Suma de Vectores - Método Analítico

En Física es común encontrarse una suma de cantidades vectoriales, y aunque podemos recurrir a diversos métodos como el del triángulo, del polígono o el paralelogramo, es importante tener en cuenta que la forma analítica nos conducirá a un resultado más exacto. Ahora veamos que necesitamos para comprender por completo el método analítico, además de resolver varios ejercicios paso a paso.

En el método analítico es posible aplicar el teorema de pitágoras solamente si los dos vectores forman un ángulo de 90°, de otra forma tendremos que aplicar la Ley de Cosenos, y si se desea calcular el ángulo de la resultante es posible también recurrir a la Ley de Senos.

Contenidos
  1. ✅ Suma de dos vectores angulares o concurrentes
  2. 📄 Pasos para el Método Analítico en la suma de Vectores
  3. 📙 Ejercicios Resueltos de Suma de Vectores (Método Analítico)

✅ Suma de dos vectores angulares o concurrentes

En varios libros, muchos autores también relacionan el método analítico como una suma de vectores angulares o concurrentes, recordemos que los vectores los podemos agrupar por el tipo, en caso de tener dudas, favor de revisar > Tipos de Vectores

Veamos la manera general de sumar dos vectores, y de entender como se nos puede presentar diversos problemas:

Para realizar la suma analítica, basta con trazar la resultante a partir de sus proyecciones como vectores deslizantes, de tal manera que:

Realizar estos movimientos nos favorece mucho la forma de solución de la resultante, es por ello que si deseamos sumar dos vectores, será mucho más fácil.

📄 Pasos para el Método Analítico en la suma de Vectores

El método analítico, a diferencia de los métodos que podemos ver en este sitio web, no requiere la utilización de la forma gráfica de los vectores. Se puede llevar a cabo sin realizar un solo dibujo.En el ejemplo que se analiza en los ejercicios resueltos, se podra observar porque no es necesario, sin embargo aquí en el sitio web, lo utilizaremos. Para llevar a cabo el procedimiento del método analítico, debemos de considerar los siguientes puntos.

  1. Obtener las componentes rectangulares de todos los vectores que se van a sumar.
  2. Sumar todas las componentes en x de todos los vectores para obtener la componente en x del vector resultante.
  3. Sumar todas las componentes en y de todos los vectores para obtener la componente en y del vector resultante.
  4. Obtener la magnitud y el ángulo del vector resultante a partir de sus componentes rectangulares.

Para poder apreciar de mejor forma, este método, veamos algunos ejemplos resueltos.

📙 Ejercicios Resueltos de Suma de Vectores (Método Analítico)

Veamos el siguiente ejercicio.

 Ejemplo 1. Suma los siguientes vectores $\displaystyle \vec{A}=(10N,30{}^\circ )$ y $\displaystyle \vec{B}=(17N,165{}^\circ )$  

Suma de vectores por el método analítico

Solución:

Primero es necesario obtener las componentes rectangulares de cada vector. Para el vector A la componente en el eje x es:

$\displaystyle {{A}_{x}}=A\cos \alpha =10N\cdot \cos \left( {30{}^\circ } \right)=10N\cdot 0.866=8.66N$

La componente en el eje y es:

$\displaystyle {{A}_{y}}=Asen\alpha =10N\cdot sen\left( {30{}^\circ } \right)=10N\cdot 0.5=5N$

Para el vector B, la componente en el eje x es,

$\displaystyle {{B}_{x}}=B\cos \alpha =17N\cdot \cos \left( {165{}^\circ } \right)=17N\cdot \left( {-0.966} \right)=-16.42N$

La componente en el eje y es:

$\displaystyle {{B}_{y}}=Bsen\alpha =17N\cdot sen\left( {165{}^\circ } \right)=17N\cdot \left( {0.259} \right)=4.40N$

Al obtener todas las componentes, se obtienen las componentes rectangulares del vector resultante. De tal modo que al sumar las componentes rectangulares en el eje x se obtiene:

