Combinaciones - Ejercicios Resueltos

Bienvenido a esta guía definitiva sobre las combinaciones en probabilidad y estadística. 🧭 Si alguna vez te has preguntado cuáles son las probabilidades de ganar la lotería, cómo un casino calcula las "odds" en el póker, o simplemente cómo formar un comité de trabajo sin volverte loco, estás en el lugar correcto. El mundo está lleno de escenarios donde necesitamos agrupar elementos, y la matemática detrás de esto es a la vez elegante y poderosa.

¿Qué son exactamente las Combinaciones en Probabilidad y Estadística?

Empecemos por el principio. En matemáticas, y específicamente en la rama de la combinatoria, nos interesa estudiar las diferentes formas en que podemos seleccionar o agrupar elementos de un conjunto.

La clave para entender las combinaciones se resume en una sola frase: el orden NO importa.

Imagina que tienes tres frutas en un bol: una Manzana (M), un Plátano (P) y una Naranja (N). Si quieres elegir dos frutas para tu desayuno, ¿de cuántas formas puedes hacerlo?

• Puedes elegir Manzana y Plátano {M, P}.
• Puedes elegir Manzana y Naranja {M, N}.
• Puedes elegir Plátano y Naranja {P, N}.

Y eso es todo. Hay 3 formas. Fíjate que elegir "Manzana y Plátano" es exactamente lo mismo que elegir "Plátano y Manzana". Como el orden no nos importa (ambas frutas terminan en tu plato), no contamos {M, P} y {P, M} como dos cosas separadas. Son una sola combinación.

Ahora sí, vamos con una definición más formal.

Las combinaciones responden a la pregunta: "¿Cuántos grupos diferentes puedo formar?"

La Diferencia Clave: Combinaciones vs. Permutaciones

Este es el punto que más confunde a los estudiantes, y es vital para el SEO y para tu comprensión. La diferencia entre combinaciones y permutaciones es la piedra angular de la combinatoria.

Ya dijimos que en las Combinaciones, el orden NO importa.

En las Permutaciones, el orden SÍ importa.

Usemos nuestro ejemplo de las frutas {M, P, N}.

Combinaciones (grupos de 2):

• {M, P}
• {M, N}
• {P, N}

Total: 3 combinaciones.

Permutaciones (listas ordenadas de 2):

• (M, P) - Manzana primero, Plátano después.
• (P, M) - Plátano primero, Manzana después.
• (M, N) - Manzana primero, Naranja después.
• (N, M) - Naranja primero, Manzana después.
• (P, N) - Plátano primero, Naranja después.
• (N, P) - Naranja primero, Plátano después.

Total: 6 permutaciones.

¿Ves la diferencia? Cada combinación de 2 elementos genera 2 permutaciones ( (M, P) y (P, M) son la misma combinación pero permutaciones distintas). Si estuviéramos eligiendo grupos de 3, cada combinación generaría \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) permutaciones.

La Fórmula de las Combinaciones (Sin Repetición)

Cuando hablamos de combinaciones, generalmente nos referimos al caso más común: combinaciones sin repetición. Esto significa que una vez que eliges un elemento, no puedes volver a elegirlo. En nuestro ejemplo de frutas, una vez que tomas la Manzana, no puedes volver a tomarla.

La notación para las combinaciones es \( C(n, k) \) o, más comúnmente en el ámbito académico, \( \binom{n}{k} \). Se lee como "combinaciones de n en k", "de n en k", o "el número combinatorio n sobre k".

Donde:

• \(n\) es el número total de elementos en el conjunto.
• \(k\) es el número de elementos que queremos seleccionar en cada grupo.

Para calcularlo, primero necesitamos entender el concepto de factorial.

Ahora sí, estamos listos para el gran teorema.

