Ley de los Radicales - Ejercicios Resueltos

A menudo mis estudiantes de álgebra me preguntan. ¿Qué es lo más importante para usted a la hora de aprender álgebra? y quizá no pueda darles la respuesta que ellos quisieran escuchar, pero sin duda, parte de los conocimientos fundamentales de todo estudiante es el conocer a los radicales.

Así que presta mucha atención, abriremos esta sección con la definición del radical. Si \(n\) es un entero positivo mayor que 1 y \(a\) es un número real, entonces,

\[\sqrt[n]{a} = {a^{\frac{1}{n}}}\]

donde \(n\) se llama el índice, \(a\) se llama el radicando, y el símbolo \(\sqrt {} \) se llama el radical. El lado izquierdo de esta ecuación a menudo se llama la forma radical y el lado derecho se llama la forma exponente.

De esta definición podemos ver que un radical es simplemente otra notación para el primer exponente racional que vimos en la sección de exponentes racionales.

Nótese también que el índice es requerido para asegurarnos de que evaluamos correctamente el radical. Hay una excepción a esta regla y es la raíz cuadrada. Para las raíces cuadradas tenemos,

\[\sqrt[2]{a} = \sqrt a \]

En otras palabras, para las raíces cuadradas típicamente omitimos el índice.

Entendiendo a los Radicales de forma fácil

Veamos un par de ejemplos para familiarizarnos con esta nueva notación.

Solución

a) \(\sqrt[4]{{16}} = {16^{\frac{1}{4}}}\)

b) \(\sqrt[{10}]{{8x}} = {\left( {8x} \right)^{\frac{1}{{10}}}}\)

c) \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)

Como se ve en las dos últimas partes de este ejemplo, debemos tener cuidado con los paréntesis. Cuando convertimos a la forma de exponente y el radicando consta de más de un término, necesitamos encerrar todo el radicando entre paréntesis como lo hicimos en estas dos partes. Para ver por qué esto es así, considera lo siguiente,

\[8{x^{\frac{1}{{10}}}}\]

De nuestra discusión sobre exponentes en las secciones anteriores, sabemos que solo el término inmediatamente a la izquierda del exponente recibe el exponente. Por lo tanto, la forma radical de esto es,

\[8{x^{\frac{1}{{10}}}} = 8\,\,\sqrt[{10}]{x} \ne \sqrt[{10}]{{8x}}\]

Así que, una vez más vemos que los paréntesis son muy importantes. Ten cuidado con ellos.

Como ya sabemos cómo evaluar exponentes racionales, también sabemos cómo evaluar radicales, como muestra el siguiente conjunto de ejemplos.

Solución

Para evaluar estos, primero los convertiremos a su forma de exponente y luego evaluaremos, ya que sabemos cómo hacerlo.

a) \(\sqrt {16} \) y \(\sqrt[4]{{16}}\)

Estos están juntos para destacar la importancia del índice en esta notación. Echemos un vistazo a ambos.

\[\sqrt {16} = {16^{\frac{1}{2}}} = 4\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{porque }}{4^2} = 16\]\[\sqrt[4]{{16}} = {16^{\frac{1}{4}}} = 2\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{porque }}{{\mbox{2}}^{\mbox{4}}} = 16\]

Así que, el índice es importante. Diferentes índices darán diferentes evaluaciones, así que asegúrate de no omitir el índice a menos que sea un 2 (y por lo tanto estemos usando raíces cuadradas).

b) \(\sqrt[5]{{243}}\)

\[\sqrt[5]{{243}} = {243^{\frac{1}{5}}} = 3\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{porque }}{{\mbox{3}}^{\mbox{5}}} = 243\]

c) \(\sqrt[4]{{1296}}\)

\[\sqrt[4]{{1296}} = {1296^{\frac{1}{4}}} = 6\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{porque }}{{\mbox{6}}^{\mbox{4}}} = 1296\]

d) \(\sqrt[3]{{ - 125}}\)

\[\sqrt[3]{{ - 125}} = {\left( { - 125} \right)^{\frac{1}{3}}} = - 5\hspace{0.25in}{\mbox{porque }}{\left( { - 5} \right)^{\mbox{3}}} = - 125\]

e) \(\sqrt[4]{{ - 16}}\)

\[\sqrt[4]{{ - 16}} = {\left( { - 16} \right)^{\frac{1}{4}}}\]

