Heyyy!! En el artículo nuevo de hoy hablaremos sobre el cálculo diferencial, cuando se inicia el tema de derivadas y su interpretación geométrica, escucharás el tema sobre la “Regla de los Cuatro Pasos” que consiste en encontrar la derivada de cualquier función a partir de su definición 😎

Introducción a la Derivada por Definición

Al principio puede ser una tarea muy tediosa, pero es esencial para poder comprender el origen de la derivada de cualquier función, seguramente también te estarás preguntando ¿Por qué no solamente utilizar las fórmulas?, es correcto; pero sin la regla de los cuatro pasos no habría derivada alguna, pues todas proceden de ahí, es por eso que se necesita comprender al menos el concepto y de ahí realizar derivadas para poder practicar, para ello empezaremos conociendo el problema fundamental.

La derivada tiene su origen en la física y en las matemáticas, para la física de Newton era importante conocer la velocidad instantánea de cualquier objeto, pues era sumamente complicado en esos tiempos encontrar ese concepto de velocidad, y por otro lado se encontraban los matemáticos queriendo entender el concepto que los griegos ya habían tenido en el siglo III a.c, que se fundamentaba en lo mismo, y era saber el como una recta secante se podría convertir en una recta tangente moviendo solo un punto.

A partir de esas dudas se concluyó lo siguiente:

\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

No es difícil de interpretar, y de aquí surge todo, observa:

  • Sumamos el incremento (paso 1)

\displaystyle f(x+h)

  • Restamos la función original (paso 2)

\displaystyle -f(x)

  • Dividimos entre el incremento (paso 3)

\displaystyle h

  • Evaluamos el límite cuando se tiende a cero (paso 4)

\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,

En otros casos, también puedes ver la derivada usando incrementos.. Pero es lo mismo, exactamente lo mismo.

\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Pero para entenderlo mejor, veamos con algunos ejemplos.

Regla de los 4 pasos – Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1. Resuelva la siguiente derivada haciendo uso de la regla de los 4 pasos 

\displaystyle y=5{{x}^{2}}

Solución:

Primer paso (incrementamos) ¡¡OJO!! es en ambos lados

\displaystyle y+\Delta y=5{{(x+\Delta x)}^{2}}

Segundo paso (restamos la función original)

\displaystyle y+\Delta y-y=5{{(x+\Delta x)}^{2}}-5{{x}^{2}}

Podemos seguir haciendo el otro paso, pero no tendría caso si lo hacemos ya que debemos dejar clara la expresión que tenemos hasta ahora, y es momento para desarrollar el binomio al cuadrado, así que:

\displaystyle \Delta y=5({{x}^{2}}+2x\Delta x+\Delta {{x}^{2}})-5{{x}^{2}}

Propiedad distributiva

\displaystyle \Delta y=5{{x}^{2}}+10x\Delta x+5\Delta {{x}^{2}}-5{{x}^{2}}

\displaystyle \Delta y=10x\Delta x+5\Delta {{x}^{2}}

-Tercer paso (dividimos entre delta de X)

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{10x\Delta x+5\Delta {{x}^{2}}}{\Delta x}

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=10x+5\Delta x

Cuarto paso (evaluamos el límite)

\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 10x+5\Delta x \right)

▶ Resultado:

\displaystyle y'=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=10x

Por lo que la derivada es 10x. ¡¡Fácil!!

Lo hagamos ahora un poco más rápido con otro ejemplo

Ejemplo 2. Resuelva la siguiente derivada haciendo uso de la regla de los 4 pasos 

\displaystyle y=\frac{3x+2}{2x-1}

Solución

  • Anotamos todos los pasos, pero iremos resolviendo paso a paso:

\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{3(x+\Delta x)+2}{2x+2\Delta x-1}-\frac{3x+2}{2x-1}}{\Delta x}

\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{3x+3\Delta x+2}{2x+2\Delta x-1}-\frac{3x+2}{2x-1}}{\Delta x}

\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{(2x+1)(3x+3\Delta x+2)-(3x+2)(2x+2\Delta x-1)}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}}{\Delta x}

Seguimos reduciendo.

Pero observa lo que nos ha quedado en el numerador:

\displaystyle \frac{(2x+1)(3x+3\Delta x+2)-(3x+2)(2x+2\Delta x-1)}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}

\displaystyle \frac{\left( 6{{x}^{2}}+6x\Delta x+4x+3x+3\Delta x+2 \right)-\left( 6{{x}^{2}}+6x\Delta x-3x-4x-4\Delta x+2 \right)}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}

\displaystyle \frac{-7\Delta x}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}

Ahora si lo colocamos en nuestro límite

\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{-7\Delta x}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}}{\Delta x}

Que es lo mismo escribirlo de la siguiente manera:

\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-7\Delta x}{\Delta x\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}

Simplificando

\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-7}{\left( 2x+2\Delta x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}

Evaluando el límite

\displaystyle y'=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-7}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}=-\frac{7}{{{(2x-1)}^{2}}}

Por lo que la derivada es:

▶ Resultado:

\displaystyle y'=-\frac{7}{{{(2x-1)}^{2}}}

Y que pasa si probamos con una raíz….

Ejemplo 3. Resuelva la siguiente derivada haciendo uso de la regla de los 4 pasos 

\displaystyle y=\sqrt{x+5}

Solución:

Al poner los 4 pasos juntos, tenemos:

\displaystyle y'=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+\Delta x+5}-\sqrt{x+5}}{\Delta x}

Tenemos que racionalizar, para poder simplificar el cálculo.

\displaystyle y'=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+\Delta x+5}-\sqrt{x+5}}{\Delta x}\cdot \frac{\sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5}}{\sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5}}

De ahí tenemos:

\displaystyle y'=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \sqrt{x+\Delta x+5} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x+5} \right)}^{2}}}{\Delta x\left( \sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5} \right)}

Luego…

\displaystyle y'=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\Delta x+5-x-5}{\Delta x\left( \sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5} \right)}

Por lo que:

\displaystyle y'=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta x}{\Delta x\left( \sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5} \right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x+5}+\sqrt{x+5}}

Evaluamos el límite y eso nos da:

▶ Resultado:

\displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x+5}}

Por lo que vendría a ser la derivada de la función original…

Si se observa no es en lo absoluto complicado, ahora es momento de practicar.

Resolver los siguientes ejercicios.

1.- \displaystyle y=3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1

2.- \displaystyle y=\frac{3{{x}^{2}}+1}{2x}

3.- \displaystyle y=\sqrt{x-3}

4.- \displaystyle y=\sqrt{\frac{x+6}{x+1}}