¿Por qué funciona esta fórmula? (La Intuición)

Esta fórmula es pura elegancia matemática. Vamos a desglosarla:

1. Si el orden SÍ importara, usaríamos la fórmula de permutaciones: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \). Esto nos da todas las listas ordenadas posibles de tamaño \(k\).
2. Sabemos que para cada grupo (combinación) de \(k\) elementos, hay \(k!\) maneras de ordenarlos (permutarlos). Por ejemplo, el grupo {A, B, C} tiene \(3! = 6\) permutaciones: (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A).
3. Por lo tanto, la fórmula de permutaciones \(P(n, k)\) está "sobrecontando" nuestro resultado por un factor de \(k!\).
4. Para corregir esto y obtener solo los grupos (donde el orden no importa), simplemente dividimos el número de permutaciones por \(k!\).

\[ C(n, k) = \frac{P(n, k)}{k!} = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

¡Y ahí la tienes! No es magia, es lógica matemática. 🧠

Ejemplos Guiados de Combinaciones (Paso a Paso)

La teoría está muy bien, pero la maestría se alcanza con la práctica. Veamos cómo aplicar la fórmula.

Solución:

Primero, identificamos nuestros datos:

• El orden de elección no importa (un comité de {Ana, Beto, Carla} es el mismo que {Beto, Carla, Ana}). Por lo tanto, usamos combinaciones.
• Número total de elementos: \(n = 10\) (estudiantes).
• Tamaño del grupo a seleccionar: \(k = 3\) (miembros del comité).

Aplicamos la fórmula \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \):

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \]

Ahora, expandimos los factoriales. Un truco es expandir el factorial más grande (10!) solo hasta el factorial más grande del denominador (7!) para simplificar:

\[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times (7!)}{(3 \times 2 \times 1) \times (7!)} \]

Cancelamos el \(7!\) de arriba y abajo:

\[ \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} \]
\[ C(10, 3) = 120 \]

Respuesta: Se pueden formar 120 comités diferentes.

Solución:

Identificamos los datos:

• El orden en que recibes las cartas no importa (una mano de {As, Rey, Dama, Jota, 10} es la misma sin importar en qué orden te las dieron). Usamos combinaciones.
• Total de elementos: \(n = 52\) (cartas).
• Tamaño del grupo: \(k = 5\) (cartas en la mano).

Aplicamos la fórmula \( C(n, k) \):

\[ C(52, 5) = \frac{52!}{5!(52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]

Expandimos el 52! hasta 47! para simplificar:

\[ \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \times (47!)}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (47!)} \]

Cancelamos el \(47!\):

\[ \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Simplificamos el denominador ( \(5! = 120\) ) y multiplicamos el numerador:

\[ \frac{311,875,200}{120} \]
\[ C(52, 5) = 2,598,960 \]

Respuesta: Hay 2,598,960 manos de póker únicas posibles. ¡Por eso es tan difícil conseguir una Escalera Real! 😮

¿Cómo se Usan las Combinaciones para Calcular Probabilidades?

Aquí es donde unimos los dos conceptos. Las combinaciones son la herramienta fundamental para calcular probabilidades en escenarios donde tenemos un número finito de resultados equiprobables (es decir, cada resultado tiene la misma posibilidad de ocurrir).

La base de esto es la Regla de Laplace.

En muchísimos problemas, tanto los "Casos Favorables" como los "Casos Totales" se calculan usando... ¡adivinaste!, combinaciones.

• Casos Totales: El número total de formas en que algo puede suceder. A menudo es un \(C(n, k)\) general. (Ej: Todas las manos de póker posibles, \(C(52, 5)\)).
• Casos Favorables: El número de formas en que puede suceder el evento específico que nos interesa. (Ej: Todas las manos que son "Full House").

Ejemplos de Probabilidad Usando Combinaciones

Pongamos la Regla de Laplace y las combinaciones a trabajar juntas.

Solución:

Usaremos la fórmula \( P(Ganar) = \frac{\text{Casos Favorables}}{\text{Casos Totales}} \).

1. Calcular los Casos Totales:

Es el número total de boletos únicos posibles. Como el orden de los números no importa, usamos combinaciones.

• \(n = 49\) (números totales)
• \(k = 6\) (números a elegir)

\[ \text{Casos Totales} = C(49, 6) = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} \]
\[ \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13,983,816 \]

Hay casi 14 millones de combinaciones posibles. 🤯

2. Calcular los Casos Favorables:

Solo hay un boleto ganador, que es el que tiene los 6 números del sorteo. (O, en este caso, el boleto que tú compraste).

\[ \text{Casos Favorables} = 1 \]

3. Calcular la Probabilidad:

\[ P(Ganar) = \frac{1}{13,983,816} \approx 0.0000000715 \]

Respuesta: La probabilidad es de 1 en 13,983,816. Extremadamente baja.