Como vimos en la sección de exponentes enteros, esto no tiene una respuesta real, por lo que no podemos evaluar el radical de un número negativo si el índice es par. Nótese, sin embargo, que sí podemos evaluar el radical de un número negativo si el índice es impar, como muestra la parte anterior.

Hablemos brevemente de la respuesta a la primera parte del ejemplo anterior. En esta parte, afirmamos que \(\sqrt {16} = 4\) porque \({4^2} = 16\). Sin embargo, 4 no es el único número que podemos elevar al cuadrado para obtener 16. También tenemos \({\left( { - 4} \right)^2} = 16\). Entonces, ¿por qué no usamos -4? Hay una regla general sobre la evaluación de raíces cuadradas (o más generalmente, radicales con índices pares). Al evaluar raíces cuadradas, SIEMPRE tomamos la respuesta positiva. Si queremos la respuesta negativa, haremos lo siguiente.

\[ - \sqrt {16} = - 4\]

Esto puede no parecer tan importante, pero en temas posteriores puede ser muy importante. Seguir esta convención significa que siempre obtendremos valores predecibles al evaluar raíces.

Nótese que no tenemos una regla similar para radicales con índices impares, como la raíz cúbica en la parte (d) anterior. Esto se debe a que nunca habrá más de una respuesta posible para un radical con un índice impar.

También podemos escribir el exponente racional general en términos de radicales de la siguiente manera.

\[{a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{O}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

Ahora necesitamos hablar de algunas propiedades de los radicales.

Propiedades

Si \(n\) es un entero positivo mayor que 1 y tanto \(a\) como \(b\) son números reales positivos, entonces,

1. \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\)
2. \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}\)
3. \(\displaystyle \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\)

Nótese que en ocasiones podemos permitir que \(a\) o \(b\) sean negativos y que estas propiedades sigan funcionando. Cuando nos encontremos con esas situaciones, lo indicaremos. Sin embargo, para el resto de esta sección, asumiremos que \(a\) y \(b\) deben ser positivos.

Nótese también que aunque podemos "separar" productos y cocientes bajo un radical, no podemos hacer lo mismo para sumas o diferencias. En otras palabras,

\[\sqrt[n]{{a + b}} \ne \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{Y}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\sqrt[n]{{a - b}} \ne \sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b}\]

Si no estás seguro de creer esto, considera el siguiente ejemplo numérico rápido.

\[5 = \sqrt {25} = \sqrt {9 + 16} \ne \sqrt 9 + \sqrt {16} = 3 + 4 = 7\]

Si "separamos" la raíz en la suma de las dos piezas, ¡claramente obtenemos respuestas diferentes! Por lo tanto, ¡ten cuidado de no cometer este error tan común!

Vamos a simplificar radicales en breve, así que a continuación deberíamos definir la forma radical simplificada. Se dice que un radical está en forma radical simplificada (o simplemente forma simplificada) si cada una de las siguientes condiciones es verdadera.

Forma Radical Simplificada

1. Todos los exponentes en el radicando deben ser menores que el índice.
2. Cualquier exponente en el radicando no puede tener factores en común con el índice.
3. No aparecen fracciones debajo de un radical.
4. No aparecen radicales en el denominador de una fracción.

En nuestro primer conjunto de ejemplos de simplificación, solo nos ocuparemos de los dos primeros. Necesitaremos trabajar un poco más antes de poder abordar los dos últimos.

