Derivadas Logarítmicas

A pesar de que las derivadas logarítmicas muchas veces está relacionada con las derivadas exponenciales es importante saber diferenciar los tipos de derivadas y no confundirlas. Para ello es necesario definir el concepto y definición de un logaritmo.

El logaritmo de un número es el exponente al que debe elevarse la base para obtener dicho número n

Tipos de Logaritmos

Los logaritmos pueden estar en diferentes valores de base, sin embargo los matemáticos solamente han elegido dos tipos, los logaritmos en base 10 y los logaritmos naturales , vamos a definir brevemente cada uno de los logaritmos para entenderlo mejor, pero antes vamos a observar la gráfica de la función e^x y la función ln x, dichas funciones son crecientes y continuas en sus respectivos dominios, tal como se ilustra en la imagen.

Gráfica de la Función exponencial y logarítmica

Logaritmos en base 10:

Los logaritmos en base 10 son logaritmos también llamados logaritmos vulgares o logaritmos decimales, están representados por el símbolo log y por lo general no se le coloca la base, pues se entiende que está en base diez (10).

Logaritmos naturales:

Estos logaritmos están representados simbólicamente como ln y su base es el número cuyo valor irracional es de 2.718281828…

Propiedades de los Logaritmos

Sin importar el valor de las bases, los logaritmos tienen las mismas propiedades y nos servirán de mucha ayuda ya sea que estemos resolviendo ecuaciones logarítmicas, derivadas o integrales.

1.  \displaystyle \log A+\log B=\log AB

2.  \displaystyle \log A-\log B=\log \frac{A}{B}

3.  \displaystyle A\log B=\log {{B}^{A}}

Fórmulas de derivadas de logaritmos

Ahora veamos las fórmulas que estaremos utilizando en este post, las que nos servirán para las derivadas logarítmicas

\displaystyle \frac{d}{dx}\ln u=\frac{\frac{du}{dx}}{u}

Nota: Recordar el es el argumento de la función logarítmica.

Derivadas Logarítmicas Resueltas

Ejemplo 1. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y=\ln 5x

Solución:

En este primer ejemplo, observamos que nuestro argumento es 5x, es decir que u = 5x, si aplicamos la fórmula de la derivada de un logaritmo natural. Entonces tenemos:

\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\left( 5x \right)}{5x}

Como resultado de la derivada en la parte del numerador, tenemos.

\displaystyle y'=\frac{5}{5x}

Simplificando . . .

▶ Resultado:

\displaystyle y'=\frac{1}{x}

Ejemplo 2. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y=\ln \left( 8x+3 \right)

Solución:

En este ejemplo el argumento ahora pasa estar dentro del paréntesis, es decir u = 8x +3, por lo que aplicando nuestra fórmula de derivación, obtendremos.

\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\left( 8x+3 \right)}{8x+3}

Derivando en la parte del numerador, nos daría el resultado que deseamos.

▶ Resultado:

\displaystyle y'=\frac{8}{8x+3}

Ejemplo 3. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y=\ln \left( 3{{x}^{2}}-3x+7 \right)

Solución:

Al observar nuestra función y su argumento, nos percatamos que u = 3x² – 3x +7 , entonces al aplicar la fórmula de derivada, obtenemos.

\displaystyle y'=\frac{\frac{d\left( 3{{x}^{2}}-3x+7 \right)}{dx}}{3{{x}^{2}}-3x+7}

Derivamos en la parte del numerador y esto nos da, el resultado

▶ Resultado:

\displaystyle y=\frac{6x-3}{3{{x}^{2}}-3x+7}

Ejemplo 4. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y=\ln \sqrt{9x}

Solución:

Al analizar nuestro argumento es u = √9x , de tal forma que al aplicar nuestra fórmula de derivada, obtenemos.

\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\sqrt{9x}}{\sqrt{9x}}

Pasamos a la raíz cuadrada a su forma de potencia, es decir:

\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}{{\left( 9x \right)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{9x}}

Derivamos como una potencia y esto nos daría:

\displaystyle y'=\frac{\frac{1}{2}{{\left( 9x \right)}^{\frac{1}{2}-1}}\frac{d}{dx}\left( 9x \right)}{\sqrt{9x}}

Resolviendo…

\displaystyle y'=\frac{\frac{1}{2}{{\left( 9x \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left( 9 \right)}{\sqrt{9x}}

Ordenando la parte del numerador.

