {1+\frac{1}{n}} \right)}}^{5}}} \right]$

Lo representamos por un productos de límites por separado:

$\displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{n}} \right)}^{{n+5}}}=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{n}} \right)}^{n}}\cdot \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{n}} \right)}^{5}}$

Observamos que hay fórmulas conocidas y aplicamos los límites:

$\displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{n}} \right)}^{{n+5}}}=e\cdot 1=e$

Por lo que la respuesta es:

$\displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{n}} \right)}^{{n+5}}}=e$

Solución:

Aplicando la regla del producto de límites, obtenemos:

$\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{x}} \right)}^{{3x}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{x}} \right)}^{x}}\cdot \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{x}} \right)}^{x}}\cdot \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{x}} \right)}^{x}}$

Aplicando la propiedad vista al comienzo de este artículo:

$\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{x}} \right)}^{{3x}}}=e\cdot e\cdot e$

Esto da como resultado:

$\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{x}} \right)}^{{3x}}}={{e}^{3}}$

Solución:

Sustituyendo $\frac{6}{x}=\frac{1}{y}$ , de modo que $x=6y$ y como $y\to \infty $ asi como $x\to \infty $ , obtenemos:

$\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{6}{x}} \right)}^{x}}=\underset{{y\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{y}} \right)}^{{6y}}}$

Expresamos el producto como potencia:

$\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{6}{x}} \right)}^{x}}=\underset{{y\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1+\frac{1}{y}} \right)}}^{y}}} \right]}^{6}}$

Aplicamos nuestra propiedad de límites:

$\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{6}{x}} \right)}^{x}}={{\left[ {\underset{{y\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{{\left( {1+\frac{1}{y}} \right)}}^{y}}} \right]}^{6}}$

Y esto da como resultado:

$\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{6}{x}} \right)}^{x}}={{e}^{6}}$

Solución:

Aplicando la propiedad de raíces:

$\displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[x]{{1+3x}}=\underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+3x} \right)}^{{\frac{1}{x}}}}$

Aplicamos un cambio con el factor "3":

$\displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[x]{{1+3x}}=\underset{{3x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+3x} \right)}^{{\frac{1}{{3x}}\cdot 3}}}$

Entonces:

$\displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[x]{{1+3x}}=\underset{{3x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1+3x} \right)}}^{{\frac{1}{{3x}}}}}} \right]}^{3}}$

Aplicamos propiedad de límites:

$\displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[x]{{1+3x}}={{\left[ {\underset{{3x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,{{{\left( {1+3x} \right)}}^{{\frac{1}{{3x}}}}}} \right]}^{3}}$

Por lo que la respuesta es:

$\displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt[x]{{1+3x}}={{e}^{3}}$