Exponentes Racionales - La Guía Completa

A medida que nos adentramos a los temas más relevantes de álgebra, nos daremos cuenta que es necesario estudiar los conceptos básicos para poder reforzarlos aún más, todo esto mediante la práctica. Ahora, anteriormente hemos analizado los exponentes enteros, es momento de abordar exponentes más complejos. En esta sección, vamos a estudiar los exponentes racionales, que son exponentes en la forma:

\[{b^{\frac{m}{n}}}\]

donde tanto \(m\) como \(n\) son enteros.

Comenzaremos de forma sencilla, analizando el siguiente caso especial:

\[{b^{\frac{1}{n}}}\]

donde \(n\) es un entero. Una vez que entendamos esto, el caso más general presentado anteriormente será bastante fácil de manejar.

Primero, definamos qué significan los exponentes de esta forma.

\[a = {b^{\frac{1}{n}}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{es equivalente a }}\hspace{0.25in}{a^n} = b\]

En otras palabras, al evaluar \( {b^{\frac{1}{n}}} \), realmente nos estamos preguntando qué número (en este caso \(a\)) elevamos a la potencia \(n\) para obtener \(b\). A menudo, \( {b^{\frac{1}{n}}} \) se conoce como la raíz \(n\)-ésima de \(b\).

Hagamos un par de evaluaciones.

Solución

Al realizar estas evaluaciones, no las haremos directamente. Cuando nos enfrentamos por primera vez a este tipo de evaluaciones, hacerlo directamente suele ser muy difícil. Para evaluarlas, recordaremos la equivalencia dada en la definición y la usaremos en su lugar.

Trabajaremos el primer inciso en detalle y luego pondremos menos detalles en el resto de los problemas.

a) \({25^{\frac{1}{2}}}\)

Esto es lo que nos preguntamos en este problema:

\[{25^{\frac{1}{2}}} = ?\]

Usando la equivalencia de la definición, podemos reescribir esto como:

\[{?^{\,2}} = 25\]

Entonces, todo lo que realmente estamos preguntando aquí es qué número elevamos al cuadrado para obtener 25. En este caso, es (con suerte) fácil de obtener. Elevamos 5 al cuadrado para obtener 25. Por lo tanto:

\[{25^{\frac{1}{2}}} = 5\]

b) \({32^{\frac{1}{5}}}\)

Aquí nos preguntamos, ¿qué número elevamos a la quinta potencia para obtener 32?

\[{32^{\frac{1}{5}}} = 2\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{porque}}\hspace{0.25in}{2^5} = 32\]

c) \({81^{\frac{1}{4}}}\)

¿Qué número elevamos a la cuarta potencia para obtener 81?

\[{81^{\frac{1}{4}}} = 3\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{porque}}\hspace{0.25in}{3^4} = 81\]

d) \({\left( { - 8} \right)^{\frac{1}{3}}}\)

Debemos tener un poco de cuidado con los signos negativos aquí, pero aparte de eso, funciona de la misma manera que los incisos anteriores. ¿Qué número elevamos a la tercera potencia (es decir, al cubo) para obtener -8?

\[{\left( { - 8} \right)^{\frac{1}{3}}} = - 2\hspace{0.25in}\,\,\,{\mbox{porque}}\hspace{0.25in}{\left( { - 2} \right)^3} = - 8\]

e) \({\left( { - 16} \right)^{\frac{1}{4}}}\)

Este inciso no tiene una respuesta. Está aquí para resaltar un punto importante. En este caso, nos preguntamos qué número elevamos a la cuarta potencia para obtener -16. Sin embargo, también sabemos que elevar cualquier número (positivo o negativo) a una potencia par resultará en un número positivo. En otras palabras, no hay un número real que podamos elevar a la cuarta potencia para obtener -16.

f) \( - {16^{\frac{1}{4}}}\)

Nuevamente, este inciso está aquí para aclarar un punto. A diferencia del inciso anterior, este sí tiene una respuesta. Recordemos de la sección anterior que si no hay paréntesis, solo la parte inmediatamente a la izquierda del exponente se ve afectada por este. Por lo tanto, este inciso realmente nos pide que evaluemos el siguiente término:

\[ - {16^{\frac{1}{4}}} = - \left( {{{16}^{\frac{1}{4}}}} \right)\]

