Lenguaje Algebraico - Ejercicios Resueltos

Una vez que hemos comprendido qué es el álgebra y su importancia, es fundamental sumergirnos en su idioma: el lenguaje algebraico. Este lenguaje nos permite traducir situaciones de la vida real a expresiones matemáticas, utilizando símbolos y letras en lugar de solo números. Dominarlo es el primer paso crucial para resolver problemas más complejos en matemáticas, física, ingeniería y muchas otras áreas.

En este artículo, desglosaremos los componentes esenciales del lenguaje algebraico, desde lo que es una variable hasta cómo identificar los distintos tipos de expresiones. Al final, serás capaz de "hablar" álgebra y comprender las bases de su estructura.

¿Qué es el Lenguaje Algebraico?

El lenguaje algebraico es un sistema de representación matemática que utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar relaciones y cantidades. A diferencia del lenguaje aritmético (que solo usa números y operaciones fijas, como $2 + 3 = 5$), el lenguaje algebraico nos permite generalizar, es decir, hablar de "cualquier número" o "una cantidad desconocida" usando símbolos.

Por ejemplo, en lugar de decir "un número más cinco es igual a diez", podemos escribir $x + 5 = 10$. Aquí, la letra $x$ representa el número desconocido. Esta capacidad de abstracción es lo que hace al álgebra tan poderosa.

Del Lenguaje Común al Lenguaje Algebraico

Traducir del lenguaje común al algebraico es una habilidad fundamental. Aquí tienes algunos ejemplos sencillos de cómo se hace:

• "Un número": $x$ (o cualquier otra letra como $a, b, n$, etc.)
• "El doble de un número": $2x$
• "La mitad de un número": $\frac{x}{2}$ o $0.5x$
• "Un número aumentado en 5": $x + 5$
• "Un número disminuido en 3": $x - 3$
• "El triple de un número, menos 4": $3x - 4$
• "La suma de dos números diferentes": $x + y$
• "El producto de dos números": $xy$
• "El cociente de dos números": $\frac{x}{y}$

Componentes de una Expresión Algebraica

Para entender el lenguaje algebraico, es crucial conocer los elementos que forman una expresión algebraica.

Término Algebraico

Un término algebraico es la mínima expresión algebraica. Consiste en el producto de un factor numérico (coeficiente) por una o más variables (parte literal) elevadas a exponentes. Cada término está separado por signos de suma o resta.

Por ejemplo, en la expresión $5x^2y + 3z - 7$:

• $5x^2y$ es un término.
• $3z$ es un término.
• $-7$ es un término.

Elementos de un Término Algebraico

Cada término algebraico tiene cuatro elementos principales:

1. Signo

Indica si el término es positivo o negativo. Si no hay signo, se asume que es positivo. Por ejemplo:

• $+5x^2$ (positivo)
• $-3y$ (negativo)

2. Coeficiente

Es el factor numérico que multiplica a la parte literal. Incluye el signo del término. Si no hay un número visible, el coeficiente es $1$ (o $-1$ si hay un signo negativo). Por ejemplo:

• En $5x$, el coeficiente es $5$.
• En $-7y^3$, el coeficiente es $-7$.
• En $ab$, el coeficiente es $1$.
• En $-z$, el coeficiente es $-1$.

3. Parte Literal (Variables)

Son las letras que representan las cantidades desconocidas o variables. Pueden ser una o varias letras, y cada una puede tener un exponente. Por ejemplo:

• En $5x^2y$, la parte literal es $x^2y$.
• En $3z$, la parte literal es $z$.

4. Exponente

Es el número pequeño que se escribe arriba y a la derecha de una variable. Indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Si no hay exponente, se asume que es $1$. Por ejemplo:

• En $x^2$, el exponente de $x$ es $2$.
• En $y^5$, el exponente de $y$ es $5$.
• En $z$ (que es $z^1$), el exponente de $z$ es $1$.

(ingresar imagen: Esquema de un término algebraico $5x^2y$, señalando sus partes: signo, coeficiente, parte literal, y exponente)

Término Independiente o Constante

Un tipo especial de término es el término independiente (o constante). Este término no tiene parte literal (variables), por lo que su valor no cambia. Por ejemplo, en $2x + 7$, el $7$ es el término independiente.

Términos Semejantes

Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal (es decir, las mismas variables elevadas a los mismos exponentes), sin importar el coeficiente. La capacidad de identificar términos semejantes es crucial para simplificar expresiones algebraicas.

