Producto Escalar - Ejercicios Resueltos

El producto escalar, o también conocido como producto punto o producto interno, es una operación matemática para multiplicar el módulo de dos vectores por el ángulo que forman entre ellos y dar como resultado un valor escalar, o bien una cantidad real. En la siguiente imagen vemos a los dos vectores y el ángulo que forman ambos.

Dados los vectores A y B, su producto escalar o interno se representa por A⋅B y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman, esto es:

Debemos darnos cuenta que el resultado de este producto A⋅B nos proporcionará un número real (positivo, negativo o nulo) y no un vector.

? Propiedades del Producto Escalar 

Como toda operación entre vectores, hay reglas que cumplir y las reglas las hemos colocado en la siguiente tabla para poder resolver ejemplos y ejercicios sin complicación alguna.

Una vez considerando la tabla de propiedades del producto escalar, punto o interno. Podemos pasar a resolver algunos ejercicios.

? Ejercicios Resueltos de Producto Escalar

Solución:

En este problema tenemos el módulo tanto del vector "a" como del vector "b",  así como también el ángulo, entonces procedemos aplicar la fórmula:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta $

Sustituyendo nuestros datos en la fórmula:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta =(3)(5)\cos 120{}^\circ =-7.5$

Por lo que obtenemos un valor escalar de -7.5 

Solución:

Si observamos bien, tenemos el módulo del vector a = 10 y el módulo del vector b = 13, y entre ambos se forma un ángulo de 60° por lo tanto podemos nuevamente recurrir a nuestra fórmula:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta $

y sustituir nuestros datos:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta =(10)(13)\cos 60{}^\circ =65$

Obtenemos un valor escalar de 65 

Solución:

A pesar de que este problema no nos da los módulos de los vectores "a" y "b" vamos a tomar en cuenta el ángulo entre ambos, de 90° debido a que es un ángulo recto, entonces aplicamos nuestra fórmula:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta $

Sustituyendo datos:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta =(a)(b)\cos 90{}^\circ =0$

Por lo que obtenemos un valor de 0 

Es decir que:

[alert-success]Cuando dos vectores forman ángulos rectos entre sí, su producto escalar es cero[/alert-success]

Este ejemplo nos ayudará mucho para encontrar el valor de dos vectores que tienen 90 grados entre ambos.

Solución:

Para darle solución a este ejemplo, veamos nuestra fórmula a utilizar:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta $

Sustituyendo nuestros datos:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta =(3\sqrt{2})(5)\cos 135{}^\circ =15\sqrt{2}\cos 135{}^\circ $

Resolviendo, obtenemos:

$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=15\sqrt{2}\cos 135{}^\circ =-15$

Por lo que el resultado es -15