Derivadas de Funciones Logarítmicas

A pesar de que las derivadas logarítmicas muchas veces está relacionada con las derivadas exponenciales es importante saber diferenciar los tipos de derivadas y no confundirlas. Para ello es necesario definir el concepto y definición de un logaritmo.

Tipos de Logaritmos

Los logaritmos pueden estar en diferentes valores de base, sin embargo los matemáticos solamente han elegido dos tipos, los logaritmos en base 10 y los logaritmos naturales , vamos a definir brevemente cada uno de los logaritmos para entenderlo mejor, pero antes vamos a observar la gráfica de la función e^x y la función ln x, dichas funciones son crecientes y continuas en sus respectivos dominios, tal como se ilustra en la imagen.

Logaritmos en base 10:

Los logaritmos en base 10 son logaritmos también llamados logaritmos vulgares o logaritmos decimales, están representados por el símbolo log y por lo general no se le coloca la base, pues se entiende que está en base diez (10).

Logaritmos naturales:

Estos logaritmos están representados simbólicamente como ln y su base es el número e cuyo valor irracional es de 2.718281828...

Propiedades de los Logaritmos

Sin importar el valor de las bases, los logaritmos tienen las mismas propiedades y nos servirán de mucha ayuda ya sea que estemos resolviendo ecuaciones logarítmicas, derivadas o integrales.

1.  ${\displaystyle \log A+\log B=\log AB}$

2.  ${\displaystyle \log A-\log B=\log \frac{A}{B}}$

3.  ${\displaystyle A\log B=\log B^A}$

Fórmulas de derivadas de logaritmos

Ahora veamos las fórmulas que estaremos utilizando en este post, las que nos servirán para las derivadas logarítmicas

${\displaystyle \frac{d}{dx}\ln u=\frac{\frac{du}{dx}}{u}}$

Nota: Recordar el u es el argumento de la función logarítmica.

Derivadas Logarítmicas Resueltas

${\displaystyle y=\ln 5x}$

Solución:

En este primer ejemplo, observamos que nuestro argumento es 5x, es decir que u = 5x, si aplicamos la fórmula de la derivada de un logaritmo natural. Entonces tenemos:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{d}{dx}\left(5x\right)}{5x}}$

Como resultado de la derivada en la parte del numerador, tenemos.

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{5}{5x}}$

Simplificando . . .

Resultado:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{x}}$

${\displaystyle y=\ln (8x+3)}$

Solución:

En este ejemplo el argumento ahora pasa estar dentro del paréntesis, es decir u = 8x +3, por lo que aplicando nuestra fórmula de derivación, obtendremos.

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{d}{dx}(8x+3)}{8x+3}}$

Derivando en la parte del numerador, nos daría el resultado que deseamos.

Resultado:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{8}{8x+3}}$

${\displaystyle y=\ln (3x^2-3x+7)}$

Solución:

Al observar nuestra función y su argumento, nos percatamos que u = 3x² - 3x +7 , entonces al aplicar la fórmula de derivada, obtenemos.

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{d(3x^2-3x+7)}{dx}}{3x^2-3x+7}}$

Derivamos en la parte del numerador y esto nos da, el resultado

Resultado:

${\displaystyle y=\frac{6x-3}{3x^2-3x+7}}$

${\displaystyle y=\ln \sqrt{9x}}$

Solución:

Al analizar nuestro argumento es u = √9x , de tal forma que al aplicar nuestra fórmula de derivada, obtenemos.

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{d}{dx}\sqrt{9x}}{\sqrt{9x}}}$

Pasamos a la raíz cuadrada a su forma de potencia, es decir:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{d}{dx}{\left(9x\right)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{9x}}}$

Derivamos como una potencia y esto nos daría:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{1}{2}{\left(9x\right)}^{\frac{1}{2}-1}\frac{d}{dx}\left(9x\right)}{\sqrt{9x}}}$

Resolviendo...

