Producto Escalar - Ejercicios Resueltos
El producto escalar, o también conocido como producto punto o producto interno, es una operación matemática para multiplicar el módulo de dos vectores por el ángulo que forman entre ellos y dar como resultado un valor escalar, o bien una cantidad real. En la siguiente imagen vemos a los dos vectores y el ángulo que forman ambos.
Dados los vectores A y B, su producto escalar o interno se representa por A⋅B y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman, esto es:
Debemos darnos cuenta que el resultado de este producto A⋅B nos proporcionará un número real (positivo, negativo o nulo) y no un vector.
👉 Propiedades del Producto Escalar
Como toda operación entre vectores, hay reglas que cumplir y las reglas las hemos colocado en la siguiente tabla para poder resolver ejemplos y ejercicios sin complicación alguna.
Una vez considerando la tabla de propiedades del producto escalar, punto o interno. Podemos pasar a resolver algunos ejercicios.
📄 Ejercicios Resueltos de Producto Escalar
Solución:
En este problema tenemos el módulo tanto del vector "a" como del vector "b", así como también el ángulo, entonces procedemos aplicar la fórmula:
$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta $
Sustituyendo nuestros datos en la fórmula:
$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta =(3)(5)\cos 120{}^\circ =-7.5$
Por lo que obtenemos un valor escalar de -7.5
Solución:
Si observamos bien, tenemos el módulo del vector a = 10 y el módulo del vector b = 13, y entre ambos se forma un ángulo de 60° por lo tanto podemos nuevamente recurrir a nuestra fórmula:
$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta $
y sustituir nuestros datos:
$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta =(10)(13)\cos 60{}^\circ =65$
Obtenemos un valor escalar de 65
Solución:
A pesar de que este problema no nos da los módulos de los vectores "a" y "b" vamos a tomar en cuenta el ángulo entre ambos, de 90° debido a que es un ángulo recto, entonces aplicamos nuestra fórmula:
$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta $
Sustituyendo datos:
$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta =(a)(b)\cos 90{}^\circ =0$
Por lo que obtenemos un valor de 0
Es decir que:
Este ejemplo nos ayudará mucho para encontrar el valor de dos vectores que tienen 90 grados entre ambos.
Solución:
Para darle solución a este ejemplo, veamos nuestra fórmula a utilizar:
$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta $
Sustituyendo nuestros datos:
$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| {\overrightarrow{a}} \right|\left| {\overrightarrow{b}} \right|\cos \theta =(3\sqrt{2})(5)\cos 135{}^\circ =15\sqrt{2}\cos 135{}^\circ $
Resolviendo, obtenemos:
$\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=15\sqrt{2}\cos 135{}^\circ =-15$
Por lo que el resultado es -15
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