$\displaystyle {{R}_{x}}={{A}_{x}}+{{B}_{x}}=8.66N+\left( {-16.42N} \right)=8.66N-16.42N=-7.76N$

$\displaystyle {{R}_{y}}={{A}_{y}}+{{B}_{y}}=5N+4.40N=9.40N$

Las componentes del vector resultante son:

$\displaystyle \vec{R}=\left( {-7.76,9.40} \right)N$

Para encontrar la magnitud del vector resultante, se utiliza el teorema de Pitágoras:

$\displaystyle \vec{R}=\sqrt{{{{R}_{x}}^{2}+{{R}_{y}}^{2}}}=\sqrt{{{{{\left( {-7.76N} \right)}}^{2}}+{{{\left( {9.40N} \right)}}^{2}}}}$

$\displaystyle \vec{R}=\sqrt{{{{R}_{x}}^{2}+{{R}_{y}}^{2}}}=\sqrt{{60.22{{N}^{2}}+88.36{{N}^{2}}}}=\sqrt{{148.58{{N}^{2}}}}$

$\displaystyle \vec{R}=12.19N$

El ánulo del vector resultante, se obtiene mediante la tangente del ángulo:

$\displaystyle \tan \alpha =\frac{{{{A}_{y}}}}{{{{A}_{x}}}}=\frac{{9.40N}}{{-7.76N}}=-1.21$

El ángulo β es entonces:

$\displaystyle \alpha ={{\tan }^{{-1}}}(-1.21)=-50.46{}^\circ $

Pero el ángulo debe ser un valor mayor a 0° y menor a 360°. Observa los vectores en su forma gráfica de este ejemplo, el ángulo obtenido con la calculadora corresponde al que se forma respecto a la parte negativa del eje x y en sentido de las manecillas del reloj. Ese no es el ángulo que se necesita, sino el ángulo suplementario. Así, el ángulo buscado es:

$\displaystyle \beta =180{}^\circ -50.46{}^\circ =129.54{}^\circ $

Suma de vectores por el método analítico

 Ejemplo 2. Dos personas intentan levantar una bolsa con basura del piso. La primer persona jala con una fuerza de 35 N a un ángulo de 125° con respecto al piso. La segunda jala con una fuerza de 29 N a un ángulo de 70° con respecto al piso. Si la tierra jala a la bolsa con una fuerza de 45 N hacia abajo. Determinen la fuerza resultante que se produce sobre la caja.

Problema de Vectores, método analítico

Solución:

Vamos a realizar un diagrama de cuerpo libre, para entender mucho mejor el gráfico, en dado caso haya confusión con un diagrama será más claro.

Problemas de Método Analítico

Vamos a determinar las componentes de la fuerza que ejerce la persona de rojo: $\displaystyle \overrightarrow{{{{F}_{R}}}}$

$\displaystyle {{F}_{x}}_{{_{r}}}=F\cos \gamma =\left( {35N} \right)\cos \left( {125{}^\circ } \right)=-20.075N$

$\displaystyle {{F}_{y}}_{{_{r}}}=Fsen\gamma =\left( {35N} \right)sen\left( {125{}^\circ } \right)=28.67N$

Ahora vamos a determinar las componentes de la fuerza que ejerce la persona de azul: $\displaystyle \overrightarrow{{{{F}_{A}}}}$

$\displaystyle {{F}_{x}}_{{_{a}}}=F\cos \delta =\left( {29N} \right)\cos \left( {70{}^\circ } \right)=9.918N$

$\displaystyle {{F}_{y}}_{{_{a}}}=Fsen\delta =\left( {29N} \right)sen\left( {70{}^\circ } \right)=27.251N$

Ahora procedemos a calcular el peso de la bolsa, es decir la fuerza de la tierra para jalar la bolsa hacía abajo.