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{1}{2}{\left(9x\right)}^{-\frac{1}{2}}\left(9\right)}{\sqrt{9x}}}$

Ordenando la parte del numerador.

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{9}{2\sqrt{9x}}}{\sqrt{9x}}}$

Aplicando la ley de la torta, el sandwich o la herradura, como le llamen, obtenemos:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{9}{2\sqrt{9x}\sqrt{9x}}}$

Al multiplicar las dos raíces nos daría las raíces al cuadrado, lo que lo simplificaría a 1 , de tal forma:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{9}{2{\left(\sqrt{9x}\right)}^2}=\frac{9}{2\left(9x\right)}}$

Simplificando aún más, obtenemos nuestro resultado.

Resultado:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{2x}}$

? Otra forma de Solución

Como sabemos que

${\displaystyle y=\ln \sqrt{9x}=\ln {\left(9x\right)}^{\frac{1}{2}}}$

Si aplicamos la 3ra propiedad de los logaritmos, obtenemos lo siguiente:

${\displaystyle y=\frac{1}{2}\ln \left(9x\right)}$

Al derivar esta función, nos percatamos que 1/2 es constante, por lo tanto lo ponemos detrás de la función a derivar, de esta forma:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{2}\left[\frac{\frac{d}{dx}9x}{9x}\right]}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{2}\left[\frac{9}{9x}\right]}$

Derivando . . .

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2x}}$

${\displaystyle y=\ln \left(\frac{1}{\sqrt[3]{6x^2}}\right)}$

Solución:

Para este ejemplo observamos que nuestro argumento es:

${\displaystyle u=\frac{1}{\sqrt[3]{6x^2}}}$

Por lo que al aplicar nuestra fórmula de derivada, obtendremos algo similar a esto:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{6x^2}}\right)}{\frac{1}{\sqrt[3]{6x^2}}}}$

Pasando a nuestro numerador en forma de potencia, obtenemos lo siguiente:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{\frac{d}{dx}{\left(6x^2\right)}^{-\frac{1}{3}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{6x^2}}}}$

Aplicamos la fórmula de derivada para una potencia, y obtenemos:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{-\frac{1}{3}{\left(6x^2\right)}^{-\frac{1}{3}-1}\frac{d}{dx}\left(6x^2\right)}{\frac{1}{\sqrt[3]{6x^2}}}}$

Luego, hacemos . . .

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{-\frac{1}{3}{\left(6x^2\right)}^{-\frac{4}{3}}\left(12x\right)}{\frac{1}{\sqrt[3]{6x^2}}}}$

Aplicamos la identidad recíproca para ordenar la parte del numerador, de esta forma:

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{-\frac{12x}{3{\left(6x^2\right)}^{\frac{4}{3}}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{6x^2}}}}$

Aplicando la división de cocientes (ley de la herradura, ley del sandwich, ley de la torta, etc. )

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{-12x\sqrt[3]{6x^2}}{3{\left(6x^2\right)}^{\frac{4}{3}}}}$

Expresando la raíz del numerador en su forma de potencia, obtenemos.

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{-12x{\left(6x^2\right)}^{\frac{1}{3}}}{3{\left(6x^2\right)}^{\frac{4}{3}}}}$

Recordando la ley de las potencias, podemos restar los exponentes que tienen la misma base.

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{12x}{3}{\left(6x^2\right)}^{\frac{1}{3}-\frac{4}{3}}}$

Esto nos daría:

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{12x}{3}{\left(6x^2\right)}^{-\frac{3}{3}}}$

Qué es igual a :

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{12x}{3}{\left(6x^2\right)}^{-1}=-\frac{12x}{3\left(6x^2\right)}}$

Simplificando esta parte . . .

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{12x}{18x^2}}$

Y después de simplificar aún más nuestro resultado, sería:

Resultado:

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{2}{3x}}$