resistividad1

Después de más de un mes sin publicar contenido en el blog, volvemos a colocarnos las pilas y bien recargadas para traer más ejemplos resueltos de ejercicios, y es ahora como vamos a iniciar hablando de un tema que sin duda es de vital importancia para quienes estudian las leyes eléctricas. 😀

Hoy tocaremos el tema de la resistividad, este tema se basa en el comportamiento de la resistencia de un material, ya que el flujo de carga que pasa a través de éste siempre se topará con una fuerza opuesta a que esta fluya de tal manera que la podemos relacionar como una fricción mecánica, a esta oposición la conocemos como resistencia. Sin embargo cada material tiene su propia resistencia.  😎

En la ley del ohm no nos importaba saber de donde obteníamos los valores para las resistencias, y en este tema SI!!

Hay cuatro factores que tomaremos en cuenta para darle valores, que son:

  1. Tipo de Material
  2. Longitud
  3. Área Transversal
  4. Temperatura

La ecuación que usaremos para poder encontrar esos valores de resistencia con esas variables, será:

$\displaystyle R=\rho \frac{l}{A}$

Dónde:

$\displaystyle R$ = Resistividad ($\displaystyle \Omega $)

$\displaystyle \rho $ = Coeficiente de Resistividad ($\displaystyle \Omega m$)

$\displaystyle l$ = Longitud (m)

$\displaystyle A$ = Área ($\displaystyle {{m}^{2}}$)

Existen tablas de resistividad eléctrica de algunos materiales que han sido tomados a una temperatura ambiente entre (20 C° – 25° C) celcius.

tabla_resistividad

Ejercicios resueltos de Resistividad

Ahora pasemos a resolver unos ejemplos resueltos del tema de resistividad, para poder comprender a fondo podemos enfrentarnos a problemas como éstos.

 1.- Determine la resistencia de 2400 cm de alambre de plata que posee un diámetro de 25 centímetros.

Solución: Para poder resolver el ejercicio, vamos a reunir nuestros datos sabiendo que nos piden la resistencia de un alambre de plata, por lo que:

$\displaystyle \rho =1.59x{{10}^{-8}}\Omega m$ (resistividad).

$\displaystyle l=2400cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=24m$

$\displaystyle d=25cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.25m$ (diámetro)

$\displaystyle A=\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( 0.125m \right)}^{2}}=0.04908{{m}^{2}}$

Reemplazando estos valores en nuestra fórmula:

$\displaystyle R=\rho \frac{l}{A}$

$\displaystyle R=1.59x{{10}^{-8}}\Omega m\left( \frac{24m}{0.04908{{m}^{2}}} \right)=7.775x{{10}^{-6}}\Omega $

 2.- Un conductor de 30m de largo y 20 ohm de resistencia tiene una resistividad de 2,63.10 elevado a – 8 ohm-m ¿Cual es el diámetro de dicho conductor?.

Solución: Este es un problema un poco más complicado que el anterior, debido a que en este caso tenemos que despejar una variable de nuestra fórmula:

$\displaystyle R=\rho \frac{l}{A}$

De aquí despejaremos al Área (A).

$\displaystyle A=\rho \frac{l}{R}$

Tenemos los datos de la longitud del conductor, la resistividad y el valor de la resistencia, por lo que lo único que nos queda es reemplazar esos datos en la fórmula.

$\displaystyle A=(2.63x{{10}^{-8}}\Omega m)\frac{30m}{20\Omega }$

$\displaystyle A=3.945x{{10}^{-8}}{{m}^{2}}$

Qué sería el área del conductor. 😀

Recordemos que el diámetro lo podemos calcular, por la fórmula del área:

$\displaystyle A=\frac{\pi {{d}^{2}}}{4}$

despejando a “d”, nos queda:

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{4A}{\pi }}$

sustituyendo en nuestros datos:

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{4A}{\pi }}=\sqrt{\frac{4(3.945x{{10}^{-8}})}{\pi }}=2.24x{{10}^{-4}}m$

Por lo que nuestro diámetro es de:

$\displaystyle d=2.24x{{10}^{-4}}m$

Ahora vamos a resolver un ejercicio que nos envío un suscriptor del blog.

3.- ¿Qué diámetro debe tener un alambre de cobre si su resistencia ha de ser la misma que la de uno de aluminio de la misma longitud con diámetro de 3.26 mm?

Solución: Este es un problema que implica un análisis más profundo que los dos ejemplos anteriores, primero porque se involucran dos materiales, y la otra, porque realmente aplicamos algunos conceptos matemáticos para hacernos más fácil la solución.

Ambos materiales tienen la misma longitud, por lo cual no hace falta representarla en nuestra fórmula, es decir;

$\displaystyle {{R}_{Al}}={{R}_{Cu}}$ (Porque ambas tienen la misma resistencia)

$\displaystyle {{\rho }_{Al}}\frac{l}{A}={{\rho }_{Cu}}\frac{l}{A}$ (Igualamos ecuaciones)

$\displaystyle \frac{{{\rho }_{Al}}}{A}=\frac{{{\rho }_{Cu}}}{A}$ (Quitamos la longitud ya que son la misma)

Cálculo para el Aluminio

$\displaystyle {{\rho }_{Al}}=2.82x{{10}^{-8}}\Omega m$

$\displaystyle \varnothing =3.26x{{10}^{-3}}m$ (diámetro)

Vamos a calcular el área de este conductor, sabiendo su diámetro podemos hacerlo de la siguiente forma.

$\displaystyle A=\frac{\pi {{d}^{2}}}{4}=\frac{\pi {{\left( 3.26x{{10}^{-3}}m \right)}^{2}}}{4}=8.3469x{{10}^{-6}}{{m}^{2}}$

Ahora realizaremos lo mismo con el cobre.

Cálculo para el Cobre

$\displaystyle {{\rho }_{Cu}}=1.71x{{10}^{-8}}\Omega m$

En el caso del cobre, no tenemos el área porque justamente el problema nos pide el diámetro, entonces tendremos que despejar nuestra fórmula al área, para trabajarlo desde ahí.

$\displaystyle {{A}_{Cu}}=\frac{{{\rho }_{Cu}}\cdot {{A}_{Al}}}{{{\rho }_{Al}}}$

Reemplazando nuestros datos en la fórmula, tenemos:

$\displaystyle {{A}_{Cu}}=\frac{{{\rho }_{Cu}}\cdot {{A}_{Al}}}{{{\rho }_{Al}}}=\frac{(1.71x{{10}^{-8}}\Omega m)(8.3469x{{10}^{-6}}{{m}^{2}})}{2.82x{{10}^{-8}}\Omega m}=5.06x{{10}^{-6}}{{m}^{2}}$

Ya obtuvimos nuestra área, sin embargo recordemos nuevamente que el problema nos pide el diámetro, entonces sabiendo que de la fórmula de la circunferencia podemos obtener el diámetro, esto nos queda.

$\displaystyle A=\,\frac{\pi {{d}^{2}}}{4}$

$\displaystyle \sqrt{\frac{4A}{\pi }}=\,d$

Ordenando …

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{4A}{\pi }}$

Sustituyendo valores.

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{4(5.06x{{10}^{-6}}{{m}^{2}})}{\pi }}=2.53x{{10}^{-3}}m=2.53mm$

Por lo que el diámetro de la sección del conductor es de $\displaystyle 2.53x{{10}^{-3}}m$

Por lo que con esto se concluye el ejercicio 😎

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