$\displaystyle {{F}_{x}}_{{_{w}}}=F\cos \beta =\left( {45N} \right)\cos \left( {270{}^\circ } \right)=0N$

$\displaystyle {{F}_{y}}_{{_{w}}}=Fsen\beta =\left( {45N} \right)sen\left( {270{}^\circ } \right)=-45N$

Sumando las componentes rectangulares del eje x se obtiene:

$\displaystyle {{F}_{R}}_{{_{x}}}={{F}_{{{{x}_{r}}}}}+{{F}_{{{{x}_{a}}}}}+{{F}_{{{{x}_{w}}}}}=-20.075N+9.918N+0N$

$\displaystyle {{F}_{R}}_{{_{x}}}=-10.157N$

Sumando las componentes rectangulares del eje y se obtiene:

$\displaystyle {{F}_{R}}_{{_{y}}}={{F}_{{{{y}_{r}}}}}+{{F}_{{{{y}_{a}}}}}+{{F}_{{{{y}_{w}}}}}=28.67N+27.251N-45N$

$\displaystyle {{F}_{R}}_{{_{x}}}=10.921N$

El vector resultante posee las coordenadas:

$\displaystyle \overrightarrow{{{{F}_{R}}}}=\left( {-10.157,10.921} \right)N$

Utilizando el teorema de pitágoras para determinar la magnitud del vector:

$\displaystyle {{F}_{R}}=\sqrt{{{{{\left( {-10.157N} \right)}}^{2}}+{{{\left( {10.921N} \right)}}^{2}}}}$

$\displaystyle {{F}_{R}}=14.914N$

Al determinar el ángulo:

$\displaystyle \phi ={{\tan }^{{-1}}}\left( {\frac{{{{F}_{{{{R}_{y}}}}}}}{{{{F}_{{{{R}_{x}}}}}}}} \right)={{\tan }^{{-1}}}\left( {\frac{{10.921N}}{{-10.157N}}} \right)=-47.08{}^\circ $

Al observar que el ángulo obtenido corresponde al que se forma con respecto a la parte negativa del eje x y en el sentido de las manecillas del reloj. Ese no es el ángulo que se necesita, sino el ángulo suplementario. Así, al ángulo buscado es:

$\displaystyle \theta =180{}^\circ -47.08{}^\circ =132.92{}^\circ $

De forma gráfica, la suma de los tres vectores se vería así:

Problema del método analítico

 Ejemplo 3: Realice la suma de los siguientes vectores y encuentre el ángulo de la dicha suma

Solución: 

Aunque este problema se resolvió con el método del triángulo, en este problema, veremos como resolverlo mediante el método analítico.

Suma de vectores por el método analítico

Observe que la $\displaystyle {{F}_{1}}$ posee un ángulo de 34° y la $\displaystyle {{F}_{2}}$ posee un ángulo de 0°.

Vamos a obtener las componentes rectangulares de la fuerza 1

$\displaystyle {{F}_{1}}_{x}=(35N)\cos (34{}^\circ )=29.016N$

$\displaystyle {{F}_{1}}_{y}=(35N)sen(34{}^\circ )=19.572N$

Ahora vamos a obtener las componentes rectangulares de la fuerza 2

$\displaystyle {{F}_{2}}_{x}=(40N)\cos (0{}^\circ )=40N$

$\displaystyle {{F}_{2}}_{y}=(40N)sen(0{}^\circ )=0N$

Sumando las componentes rectangulares del eje x se obtiene:

$\displaystyle {{F}_{R}}_{x}={{F}_{{1x}}}+{{F}_{{2x}}}=29.016N+40N=69.016N$

Sumando las componentes rectangulares del eje y se obtiene:

$ \displaystyle {{F}_{R}}_{y}={{F}_{{1y}}}+{{F}_{{2y}}}=19.572N+0N=19.572N$

El vector resultante, posee las coordenadas:

$\displaystyle \overrightarrow{{{{F}_{R}}}}=\left( {69.016,19.572} \right)N$

Utilizando el teorema de pitágoras para determinar la magnitud del vector, obtenemos:

$\displaystyle \overrightarrow{{{{F}_{R}}}}=\sqrt{{{{{\left( {69.016N} \right)}}^{2}}+{{{\left( {19.572N} \right)}}^{2}}}}$

$\displaystyle \overrightarrow{{{{F}_{R}}}}=71.73N$

Al determinar el ángulo:

$\displaystyle \phi ={{\tan }^{{-1}}}\left( {\frac{{{{F}_{{{{R}_{y}}}}}}}{{{{F}_{{{{R}_{x}}}}}}}} \right)={{\tan }^{{-1}}}\left( {\frac{{19.572N}}{{69.016N}}} \right)={{15.83}^{{}^\circ }}$

De forma, gráfica la resultante se vería de la siguiente forma:

Suma de vectores por el método analítico

 Ejemplo 4: Un avión vuela 300 km hacía el norte y después se mueve hacia el este a una distancia desconocida. Finalmente, toma la dirección hacia su punto inicial, al que llega después de recorrer 500 km. ¿Qué distancia recorrió el avión en la dirección este? 

Solución: 

Vamos a realizar un bosquejo del trayecto del avión, los 300 km al norte, y después el movimiento por la derecha a una distancia desconocida, y finalmente la dirección hacia su punto inicial el cual fue de 500 km, si nosotros trasladamos esto en un problema de los vectores, vamos analizarlo mediante sus componentes rectangulares, es decir.

Método analítico para sumar vectores

Vamos asignar las componentes de la siguiente forma:

Método analítico para sumar vectores

El valor que se pide determinar es la componente $\displaystyle {{A}_{x}}$ , por lo tanto, de la fórmula tenemos:

$\displaystyle A=\sqrt{{{{A}_{x}}^{2}+{{A}_{y}}^{2}}}$

Despejamos $\displaystyle {{{A}_{x}}}$

$\displaystyle {{A}_{x}}=\sqrt{{{{A}^{2}}-{{A}_{y}}^{2}}}$

$\displaystyle {{A}_{x}}=\sqrt{{{{A}^{2}}-{{A}_{y}}^{2}}}=\sqrt{{{{{\left( {500km} \right)}}^{2}}-{{{\left( {300km} \right)}}^{2}}}}$

$\displaystyle {{A}_{x}}=\sqrt{{1600000k{{m}^{2}}}}$

$\displaystyle {{A}_{x}}=400km$

Por lo tanto, podemos concluir que el avión recorrió 400 km hacia el este.

 Problema 5. En un momento dado, sobre un balón de fútbol actúan dos fuerzas. la fuerza $\displaystyle {{f}_{1}}=4N$ es el peso del balón y actúa verticalmente hacia abajo. La fuerza $\displaystyle {{f}_{2}}=2N$ es la fuerza de la resistencia del aire y actúa horizontalmente hacia la izquierda (observe la imagen). Use el metodo analítico para encontrar a) el módulo de la fuerza resultante sobre el balón, b) la dirección y el sentido de la fuerza resultante

Método analítico para vectores

Solución:

Observemos que al no tener una inclinación las fuerzas, tanto la del balón como la de la resistencia del aire, entonces no habra un valor de su componente, de forma gráfica tenemos el siguiente diagrama de cuerpo libre, considerando los ángulos que se forman desde el eje horizontal.

Método analítico vectores

a) El módulo F de la fuerza resultante sobre la pelota

Las componentes ortogonales de las fuerzas serán las siguientes:

Peso:

$\displaystyle {{f}_{{1x}}}={{f}_{1}}\cos \gamma =2N\cos \left( {180{}^\circ } \right)=-2N$

$\displaystyle {{f}_{{1y}}}={{f}_{1}}sen\gamma =2Nsen\left( {180{}^\circ } \right)=0N$

Fuerza del viento:

$\displaystyle {{f}_{{2x}}}={{f}_{2}}\cos \delta =4N\cos \left( {270{}^\circ } \right)=0N$