Entonces, necesitamos determinar qué número elevado a la cuarta potencia nos da 16. Ese número es 2, y por lo tanto en este caso la respuesta es:

\[ - {16^{\frac{1}{4}}} = - \left( {{{16}^{\frac{1}{4}}}} \right) = - \left( 2 \right) = - 2\]

Como han demostrado los dos últimos incisos del ejemplo anterior, realmente debemos tener cuidado con los paréntesis. En este caso, los paréntesis marcan la diferencia entre poder obtener una respuesta o no.

Lo siguiente que debemos reconocer es que todas las propiedades de los exponentes que vimos en la sección anterior siguen siendo válidas para todos los exponentes racionales.

Ahora que sabemos que las propiedades siguen siendo válidas, podemos ver cómo manejar el exponente racional más general. Existen dos formas de hacerlo, y ambas utilizan la propiedad \({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}}\). Aquí están:

\[{b^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{b^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{O}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{b^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{b^m}} \right)^{\frac{1}{n}}}\]

Usando cualquiera de estas formas, ahora podemos evaluar expresiones más complicadas.

Solución

Podemos usar cualquiera de las dos formas para hacer las evaluaciones. Sin embargo, generalmente es más conveniente usar la primera forma, como veremos.

a) \({8^{\frac{2}{3}}}\)

Usemos ambas formas aquí. Con la primera forma:

\[{8^{\frac{2}{3}}} = {\left( {{8^{\frac{1}{3}}}} \right)^2} = {\left( 2 \right)^2} = 4\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{8^{\frac{1}{3}}} = 2\,\,{\mbox{porque }}{2^3} = 8\]

Ahora, con la segunda forma:

\[{8^{\frac{2}{3}}} = {\left( {{8^2}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {64} \right)^{\frac{1}{3}}} = 4\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{64^{\frac{1}{3}}} = 4\,\,{\mbox{porque }}{{\mbox{4}}^3} = 64\]

Obtenemos la misma respuesta. Sin embargo, nótese que cuando usamos la segunda forma, terminamos sacando la raíz cúbica de un número mucho más grande.

b) \({625^{\frac{3}{4}}}\)

Nuevamente, usemos ambas formas. Con la primera forma (preferida):

\[{625^{\frac{3}{4}}} = {\left( {{{625}^{\frac{1}{4}}}} \right)^3} = {\left( 5 \right)^3} = 125\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{625^{\frac{1}{4}}} = 5{\mbox{ porque }}{5^4} = 625\]

Con la segunda forma:

\[{625^{\frac{3}{4}}} = {\left( {{{625}^3}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {\left( {244140625} \right)^{\frac{1}{4}}} = 125\hspace{0.25in}{\mbox{porque}}\;\;{125^4} = 244140625\]

Como ha demostrado este inciso, la segunda forma puede ser bastante difícil de usar. La raíz en este caso no era obvia.

c) \({\left( {\displaystyle \frac{{243}}{{32}}} \right)^{\frac{4}{5}}}\)

En este caso, solo usaremos la primera forma. Antes de eso, usamos la propiedad de los exponentes para una fracción:

\[{\left( {\frac{{243}}{{32}}} \right)^{\frac{4}{5}}} = \frac{{{{243}^{\frac{4}{5}}}}}{{{{32}^{\frac{4}{5}}}}} = \frac{{{{\left( {{{243}^{\frac{1}{5}}}} \right)}^4}}}{{{{\left( {{{32}^{\frac{1}{5}}}} \right)}^4}}} = \frac{{{{\left( 3 \right)}^4}}}{{{{\left( 2 \right)}^4}}} = \frac{{81}}{{16}}\]

También podemos resolver problemas de simplificación con exponentes racionales.

