Heyyy!! En el artículo nuevo de hoy hablaremos sobre el cálculo diferencial, cuando se inicia el tema de derivadas y su interpretación geométrica, escucharás el tema sobre la “Regla de los Cuatro Pasos” que consiste en encontrar la derivada de cualquier función a partir de su definición 😎
Contenidos
Introducción a la Derivada por Definición
Al principio puede ser una tarea muy tediosa, pero es esencial para poder comprender el origen de la derivada de cualquier función, seguramente también te estarás preguntando ¿Por qué no solamente utilizar las fórmulas?, es correcto; pero sin la regla de los cuatro pasos no habría derivada alguna, pues todas proceden de ahí, es por eso que se necesita comprender al menos el concepto y de ahí realizar derivadas para poder practicar, para ello empezaremos conociendo el problema fundamental.
La derivada tiene su origen en la física y en las matemáticas, para la física de Newton era importante conocer la velocidad instantánea de cualquier objeto, pues era sumamente complicado en esos tiempos encontrar ese concepto de velocidad, y por otro lado se encontraban los matemáticos queriendo entender el concepto que los griegos ya habían tenido en el siglo III a.c, que se fundamentaba en lo mismo, y era saber el como una recta secante se podría convertir en una recta tangente moviendo solo un punto.
A partir de esas dudas se concluyó lo siguiente:
$\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
No es difícil de interpretar, y de aquí surge todo, observa:
- Sumamos el incremento (paso 1)
$\displaystyle f(x+h)$
- Restamos la función original (paso 2)
$\displaystyle -f(x)$
- Dividimos entre el incremento (paso 3)
$\displaystyle h$
- Evaluamos el límite cuando se tiende a cero (paso 4)
$\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,$
En otros casos, también puedes ver la derivada usando incrementos.. Pero es lo mismo, exactamente lo mismo.
$\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
Pero para entenderlo mejor, veamos con algunos ejemplos.
Regla de los 4 pasos – Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1. Resuelva la siguiente derivada haciendo uso de la regla de los 4 pasos
$\displaystyle y=5{{x}^{2}}$
Solución:
Primer paso (incrementamos) ¡¡OJO!! es en ambos lados
$\displaystyle y+\Delta y=5{{(x+\Delta x)}^{2}}$
Segundo paso (restamos la función original)
$\displaystyle y+\Delta y-y=5{{(x+\Delta x)}^{2}}-5{{x}^{2}}$
Podemos seguir haciendo el otro paso, pero no tendría caso si lo hacemos ya que debemos dejar clara la expresión que tenemos hasta ahora, y es momento para desarrollar el binomio al cuadrado, así que:
$\displaystyle \Delta y=5({{x}^{2}}+2x\Delta x+\Delta {{x}^{2}})-5{{x}^{2}}$
Propiedad distributiva
$\displaystyle \Delta y=5{{x}^{2}}+10x\Delta x+5\Delta {{x}^{2}}-5{{x}^{2}}$
$\displaystyle \Delta y=10x\Delta x+5\Delta {{x}^{2}}$
-Tercer paso (dividimos entre delta de X)
$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{10x\Delta x+5\Delta {{x}^{2}}}{\Delta x}$
$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=10x+5\Delta x$
Cuarto paso (evaluamos el límite)
$\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 10x+5\Delta x \right)$
Resultado:
$\displaystyle y’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=10x$
Por lo que la derivada es 10x. ¡¡Fácil!!
Lo hagamos ahora un poco más rápido con otro ejemplo
Ejemplo 2. Resuelva la siguiente derivada haciendo uso de la regla de los 4 pasos
$\displaystyle y=\frac{3x+2}{2x-1}$
Solución
- Anotamos todos los pasos, pero iremos resolviendo paso a paso:
$\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{3(x+\Delta x)+2}{2x+2\Delta x-1}-\frac{3x+2}{2x-1}}{\Delta x}$
$\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{3x+3\Delta x+2}{2x+2\Delta x-1}-\frac{3x+2}{2x-1}}{\Delta x}$
$\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{(2x+1)(3x+3\Delta x+2)-(3x+2)(2x+2\Delta x-1)}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}}{\Delta x}$
Seguimos reduciendo.