Solución

a) \(\sqrt {{y^7}} \)

En este caso, el exponente (7) es mayor que el índice (2), por lo que se viola la primera regla de simplificación. Para solucionarlo, usaremos la primera y segunda propiedades de los radicales. Notemos que podemos escribir el radicando de la siguiente manera:

\[{y^7} = {y^6}y = {\left( {{y^3}} \right)^2}y\]

Así, hemos escrito el radicando como un cuadrado perfecto multiplicado por un término cuyo exponente es menor que el índice. El radical entonces se convierte en,

\[\sqrt {{y^7}} = \sqrt {{{\left( {{y^3}} \right)}^2}y} \]

Ahora usamos la segunda propiedad de los radicales para separar el radical y luego usamos la primera propiedad de los radicales en el primer término.

\[\sqrt {{y^7}} = \sqrt {{{\left( {{y^3}} \right)}^2}} \,\,\sqrt y = {y^3}\sqrt y \]

Esto ahora satisface las reglas de simplificación, por lo que hemos terminado.

b) \(\sqrt[9]{{{x^6}}}\)

Este radical viola la segunda regla de simplificación, ya que tanto el índice como el exponente tienen un factor común de 3. Para arreglar esto, todo lo que necesitamos hacer es convertir el radical a su forma de exponente, hacer algunas simplificaciones y luego volver a convertirlo a la forma radical.

\[\sqrt[9]{{{x^6}}} = {\left( {{x^6}} \right)^{\frac{1}{9}}} = {x^{\frac{6}{9}}} = {x^{\frac{2}{3}}} = {\left( {{x^2}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{{x^2}}}\]

c) \(\sqrt {18{x^6}{y^{11}}} \)

Ahora que hemos resuelto un par de problemas básicos, trabajemos en algunos más difíciles. Aunque, dicho esto, este no es más que una extensión del primer ejemplo. Hay más de un término aquí, pero todo funciona de la misma manera. Descompondremos el radicando en cuadrados perfectos multiplicados por términos cuyos exponentes son menores que 2 (es decir, 1).

\[18{x^6}{y^{11}} = 9{x^6}{y^{10}}\left( {2y} \right) = 9{\left( {{x^3}} \right)^2}{\left( {{y^5}} \right)^2}\left( {2y} \right)\]

No olvides buscar cuadrados perfectos también en el número.

Ahora, volvamos al radical y usemos la segunda y primera propiedad de los radicales como lo hicimos en el primer ejemplo.

\[\sqrt {18{x^6}{y^{11}}} = \sqrt {9{{\left( {{x^3}} \right)}^2}{{\left( {{y^5}} \right)}^2}\left( {2y} \right)} = \sqrt 9 \sqrt {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}} \sqrt {{{\left( {{y^5}} \right)}^2}} \sqrt {2y} = 3{x^3}{y^5}\sqrt {2y} \]

d) \(\sqrt[4]{{32{x^9}{y^5}{z^{12}}}}\)

Este es similar a la parte anterior, excepto que el índice ahora es 4. Así que, en lugar de obtener cuadrados perfectos, queremos potencias de 4. Esta vez combinaremos el trabajo de la parte anterior en un solo paso.

\[\sqrt[4]{{32{x^9}{y^5}{z^{12}}}} = \sqrt[4]{{16{x^8}{y^4}{z^{12}}\left( {2xy} \right)}} = \sqrt[4]{{16}}\sqrt[4]{{{{\left( {{x^2}} \right)}^4}}}\sqrt[4]{{{y^4}}}\sqrt[4]{{{{\left( {{z^3}} \right)}^4}}}\sqrt[4]{{2xy}} = 2{x^2}y\,{z^3}\sqrt[4]{{2xy}}\]

e) \(\sqrt[5]{{{x^{12}}{y^4}{z^{24}}}}\)

Nuevamente, este es similar a las dos partes anteriores.

