Máximos y Mínimos de una Función

Si ya aprendimos a derivar funciones, ahora es momento de ver las diversas aplicaciones que podemos utilizar, y los máximos y mínimos de una función son sin duda un ejemplo claro para que veamos la importancia del cálculo diferencial.

¿Qué es un Máximo y qué es un Mínimo?

Para entender que es un máximo y que es un mínimo, y las diversas interpretaciones que podemos encontrar en los libros de cálculo diferencial e integral, veamos la siguiente imagen.

Un Máximo Local es un punto de la función donde ésta cambia de creciente a decreciente, es decir, aquellos puntos altos de la gráfica.

Un Mínimo Local es un punto de la función donde ésta cambia de decreciente a creciente, es decir, aquellos puntos bajos de la gráfica.

Pasos para calcular el máximo y mínimo de una función

Para poder calcular el máximo y mínimo de una función tenemos que seguir los siguientes pasos.

1. Se deriva la función y = f(x) y esta se iguala a cero.
2. Se buscan las raíces de la ecuación resultante , dichos valores se llaman valores críticos y son los que hacen que la tangente tenga pendiente cero  (horizontal), pueda darnos un máximo o un mínimo.
3. Para saber si se trata de un máximo o mínimo, se toma un valor un poco menor al crítico y este se sustituye en la derivada, y se hace lo mismo para un valor mayor al crítico. Como resultado veremos lo siguiente; si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, el valor crítico en análisis es de un máximo, si cambia de negativo a positivo, se trata de un mínimo, y si no cambia en ningún sentido, entonces se trata de un punto de inflexión.

Para entender mucho mejor este concepto, veamos el siguiente ejemplo.

Máximos y Mínimos - Ejercicios Resueltos

Solución:

Por cuestiones académicas vamos a graficar la función, solamente para que observes el resultado y lo que vamos a obtener aplicando los máximos y mínimos de la función.

Si analizamos la gráfica, vemos que solamente existe un mínimo, no hay máximos. ¿Pero como se hace con las derivadas? ¿cómo encuentro ese punto?, bien, vamos a ello 😀

 Paso 1:  Vamos a derivar la función e igualamos a cero, es decir.

Como resultado

 Paso 2: Vamos a despejar a "x" , y el valor que nos de es al que llamaremos valor crítico 

Entonces podemos decir que:

x = 2

Sabemos que hay un máximo o un mínimo pero no sabemos donde, (aunque por la gráfica de arriba si sabemos donde está). Pero analíticamente aún lo desconocemos. 

 Paso 3:  Vamos asignar un valor menor al valor crítico y lo vamos a sustituir en la derivada:

> Eligiendo a x = 1 Porque es un valor menor al valor crítico.

Ok! Ahora haremos lo mismo, pero asignando un valor mayor.

> Eligiendo a x = 3 porque es un valor mayor al valor crítico.

Comprobación: 

Para comprobar, como ya sabemos que existe un mínimo en x = 2 , entonces vamos a sustituir a x = 2 en la función original, la que derivamos. De esta forma:

y = 3

Esto quiere decir que nuestro mínimo se encuentra en las coordenadas m(2,3) , si vemos la gráfica eso es cierto 😀

Solución:

Muchas veces los máximos y mínimos funcionan como herramientas para graficar una función de forma rápida, pero en este blog para términos académicos colocamos primero las gráficas, y después analizamos de forma analítica, con la intención de que el alumno aprenda los conceptos de forma entendible.

Entonces, graficamos la función:

Es lógico saber que nuestra función tiene tanto un máximo como un mínimo e incluso podemos apreciar las coordenadas. Pero nuevamente, ¿cómo las obtenemos de forma analítica?

 Paso 1:  Derivamos la función e igualamos a cero:

Como resultado de la derivada:

 Paso 2:  Vamos a obtener los valores críticos porque la ecuación que nos dio de la derivada es una función cuadrática, procedemos de manera algebraica a encontrar esos valores.

Si dividimos nuestra ecuación sobre 3, esto nos daría:

Esto es más fácil de factorizar.

Por lo tanto: x = 1 y x = 3 son valores críticos.

 Paso 3:  Vamos asignar un valor menor al valor crítico y lo vamos a sustituir en la derivada.

Analizando el primer valor crítico x = 1

Valor menor --> x = 0

Valor mayor --> x = 2

Analizando el primer valor crítico x = 3

Valor menor: --> x = 2

Como ya sabemos el resultado para x = 2, porque lo hicimos en el paso anterior, colocamos el resultado:

Valor mayor --> x = 4

Comprobación: 

Para comprobar, como ya sabemos que existe un máximo en x = 1 , y un mínimo en x = 3, entonces vamos a sustituir a x = 1 y x = 3 en la función original. De esta forma:

Comprobando con x = 1

y = 1

Esto quiere decir que existe un máximo en las coordenadas m (1,1).

Comprobando con x = 3

y = 3

Esto quiere decir que existe un mínimo en las coordenadas m (3, -3)

Veamos ahora un ejemplo real de aplicación en Física.

Dónde

h = altura

t = tiempo

Solución: 

Sabemos por el problema que la altura máxima lo alcanzará cuando la derivada de la función se iguale a cero, entonces derivamos e igualamos.

Derivando

Igualando a cero

Despejamos a "t".

Esto quiere decir que cuando t = 1.4 segundos se alcanza la altura máxima. ¿Cómo sabemos a qué altura?, solamente tenemos que sustituir nuestro valor del tiempo en la función original. Tal como lo hicimos en los ejercicios anteriores.

Graficando el problema

Esto quiere decir que la altura máxima es de 12.8 metros a los 1.4 segundos 😀