En Física es común encontrarse una suma de cantidades vectoriales, y aunque podemos recurrir a diversos métodos como el del triángulo, del polígono o el paralelogramo, es importante tener en cuenta que la forma analítica nos conducirá a un resultado más exacto. Ahora veamos que necesitamos para comprender por completo el método analítico, además de resolver varios ejercicios paso a paso.

En el método analítico es posible aplicar el teorema de pitágoras solamente si los dos vectores forman un ángulo de 90°, de otra forma tendremos que aplicar la Ley de Cosenos, y si se desea calcular el ángulo de la resultante es posible también recurrir a la Ley de Senos.

Suma de dos vectores angulares o concurrentes

En varios libros, muchos autores también relacionan el método analítico como una suma de vectores angulares o concurrentes, recordemos que los vectores los podemos agrupar por el tipo, en caso de tener dudas, favor de revisar > Tipos de Vectores

Veamos la manera general de sumar dos vectores, y de entender como se nos puede presentar diversos problemas:

Para realizar la suma analítica, basta con trazar la resultante a partir de sus proyecciones como vectores deslizantes, de tal manera que:

Realizar estos movimientos nos favorece mucho la forma de solución de la resultante, es por ello que si deseamos sumar dos vectores, será mucho más fácil.

Ejercicios Resueltos de Suma de Vectores (Método Analítico)

Veamos el siguiente ejercicio.

 Ejemplo 1: Realice la suma de los siguientes vectores y encuentre el ángulo de la dicha suma

Solución: Si dichos vectores se deslizan podemos trazar la resultante, de tal forma que:

A simple vista podemos calcular el ángulo Φ, puesto que es un ángulo complementario con los 34° que forman parte del vector F1 con la horizontal, entonces podemos decir que:

\displaystyle \phi =180{}^\circ -34{}^\circ =146{}^\circ

Para poder encontrar la resultante, tendremos que recurrir a la ley de cosenos.

\displaystyle R=\sqrt{{{35}^{2}}+{{40}^{2}}-2(35)(40)cos(146{}^\circ )}

\displaystyle R=\sqrt{1225+1600-(-2321.30)}

\displaystyle R=\sqrt{5146.30}

Obteniendo la raíz cuadrada:

\displaystyle R=71.73N

Obteniendo el ángulo de la resultante:

Para obtener el ángulo de la resultante, que le hemos colocado ángulo beta “β”.

Aplicamos la ley de senos, de tal manera que la relación del ángulo desconocido nos quede de la siguiente manera:

\displaystyle \frac{{{F}_{1}}}{sen\beta }=\frac{R}{sen146{}^\circ }

Despejando a “Sen β”

\displaystyle sen\beta =\frac{{{F}_{1}}sen146{}^\circ }{R}=\frac{\left( 35N \right)sen146{}^\circ }{71.73N}=\frac{19.57N}{71.73N}=0.2728

Despejando a “Beta”

\displaystyle \beta =se{{n}^{-1}}\left( 0.2728 \right)=15.83{}^\circ

Por lo que la resultante tiene una magnitud de 71.73 N y un ángulo de 15.83°

 Ejemplo 2: En la siguiente suma de vectores encontrar la resultante y el ángulo que forma con el eje horizontal

Solución: Si hemos entendido el ejercicio anterior, será mucho más sencillo comprender este ejemplo. Hagamos las proyecciones correspondientes y tracemos la resultante:

Para poder obtener el ángulo fi ( Φ ) , tendremos que restarle a 180° por ser un ángulo suplementario, de tal forma que:

\displaystyle \phi =180{}^\circ -135{}^\circ =45{}^\circ

Con este dato es mucho más fácil calcular la resultante, por lo que aplicamos la ley de cosenos.

\displaystyle R=\sqrt{{{160}^{2}}+{{350}^{2}}-2(160)(350)cos({{45}^{{}^\circ }})}

Luego

\displaystyle R=\sqrt{25600+122500-79195.95}

\displaystyle R=\sqrt{68904.05}

Obteniendo la raíz cuadrada:

\displaystyle R=262.49N

Obteniendo el ángulo de la resultante:

Nuevamente aplicaremos lo mismo que el ejemplo 1, con los datos que tenemos podemos decir que:

\displaystyle \frac{{{F}_{1}}}{sen\beta }=\frac{R}{sen{{45}^{{}^\circ }}}

Despejando a senβ

\displaystyle sen\beta =\frac{{{F}_{1}}sen{{45}^{{}^\circ }}}{R}=\frac{\left( 160N \right)sen{{45}^{{}^\circ }}}{262.49N}=\frac{113.137N}{262.49N}=0.4310

\displaystyle \beta =se{{n}^{-1}}\left( 0.4310 \right)={{25.53}^{{}^\circ }}

Por lo que en este problema la resultante tiene una magnitud de 262.49N y un ángulo de 25.53°

Con esto damos por finalizado el ejercicio. 😎