Pero observa lo que nos ha quedado en el numerador:
$\displaystyle \frac{{(2x-1)(3x+3\Delta x+2)-(3x+2)(2x+2\Delta x-1)}}{{\left( {2x+2\Delta x-1} \right)\left( {2x-1} \right)}}$
$\displaystyle \frac{-7\Delta x}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}$
Ahora si lo colocamos en nuestro límite
$\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{-7\Delta x}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}}{\Delta x}$
Que es lo mismo escribirlo de la siguiente manera:
$\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-7\Delta x}{\Delta x\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}$
Simplificando
$\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-7}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}$
Evaluando el límite
$\displaystyle y’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-7}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}=-\frac{7}{{{(2x-1)}^{2}}}$
Por lo que la derivada es:
Resultado:
$\displaystyle y’=-\frac{7}{{{(2x-1)}^{2}}}$
Y que pasa si probamos con una raíz….
Ejemplo 3. Resuelva la siguiente derivada haciendo uso de la regla de los 4 pasos
$\displaystyle y=\sqrt{x+5}$
Solución:
Al poner los 4 pasos juntos, tenemos:
$\displaystyle y’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+\Delta x+5}-\sqrt{x+5}}{\Delta x}$
Tenemos que racionalizar, para poder simplificar el cálculo.
$\displaystyle y’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+\Delta x+5}-\sqrt{x+5}}{\Delta x}\cdot \frac{\sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5}}{\sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5}}$
De ahí tenemos:
$\displaystyle y’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \sqrt{x+\Delta x+5} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x+5} \right)}^{2}}}{\Delta x\left( \sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5} \right)}$
Luego…
$\displaystyle y’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\Delta x+5-x-5}{\Delta x\left( \sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5} \right)}$
Por lo que:
$\displaystyle y’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta x}{\Delta x\left( \sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5} \right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5}}$
Evaluamos el límite y eso nos da:
Resultado:
$\displaystyle y’=\frac{1}{2\sqrt{x+5}}$
Por lo que vendría a ser la derivada de la función original…
Si se observa no es en lo absoluto complicado, ahora es momento de practicar.
🟠 Resolver los siguientes ejercicios
Ahora es momento de practicar, acá abajo están algunos ejercicios con sus respectivas soluciones paso a paso. 😀
1.- $\displaystyle y=3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1$
2.- $\displaystyle y=\frac{3{{x}^{2}}+1}{2x}$
3.- $\displaystyle y=\sqrt{x-3}$
4.- $\displaystyle y=\sqrt{\frac{x+6}{x+1}}$
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Límites Trigonométricos Indeterminados - Ejercicios Resueltos 
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Que significa el triángulo diminuto,?
Una forma de simbolizar el incremento por un lado. Es Delta.
Y=-8x+4
Delta
delta, es el incremento también se puede utilizar la h
Así es, también se puede utilzar. Algunos libros manejan ambas versiones, pero la intención es la misma.
significa incremento
alguien me puede ayudar con esta y=-6xcuadrado+4x-2
Significa delta de x, que es lo mismo que “h”..
Ejemplo
F(x)=3x
*Con el triángulo* F(x)= 3( x+∆x )
*Con h* F(x)= 3(x+h)
Muchas gracias por mostrar los ejercicios resueltos, sin embargo hay un error de signos en el ejemplo 2 aunque el resultado esta bien.Es decir que el error solo estuvo al apuntar las operaciones antes de obtener el -7 delta x. 😀
Me da gusto que te haya servido Erika, y una disculpa por el signo, a veces el editor de ecuaciones se altera si se escribe rápido.
Saludos
Me podrías ayudar a resolver lo últimos q pusistes en los ejercicios a resolver porfa me urgen
como se resuelve un problema elevado al cubo por ejemplo: x3 (x elevado al cubo)
Fácil el primer término lo elevas al triple (3) + Tres que multiplica al primer termino elevado al cuadrado por el segundo termino + Tres que multiplica al primer termino por el segundo elevado al cuadrado + el segundo termino elevado al cubo.
(x+y)^3 = X^3 + 3x^2(y)+3xy^2+y^2
Así es Carlos, muchas gracias por tu comentario.