Solución:

Este problema es más complejo y perfecto para mostrar el poder de las combinaciones.

1. Calcular los Casos Totales:

Primero, ¿de cuántas formas podemos sacar 4 canicas de la urna? No importa el orden.

• Total de canicas: \(7 + 3 = 10\)
• Canicas a sacar: \(k = 4\)

\[ \text{Casos Totales} = C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
\[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Hay 210 grupos posibles de 4 canicas que podemos sacar.

2. Calcular los Casos Favorables (Principio de Multiplicación):

Queremos que ocurran dos cosas a la vez: sacar 2 rojas Y sacar 2 azules. Usamos combinaciones para cada evento y luego multiplicamos los resultados (Principio Fundamental del Conteo).

• • Formas de sacar 2 rojas (de las 7 disponibles):
    \( C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \)

• Formas de sacar 2 azules (de las 3 disponibles):
  \( C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \)

El número total de casos favorables es el producto de ambos:

\[ \text{Casos Favorables} = C(7, 2) \times C(3, 2) = 21 \times 3 = 63 \]

3. Calcular la Probabilidad:

\[ P(\text{2 Rojas y 2 Azules}) = \frac{\text{Casos Favorables}}{\text{Casos Totales}} = \frac{63}{210} \]

Simplificando la fracción (ambos son divisibles por 21 y por 7):

\[ \frac{63 \div 21}{210 \div 21} = \frac{3}{10} \]

Respuesta: La probabilidad es \( \frac{3}{10} \) o 30%.

Un Caso Especial: Combinaciones con Repetición

Hasta ahora, hemos asumido que cada elemento solo se puede elegir una vez (sin repetición). ¿Pero qué pasa si podemos elegir el mismo elemento varias veces?

Imagina que vas a una heladería que tiene 5 sabores ( \(n=5\) ). Quieres pedir un cono con 3 bolas ( \(k=3\) ), y puedes pedir sabores repetidos. Podrías pedir {Vainilla, Vainilla, Fresa} o {Chocolate, Chocolate, Chocolate}.

Aquí, el orden sigue sin importar (un cono de {Vainilla, Fresa} es el mismo que {Fresa, Vainilla} si las bolas son del mismo tamaño), pero la repetición está permitida.

Esta fórmula también se conoce como el "método de estrellas y separadores" (stars and bars), pero su aplicación es directa.

Solución:

Usamos la fórmula de combinaciones con repetición \( CR(n, k) = C(n+k-1, k) \).

• \(n = 5\) (sabores)
• \(k = 3\) (bolas)

\[ CR(5, 3) = C(5+3-1, 3) = C(7, 3) \]

Ahora, simplemente resolvemos esta nueva combinación (sin repetición):

\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \]
\[ \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35 \]

Respuesta: Hay 35 formas diferentes de pedir tu cono de 3 bolas.

Herramientas y Conceptos Avanzados

Las combinaciones no viven aisladas; son la base de conceptos matemáticos más profundos que merecen ser mencionados.

El Triángulo de Pascal y el Binomio de Newton

Seguramente has visto este famoso triángulo de números:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...

¿Qué tiene que ver esto con las combinaciones? El Triángulo de Pascal ES el mapa de los números combinatorios.

Si llamas "Fila n" a la fila que empieza por 1, n... (empezando desde n=0), el k-ésimo número (empezando desde k=0) en esa fila es exactamente \( \binom{n}{k} \).

• Fila 4: 1 4 6 4 1
• \( \binom{4}{0} = 1 \)
• \( \binom{4}{1} = 4 \)
• \( \binom{4}{2} = 6 \) (Compruébalo: \( \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6 \) )
• \( \binom{4}{3} = 4 \)
• \( \binom{4}{4} = 1 \)

Esta estructura no es una coincidencia. Está íntimamente ligada al Teorema del Binomio, que nos dice cómo expandir una potencia como \( (a+b)^n \).

Las combinaciones, \( \binom{n}{k} \), actúan como los coeficientes (llamados coeficientes binomiales) que nos dicen cuántas formas hay de elegir \(k\) veces el término \(b\) (y por ende \(n-k\) veces el término \(a\)) al expandir el producto.