Solución

a) \({\left( {\displaystyle \frac{{{w^{ - 2}}}}{{16{v^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^{\frac{1}{4}}}\)

Primero distribuimos el exponente exterior a cada término dentro del paréntesis. Luego, eliminamos el exponente negativo moviendo el término al denominador.

\[\frac{{{w^{ - 2\left( {\frac{1}{4}} \right)}}}}{{{{16}^{\frac{1}{4}}}{v^{\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}} \right)}}}} = \frac{{{w^{ - \frac{1}{2}}}}}{{2{v^{\frac{1}{8}}}}} = \frac{1}{{2{v^{\frac{1}{8}}}{w^{\frac{1}{2}}}}}\]

b) \({\left( {\displaystyle \frac{{{x^2}{y^{ - \frac{2}{3}}}}}{{{x^{ - \frac{1}{2}}}{y^{ - 3}}}}} \right)^{ - \frac{1}{7}}}\)

En este caso, primero simplificaremos la expresión dentro del paréntesis.

\[{\left( {\frac{{{x^2}{y^{ - \frac{2}{3}}}}}{{{x^{ - \frac{1}{2}}}{y^{ - 3}}}}} \right)^{ - \frac{1}{7}}} = {\left( {\frac{{{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}{y^3}}}{{{y^{\frac{2}{3}}}}}} \right)^{ - \frac{1}{7}}} = {\left( {\frac{{{x^{2 + \frac{1}{2}}}{y^{3 - \frac{2}{3}}}}}{1}} \right)^{ - \frac{1}{7}}} = {\left( {{x^{\frac{5}{2}}}{y^{\frac{7}{3}}}} \right)^{ - \frac{1}{7}}}\]

Ahora, aplicamos el exponente negativo exterior, lo que invierte la base, y luego multiplicamos los exponentes.

\[{\left( {\frac{{{x^2}{y^{ - \frac{2}{3}}}}}{{{x^{ - \frac{1}{2}}}{y^{ - 3}}}}} \right)^{ - \frac{1}{7}}} = \frac{1}{{{{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}{y^{\frac{7}{3}}}} \right)}^{\frac{1}{7}}}}} = \frac{1}{{{x^{\frac{5}{{14}}}}{y^{\frac{1}{3}}}}}\]

Finalizaremos esta sección con una advertencia sobre un error común. Ten cuidado de no confundir los exponentes negativos con los exponentes fraccionarios.

En otras palabras,

\[{b^{ - n}} = \frac{1}{{{b^n}}}\]

y NO

\[{b^{ - n}} \ne {b^{\frac{1}{n}}}\]

Este es un error muy común cuando los estudiantes aprenden por primera vez las reglas de los exponentes.

Ejercicios Resueltos de Exponentes Racionales

A continuación, se presentan una serie de problemas resueltos paso a paso para evaluar y simplificar expresiones con exponentes racionales.

Evaluación de Expresiones

Solución

Un exponente de \(\frac{1}{2}\) es simplemente otra forma de escribir una raíz cuadrada.

\[{36^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {36} = 6\]

Solución

Un exponente de \(\frac{1}{3}\) representa una raíz cúbica. Estamos buscando un número que, multiplicado por sí mismo tres veces, dé como resultado -125.

\[{\left( { - 125} \right)^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{ - 125}} = - 5\]

Esto es porque \({\left( { - 5} \right)^3} = \left( { - 5} \right)\left( { - 5} \right)\left( { - 5} \right) = - 125\).

Solución

Es crucial notar que el signo negativo no está dentro de un paréntesis, por lo que no se ve afectado por el exponente. Primero resolvemos la parte exponencial.

Para \({16^{\frac{3}{2}}}\), primero calculamos la raíz (el denominador del exponente) y luego la potencia (el numerador).

\[{16^{\frac{3}{2}}} = {\left( {{{16}^{\frac{1}{2}}}} \right)^3} = {\left( {\sqrt {16} } \right)^3} = {\left( 4 \right)^3} = 64\]

Ahora, aplicamos el signo negativo que estaba al principio.

\[ - {16^{\frac{3}{2}}} = - 64\]

Solución

El exponente negativo indica que debemos invertir la base. Luego, procedemos como en el ejercicio anterior: primero la raíz, después la potencia.

\[{27^{ - \frac{5}{3}}} = \frac{1}{{{{27}^{\frac{5}{3}}}}} = \frac{1}{{{{\left( {{{27}^{\frac{1}{3}}}} \right)}^5}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27}}} \right)}^5}}} = \frac{1}{{{{\left( 3 \right)}^5}}} = \frac{1}{{243}}\]