Pasame tu wats
(x3+3×2 delta de x+3x(delta de x)3)
Solo hre visto el primer ejemplo resuelto, (resultado 10x) ¿qué significa esta expresión? ¿Cómo la puedo interpretar?
Significa que la base está multiplicada 10 veces… O sea 10x
Me podría resolver Y=x^2-3x+1 me urge para orita
es =x-3
Cómo se resuelve f(x)= -2/x⁴
2x-3
Aqui le entiendo pero en el examen da miedo y se olvida
Alguien sabe como resolver y=csc^2x
Cómo sería su procedimiento de este con los 4 pasos
Y=3x
el resultado es a 1
1-3(x+Δx)
2-3x+3Δx
3-3x+3Δx/Δx
4- limite 3x
Δx–>0
R= 3x
wow todos aqui son unos genios, apenas entre ayer 12 de agosto a la escuela y la tarea que estoy haciendo de esto me revuelve mucho 🙁
pero espero volver en un tiempo cuando le entienda mejor a este tema y resolvere los que estan hasta abajo gracias <3
¿Por que en el ejemplo 2 la ecuación (2x-1) cuando multiplica a (3x + 3Δx + 2). se vuelve positivo?
Cómo sería derivar esto con los 4 pasos?
y= (x+1) (x+2)
y= (x+2)^2
y= x^2/2
cómo resuelvo 1/x elevado 3 por el método de los 4 pasos?
y 1/raíz cuadrada de x?,gracias
El ejemplo 2, al resolver en Symbolab me da como resultado, 3. ¿Se supone que el resultado debería ser el mismo por cualquier método?
No Azucena, ¿de donde sacas un valor de 3?
Cómo sería el de 1/√x ??
Creo que encontré una discrepancia que afecta el resultado en la derivada número 2, (3x+2)/(2x-1), dado a que en el paso de la multiplicacion de el numerador, al pasar “2x-1” a multiplicar a “3x+3☆x+2” ocurrió un cambio de signo de “-1” a “+1” cosa que no sé si fue un error gramático de tu parte, debido a esta confusión el resultado es erróneo.
Favor de resolver mí duda por medio de correo electrónico. Gracias u
Hola Emilio!
Totalmente de acuerdo, ya corregimos el detalle.
Podría subir las soluciones de los ejercicios por resolver??? 🥺
Estamos resolviendo aún Eimy!
Como resolver 5x con los 4 pasos
Hola buenas noches
Busco ayuda para resolver la derivada de la funcion
Utilizando la regla de los 4 pasos
Y=(a-bx) ³
Hola me podrás ayudar? s(t)=(t^3)((2/t)-(3/t^2))^2
Donde puedo conseguir 40 derivadas de cualquier tema? (Por incremento,Sucesivas,etc) las necesito para pasar mi materia:(
Necesito 5 problemas del tema calcular la derivada por el método de incremento resueltos, si alguien me puede ayudar😞
Y si tengo algo así, y=x^3
Me podrían decir la derivada con la regla de los 4 pasos de u=5/4+v^2
¿Me podrian ayudar con el ejercicio 4 porfavor? No se si resolver primero la raiz, o la fraccion, o como hacerlo.
como seria 3y=^2-2x+1
Me podrías ayudar a resolver lo de los ejercicios q pusiste al último
Alguien que me puede ayudar a resolver
(2+x)/(2-x)
Alguien me puede ayudar a resolver esto y=8x-5
la respuesta es: 8
Necesito ayuda con esta operación
Y=2x³-3x+9
Y si fuese 3x +2 sobre 5 ☹️
f(x)=+4/x^2+1 alguien podria ayudarme en esta, no le entiendo.
Alguien sabe como resolver
Y=2x²+4x
Y=3x-4x
Y=x²-4
Me puedes ayudar con esta por favor
Y=((18/50)-x^2)/x^2+4
me podrian yudar esta
g(z)=z2+z+1
Me podrían ayudar con esta. F(x)=4x²+5x.
x+3/2x-5 con la regla de los 4 pasos
Me da -12x
Alguien me puede ayudar con esto
Y=2×2+×+3
Delta
Alguien me puede ayudar con esto
3-11x<=(1)/(4)x+6