Ejemplos:

• $3x$ y $-7x$ son términos semejantes (ambos tienen $x^1$).
• $5a^2b$ y $2a^2b$ son términos semejantes (ambos tienen $a^2b$).
• $4y$ y $4y^2$ NO son términos semejantes (los exponentes de $y$ son diferentes).
• $2xy$ y $2yz$ NO son términos semejantes (las variables no son las mismas).

Clasificación de Expresiones Algebraicas

Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos que las componen:

1. Monomio

Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

Ejemplos: $5x$, $-7y^3$, $ab^2$, $10$.

2. Polinomio

Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos. Los polinomios se subclasifican según su número de términos:

Binomio

Un polinomio con exactamente dos términos.

Ejemplos: $x + 5$, $3a - 2b$, $y^2 + 4x$.

Trinomio

Un polinomio con exactamente tres términos.

Ejemplos: $x^2 + 2x - 1$, $a + b - c$, $3y^3 - 2y + 5$.

Si una expresión tiene más de tres términos, simplemente se le llama polinomio.

Grado de una Expresión Algebraica

El grado de una expresión algebraica (o de un término) es importante para clasificarlas y operar con ellas. Hay dos tipos principales de grados:

Grado Absoluto de un Término

Es la suma de los exponentes de todas las variables en el término.

Ejemplos:

• El grado de $5x^3$ es $3$.
• El grado de $-2a^2b^4$ es $2 + 4 = 6$.
• El grado de $7$ (término constante) es $0$.

Grado Absoluto de un Polinomio

Es el mayor grado absoluto de cualquiera de sus términos.

Ejemplo: Para el polinomio $4x^3y^2 - 7xy^4 + 2x^5$

• Grado del primer término ($4x^3y^2$): $3 + 2 = 5$.
• Grado del segundo término ($-7xy^4$): $1 + 4 = 5$.
• Grado del tercer término ($2x^5$): $5$.

El grado absoluto del polinomio es $5$.

Grado Relativo de un Término o Polinomio

Es el exponente más alto de una variable específica en el término o en el polinomio.
Ejemplo: Para el polinomio $4x^3y^2 - 7xy^4 + 2x^5$

• Grado con respecto a $x$: El mayor exponente de $x$ es $5$ (del término $2x^5$).
• Grado con respecto a $y$: El mayor exponente de $y$ es $4$ (del término $-7xy^4$).

Ejercicios Resueltos

Solución

▷ Paso 1

Traducir la frase a).

"El cuádruple de un número" significa multiplicar un número por 4.
Sea $n$ el número.
La expresión es: $4n$.

▷ Paso 2 Traducir la frase b).

"La diferencia entre dos números" significa restar un número de otro.
Sean $a$ y $b$ los dos números.
La expresión es: $a - b$.

▷ Paso 3

Traducir la frase c).

"El cuadrado de un número" significa elevar un número a la potencia de 2.
Sea $x$ el número.
La expresión es: $x^2$.

Solución

▷ Paso 1 Identificar el primer término.

El primer término es $8a^3b^2$.

▷ Paso 2 Identificar el signo.

Como no hay signo negativo visible antes del $8$, el signo es positivo.
Signo: $+$.

▷ Paso 3

Identificar el coeficiente.

El número que multiplica a las variables es $8$.
Coeficiente: $8$.

▷ Paso 4

Identificar la parte literal.
Las letras con sus exponentes son $a^3b^2$.
Parte literal: $a^3b^2$.

▷ Paso 5

Identificar los exponentes de cada variable.
El exponente de $a$ es $3$.
El exponente de $b$ es $2$.

Solución

▷ Paso 1

Analizar el par a).

Los términos son $6x^2y$ y $-4x^2y$.
Ambos tienen la misma parte literal ($x^2y$).
Por lo tanto, SÍ son términos semejantes.

▷ Paso 2

Analizar el par b).

Los términos son $2ab^3$ y $5a^3b$.
En el primer término, $a$ está elevado a $1$ y $b$ a $3$.
En el segundo término, $a$ está elevado a $3$ y $b$ a $1$.
Las partes literales ($ab^3$ y $a^3b$) no son idénticas.
Por lo tanto, NO son términos semejantes.

▷ Paso 3

Analizar el par c).

Los términos son $7m$ y $7m^2$.
En el primer término, $m$ está elevado a $1$.
En el segundo término, $m$ está elevado a $2$.
Las partes literales ($m^1$ y $m^2$) no son idénticas.
Por lo tanto, NO son términos semejantes.

▷ Paso 4

Analizar el par d).

Los términos son $pq$ y $qp$.
Aunque el orden de las variables es diferente, la multiplicación es conmutativa, por lo que $pq$ es lo mismo que $qp$.
Ambos tienen la misma parte literal ($pq$).
Por lo tanto, SÍ son términos semejantes.