\[\sqrt[5]{{{x^{12}}{y^4}{z^{24}}}} = \sqrt[5]{{{x^{10}}{z^{20}}\left( {{x^2}{y^4}{z^4}} \right)}} = \sqrt[5]{{{{\left( {{x^2}} \right)}^5}}}\sqrt[5]{{{{\left( {{z^4}} \right)}^5}}}\sqrt[5]{{{x^2}{y^4}{z^4}}} = {x^2}{z^4}\sqrt[5]{{{x^2}{y^4}{z^4}}}\]

En este caso, no te sorprendas de que todas las \(y\) se quedaron bajo el radical. Eso sucederá en ocasiones.

f) \(\sqrt[3]{{9{x^2}}}\,\sqrt[3]{{6{x^2}}}\)

Esta última parte parece un poco complicada. Individualmente, ambos radicales están en forma simplificada. Sin embargo, a menudo hay una regla no escrita para la simplificación: debemos tener la menor cantidad de radicales posible en el problema. En este caso, eso significa que podemos usar la segunda propiedad de los radicales para combinar los dos radicales en uno solo y luego veremos si hay alguna simplificación que deba hacerse.

\[\sqrt[3]{{9{x^2}}}\,\sqrt[3]{{6{x^2}}} = \sqrt[3]{{\left( {9{x^2}} \right)\left( {6{x^2}} \right)}}\, = \sqrt[3]{{54{x^4}}}\]

Ahora que está en esta forma, podemos hacer alguna simplificación.

\[\sqrt[3]{{9{x^2}}}\,\sqrt[3]{{6{x^2}}} = \sqrt[3]{{27{x^3}\left( {2x} \right)}} = \sqrt[3]{{27{x^3}}}\sqrt[3]{{2x}} = 3x\sqrt[3]{{2x}}\]

Antes de pasar a un conjunto de ejemplos que ilustran las dos últimas reglas de simplificación, necesitamos hablar brevemente sobre sumar/restar/multiplicar radicales. Realizar estas operaciones con radicales es muy similar a realizar estas operaciones con polinomios.

Recuerda que para sumar/restar términos con \(x\), todo lo que necesitamos hacer es sumar/restar los coeficientes de la \(x\). Por ejemplo,

\[4x + 9x = \left( {4 + 9} \right)x = 13x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}3x - 11x = \left( {3 - 11} \right)x = - 8x\]

Sumar/restar radicales funciona exactamente de la misma manera. Por ejemplo,

\[4\sqrt x + 9\sqrt x = \left( {4 + 9} \right)\sqrt x = 13\sqrt x \hspace{0.25in}3\,\,\sqrt[{10}]{5} - 11\,\,\sqrt[{10}]{5} = \left( {3 - 11} \right)\sqrt[{10}]{5} = - 8\,\,\sqrt[{10}]{5}\]

Ya hemos visto algo de multiplicación de radicales en la última parte del ejemplo anterior. Si estamos viendo el producto de dos radicales con el mismo índice, todo lo que necesitamos hacer es usar la segunda propiedad de los radicales para combinarlos y luego simplificar. Lo que necesitamos ver ahora son problemas como los del siguiente conjunto de ejemplos.

Solución

En todos estos problemas, todo lo que necesitamos hacer es recordar cómo usar el método FOIL (o producto de binomios). Con los radicales, multiplicamos exactamente de la misma manera. La principal diferencia es que en ocasiones necesitaremos hacer alguna simplificación después de la multiplicación.

a) \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)\)

\[\begin{align*}\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right) & = \sqrt x \left( {\sqrt x } \right) - 5\sqrt x + 2\sqrt x - 10\\ & = \sqrt {{x^2}} - 3\sqrt x - 10\\ & = x - 3\sqrt x - 10\end{align*}\]

Como se señaló, necesitamos hacer una pequeña simplificación en el primer término después de multiplicar.

b) \(\left( {3\,\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - 5\sqrt y } \right)\)

No te preocupes por el hecho de que haya dos variables aquí. ¡Funciona de la misma manera!