\displaystyle y'=\frac{\frac{9}{2\sqrt{9x}}}{\sqrt{9x}}

Aplicando la ley de la torta, el sandwich o la herradura, como le llamen, obtenemos:

\displaystyle y'=\frac{9}{2\sqrt{9x}\sqrt{9x}}

Al multiplicar las dos raíces nos daría las raíces al cuadrado, lo que lo simplificaría a 1 , de tal forma:

\displaystyle y'=\frac{9}{2{{\left( \sqrt{9x} \right)}^{2}}}=\frac{9}{2\left( 9x \right)}

Simplificando aún más, obtenemos nuestro resultado.

▶ Resultado:

\displaystyle y'=\frac{1}{2x}

🔥 Otra forma de Solución

Como sabemos que

\displaystyle y=\ln \sqrt{9x}=\ln {{\left( 9x \right)}^{\frac{1}{2}}}

Si aplicamos la 3ra propiedad de los logaritmos, obtenemos lo siguiente:

\displaystyle y=\frac{1}{2}\ln \left( 9x \right)

Al derivar esta función, nos percatamos que 1/2 es constante, por lo tanto lo ponemos detrás de la función a derivar, de esta forma:

\displaystyle {y}'=\frac{1}{2}\left[ \frac{\frac{d}{dx}9x}{9x} \right]

\displaystyle {y}'=\frac{1}{2}\left[ \frac{9}{9x} \right]

Derivando . . .

\displaystyle y'=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{1}{2x}

Ejemplo 5. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y=\ln \left( \frac{1}{\sqrt[3]{6{{x}^{2}}}} \right)

Solución:

Para este ejemplo observamos que nuestro argumento es:

\displaystyle u=\frac{1}{\sqrt[3]{6{{x}^{2}}}}

Por lo que al aplicar nuestra fórmula de derivada, obtendremos algo similar a esto:

\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{\sqrt[3]{6{{x}^{2}}}} \right)}{\frac{1}{\sqrt[3]{6{{x}^{2}}}}}

Pasando a nuestro numerador en forma de potencia, obtenemos lo siguiente:

\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{3}}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{6{{x}^{2}}}}}

Aplicamos la fórmula de derivada para una potencia, y obtenemos:

\displaystyle y'=\frac{-\frac{1}{3}{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{3}-1}}\frac{d}{dx}\left( 6{{x}^{2}} \right)}{\frac{1}{\sqrt[3]{6{{x}^{2}}}}}

Luego, hacemos . . .

\displaystyle y'=\frac{-\frac{1}{3}{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{4}{3}}}\left( 12x \right)}{\frac{1}{\sqrt[3]{6{{x}^{2}}}}}

Aplicamos la identidad recíproca para ordenar la parte del numerador, de esta forma:

\displaystyle y'=\frac{-\frac{12x}{3{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{\frac{4}{3}}}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{6{{x}^{2}}}}}

Aplicando la división de cocientes (ley de la herradura, ley del sandwich, ley de la torta, etc. )

\displaystyle y'=\frac{-12x\sqrt[3]{6{{x}^{2}}}}{3{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{\frac{4}{3}}}}

Expresando la raíz del numerador en su forma de potencia, obtenemos.

\displaystyle y'=\frac{-12x{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}{3{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{\frac{4}{3}}}}

Recordando la ley de las potencias, podemos restar los exponentes que tienen la misma base.

\displaystyle y'=-\frac{12x}{3}{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{3}-\frac{4}{3}}}

Esto nos daría:

\displaystyle y'=-\frac{12x}{3}{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{3}{3}}}

Qué es igual a :

\displaystyle y'=-\frac{12x}{3}{{\left( 6{{x}^{2}} \right)}^{-1}}=-\frac{12x}{3\left( 6{{x}^{2}} \right)}

Simplificando esta parte . . .

\displaystyle y'=-\frac{12x}{18{{x}^{2}}}

Y después de simplificar aún más nuestro resultado, sería:

▶ Resultado:

\displaystyle y'=-\frac{2}{3x}