Solución

▷ Paso 1

Clasificar la expresión a).
$x^2 - 4y + 7z$ tiene tres términos ($x^2$, $-4y$, $7z$).
Es un trinomio.

▷ Paso 2

Clasificar la expresión b).
$5ab^3$ tiene un solo término.
Es un monomio.

▷ Paso 3

Clasificar la expresión c).
$m + n$ tiene dos términos ($m$, $n$).
Es un binomio.

▷ Paso 4

Clasificar la expresión d).
$2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 1$ tiene cinco términos.
Es un polinomio (más específicamente, un polinomio de 5 términos).

Solución

▷ Paso 1 Calcular el grado absoluto de cada término.
Término 1: $7x^2y^3$. Grado $= 2 + 3 = 5$.
Término 2: $-3xy^5$. Grado $= 1 + 5 = 6$.
Término 3: $9x^4$. Grado $= 4$.

▷ Paso 2 Determinar el grado absoluto del polinomio.
El mayor grado de los términos es $6$.
Grado absoluto del polinomio: $6$.

▷ Paso 3 Determinar el grado relativo con respecto a $x$.
El mayor exponente de $x$ en los términos es $4$ (del término $9x^4$).
Grado relativo con respecto a $x$: $4$.

▷ Paso 4 Determinar el grado relativo con respecto a $y$.
El mayor exponente de $y$ en los términos es $5$ (del término $-3xy^5$).
Grado relativo con respecto a $y$: $5$.

Solución

▷ Paso 1 Expresar "Un padre tiene el doble de la edad de su hijo".
La edad del padre ($P$) es el doble de la edad del hijo ($H$).
$$P = 2H$$

▷ Paso 2 Expresar las edades dentro de 10 años.
Dentro de 10 años, la edad del padre será $P + 10$.
Dentro de 10 años, la edad del hijo será $H + 10$.

▷ Paso 3 Expresar "Dentro de 10 años, la suma de sus edades será 70".
La suma de sus edades futuras es 70:
$$(P + 10) + (H + 10) = 70$$

▷ Paso 4 Simplificar la segunda expresión.
$$P + H + 20 = 70$$
$$P + H = 70 - 20$$
$$P + H = 50$$
Así, el sistema de ecuaciones que describe la situación es:
$$\begin{cases} P = 2H \\ P + H = 50 \end{cases}$$

Solución

▷ Paso 1 Definir el primer número.
Sea $n$ el primer número.

▷ Paso 2 Definir el segundo número consecutivo.
El siguiente número consecutivo a $n$ es $n + 1$.

▷ Paso 3 Definir el tercer número consecutivo.
El siguiente número consecutivo a $n+1$ es $(n+1) + 1 = n + 2$.

▷ Paso 4 Escribir la expresión para la suma.
Sumamos los tres números:
$$n + (n + 1) + (n + 2)$$

▷ Paso 5 Simplificar la expresión.
$$n + n + 1 + n + 2$$
$$3n + 3$$
La expresión algebraica para la suma de tres números consecutivos es $3n + 3$.

Solución

▷ Paso 1 Expresar el ancho.
El ancho se representa por $w$.

▷ Paso 2 Expresar el largo.
El largo mide el doble del ancho, por lo tanto, el largo es $2w$.

▷ Paso 3 Expresar el perímetro.
El perímetro de un rectángulo es $2 \times (largo + ancho)$.
Sustituimos $largo = 2w$ y $ancho = w$:
$$Perímetro = 2(2w + w)$$
$$Perímetro = 2(3w)$$
$$Perímetro = 6w$$

▷ Paso 4 Expresar el área.
El área de un rectángulo es $largo \times ancho$.
Sustituimos $largo = 2w$ y $ancho = w$:
$$Área = (2w)(w)$$
$$Área = 2w^2$$

Conclusión

El dominio del lenguaje algebraico es la piedra angular sobre la que se construye todo el estudio del álgebra. Al comprender los conceptos de variable, término, coeficiente, parte literal y la clasificación de expresiones, has adquirido las herramientas fundamentales para traducir problemas verbales a un formato matemático y comenzar a manipularlos.

Esta habilidad no solo es crucial para tus estudios en matemáticas, sino que también es una base indispensable para entender cómo se modelan fenómenos en la ciencia, la tecnología y la vida cotidiana. Sigue practicando la traducción de situaciones a este lenguaje y verás cómo tu capacidad para resolver problemas complejos se expande exponencialmente. ¡Estás en el camino correcto para dominar el álgebra!