Solución

Aplicamos el exponente \(\frac{1}{2}\) (raíz cuadrada) tanto al numerador como al denominador.

\[{\left( {\frac{9}{4}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \frac{{{9^{\frac{1}{2}}}}}{{{4^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 4 }} = \frac{3}{2}\]

Solución

El exponente negativo nos dice que debemos invertir la fracción. Después, aplicamos la raíz cúbica y finalmente elevamos al cuadrado.

\[{\left( {\frac{8}{{343}}} \right)^{ - \frac{2}{3}}} = {\left( {\frac{{343}}{8}} \right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{{{{343}^{\frac{2}{3}}}}}{{{8^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{{{{\left( {{{343}^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{8^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( 7 \right)}^2}}}{{{{\left( 2 \right)}^2}}} = \frac{{49}}{4}\]

Simplificación de Expresiones

Solución

Usamos la propiedad de "potencia de una potencia" (\({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{mn}}\)), distribuyendo el exponente exterior a cada factor dentro del paréntesis.

\[{\left( {{a^3}\,{b^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {\left( {{a^3}} \right)^{\frac{2}{3}}}{\left( {{b^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {a^{3\left( {\frac{2}{3}} \right)}}{b^{ - \frac{1}{4}\left( {\frac{2}{3}} \right)}} = {a^2}{b^{ - \frac{2}{12}}} = {a^2}{b^{ - \frac{1}{6}}}\]

Para escribir la respuesta con exponentes positivos, movemos el término con exponente negativo al denominador.

\[{a^2}{b^{ - \frac{1}{6}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^{\frac{1}{6}}}}}\]

Solución

Cuando multiplicamos términos con la misma base, sumamos sus exponentes.

\[{x^{\frac{1}{4}}}{x^{ - \frac{1}{5}}} = {x^{\frac{1}{4} + \left( { - \frac{1}{5}} \right)}} = {x^{\frac{1}{4} - \frac{1}{5}}}\]

Para restar las fracciones, encontramos un común denominador (20).

\[{x^{\frac{5}{{20}} - \frac{4}{{20}}}} = {x^{\frac{1}{{20}}}}\]

Solución

Primero, simplificamos la expresión dentro del paréntesis. Para dividir términos con la misma base, restamos los exponentes (exponente del numerador menos exponente del denominador).

Para la base \(q\): \(3 - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{{10}}{3}\)

Para la base \(p\): \( - \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{3}{2}\)

La expresión se convierte en:

\[{\left( {{q^{\frac{{10}}{3}}}{p^{ - \frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{3}{7}}}\]

Ahora, distribuimos el exponente exterior \(\frac{3}{7}\):

\[{q^{\frac{{10}}{3}\left( {\frac{3}{7}} \right)}}{p^{ - \frac{3}{2}\left( {\frac{3}{7}} \right)}} = {q^{\frac{{10}}{7}}}{p^{ - \frac{9}{{14}}}}\]

Finalmente, escribimos con exponentes positivos:

\[\frac{{{q^{\frac{{10}}{7}}}}}{{{p^{\frac{9}{{14}}}}}}\]

Solución

Primero, simplificamos dentro del paréntesis restando exponentes.

Para la base \(m\): \(\frac{1}{2} - \left( { - \frac{7}{4}} \right) = \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}\)

Para la base \(n\): \( - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{3}{3} = - 1\)

La expresión se convierte en:

\[{\left( {{m^{\frac{9}{4}}}{n^{ - 1}}} \right)^{ - \frac{1}{6}}}\]

Distribuimos el exponente exterior:

\[{m^{\frac{9}{4}\left( { - \frac{1}{6}} \right)}}{n^{ - 1\left( { - \frac{1}{6}} \right)}} = {m^{ - \frac{9}{{24}}}}{n^{\frac{1}{6}}} = {m^{ - \frac{3}{8}}}{n^{\frac{1}{6}}}\]

Escribimos con exponentes positivos:

\[\frac{{{n^{\frac{1}{6}}}}}{{{m^{\frac{3}{8}}}}}\]

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