$\displaystyle {{f}_{{2y}}}={{f}_{2}}sen\delta =4Nsen\left( {270{}^\circ } \right)=-4N$

El vector resultante es:

$\displaystyle {{F}_{x}}={{f}_{{1x}}}+{{f}_{{2x}}}=-2N+0N=-2N$

$\displaystyle {{F}_{y}}={{f}_{{1y}}}+{{f}_{{2y}}}=0N+\left( {-4N} \right)=-4N$

Obteniendo la magnitud del vector:

$\displaystyle F=\sqrt{{{{{\left( {-2N} \right)}}^{2}}+{{{\left( {-4N} \right)}}^{2}}}}=4.47N$

b) Obteniendo la dirección y sentido de la fuerza resultante.

$\displaystyle \alpha ={{\tan }^{{-1}}}\left( {\frac{{{{F}_{y}}}}{{{{F}_{x}}}}} \right)={{\tan }^{{-1}}}\left( {\frac{{-4N}}{{-2N}}} \right)={{\tan }^{{-1}}}(2)=63.43{}^\circ $

Sin embargo el ángulo de 64.43° es solo el ángulo comprendido en el tercer cuadrante, por lo que le sumaremos los 180° desde el lado positivo respecto a las manecillas del reloj:

$\displaystyle \beta =180{}^\circ +63.43{}^\circ =243.43{}^\circ $

Qué sería lo que se estaba buscando.

 

Método analítico para sumar dos vectores

Carlos julián

Carlos Julián es Ingeniero Mecatrónico, profesor de Física y Matemáticas.

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    15 Comentarios Publicados

  1. Alejandro dice:

    el ejemplo dos esta mal planteado, ya que los vectores se suman de manera que la resultante seria desde el punto donde inicia el primer vector hasta el punto donde termina el ultimo vector, R=F1+F2, la operación que esta realizando en el ejemplo es R=F2-F1 y en ese caso el diagrama estaría mal dibujado

    1. Exacto Alejandro, ya se mandó a corrección; nuestro diseñador lo tomó mal.

  2. Manuel dice:

    Me a servido mucho para mi estudio

  3. Jhanely dice:

    Me fue demucha ayuda
    Grasias 😀

  4. RUFLEX dice:

    MUY BUEN CONTENIDO...
    FELICITACIONES Y SIGAN COMPARTIENDO SUS EXPERIENCIAS

  5. Nayeli sanabria dice:

    En la siguiente suma de vectores encontrar los resultado y el amgulo que forma con el eje horizontal

  6. Lindsay dice:

    Yo vine aquí a aprender a hacer esto y termine encontrando las respuestas xD

  7. maria dice:

    alguien me puede decir, por que se trazo hay la resultante en el ejemplo 2

    1. Hola María, la resultante está mal trazada, error de nuestro diseñador. Debería estar en la unión del primero y segundo, ahí como se muestra es una resta, la vamos a corregir.

  8. Bileysi Arias dice:

    buenos dias si me pueden hacer el favor de explicarme este ejercicio ya que el maestro no explica.
    ( 5.0m/s,70°), ( 3.0m/s,120°)

    1. Tienes que multiplicar el valor de la velocidad por el coseno y seno de los ángulos, después hacer la suma analítica, lo que está en "X" y lo que está en "Y", hasta encontrar la resultante.

  9. Sara galm dice:

    Sumar los vectores A= 3N que forma un ángulo de 45° desde la horizontal y B= 4N. Hallar el vector suma
    Me pueden ayudar por favor?

  10. marcosflorenciano dice:

    HOLA Me pueden ayudar con este porfavor
    Halla la resultante del sistema de fuerzas formado por: F1=500N F2=420N F3=800N REALIZA EL METODO DE EL PARALELOGRAMO Y DE FORMA ANALITICA

  11. wilmer dice:

    excelente cuando se utiliza positivo el coseno en la formula

  12. Mercy Viviana dice:

    Agradezco por esta página me es útil no tienen idea cuánto

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