\[\begin{align*}\left( {3\,\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - 5\sqrt y } \right) & = 6\sqrt {{x^2}} - 15\sqrt x \,\sqrt y - 2\sqrt x \,\sqrt y + 5\sqrt {{y^2}} \\ & = 6x - 15\sqrt {xy} - 2\sqrt {xy} + 5y\\ & = 6x - 17\sqrt {xy} + 5y\end{align*}\]

Nuevamente, observa que combinamos los términos con dos radicales.

c) \(\left( {5\sqrt x + 2} \right)\left( {5\sqrt x - 2} \right)\)

No hay mucho que hacer con este.

\[\left( {5\sqrt x + 2} \right)\left( {5\sqrt x - 2} \right) = 25\sqrt {{x^2}} - 10\sqrt x + 10\sqrt x - 4 = 25x - 4\]

Observa que, en este caso, la respuesta no tiene radicales. Eso sucederá en ocasiones, así que no te sorprendas cuando ocurra.

La última parte del ejemplo anterior realmente utilizó el hecho de que

\[\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - {b^2}\]

Ok, ahora estamos listos para ver algunos ejemplos de simplificación que ilustran las dos últimas reglas. Nótese también que la cuarta regla dice que no debemos tener radicales en el denominador. Para eliminarlos, usaremos algunas de las ideas de multiplicación que vimos anteriormente y el proceso de eliminar los radicales en el denominador se llama racionalizar el denominador. De hecho, de eso se trata realmente el siguiente conjunto de ejemplos.

Solución

Realmente hay dos tipos diferentes de problemas que veremos aquí. Las dos primeras partes ilustran el primer tipo de problema y las dos últimas partes ilustran el segundo tipo. Ambos tipos se trabajan de manera diferente.

a) \( \displaystyle \frac{4}{{\sqrt x }}\)

En este caso, vamos a utilizar el hecho de que \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\). Necesitamos determinar por qué multiplicar el denominador para que esto aparezca. Una vez que lo averigüemos, multiplicaremos el numerador y el denominador por este término.

\[\frac{4}{{\sqrt x }} = \frac{4}{{\sqrt x }}\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt {{x^2}} }} = \frac{{4\sqrt x }}{x}\]

Recuerda que si multiplicamos el denominador por un término, también debemos multiplicar el numerador por el mismo término. De esta manera, realmente estamos multiplicando el término por 1 (ya que \(\frac{a}{a} = 1\)) y, por lo tanto, no estamos cambiando su valor de ninguna manera.

b) \( \displaystyle \sqrt[5]{{\frac{2}{{{x^3}}}}}\)

Necesitaremos comenzar este primero usando la tercera propiedad de los radicales para eliminar la fracción de debajo del radical, como se requiere para la simplificación.

\[\sqrt[5]{{\frac{2}{{{x^3}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{2}}}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}\]

Ahora, para deshacernos del radical en el denominador, necesitamos que el exponente de la x sea 5. Esto significa que necesitamos multiplicar por \(\sqrt[5]{{{x^2}}}\), así que hagámoslo.

\[\sqrt[5]{{\frac{2}{{{x^3}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{2}}}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}\frac{{\sqrt[5]{{{x^2}}}}}{{\sqrt[5]{{{x^2}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{{2{x^2}}}}}{{\sqrt[5]{{{x^5}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{{2{x^2}}}}}{x}\]

c) \( \displaystyle \frac{1}{{3 - \sqrt x }}\)

En este caso, no podemos hacer lo mismo que en las dos partes anteriores. Para este, necesitaremos usar el hecho de que \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - {b^2}\) (diferencia de cuadrados). Cuando el denominador consta de dos términos y al menos uno de ellos involucra un radical, haremos lo siguiente para deshacernos del radical (multiplicar por el conjugado).

\[\frac{1}{{3 - \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\frac{{3 + \sqrt x }}{{\left( {3 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 + \sqrt x }}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 + \sqrt x }}{{9 - x}}\]

Tomamos el denominador original, cambiamos el signo del segundo término y multiplicamos el numerador y el denominador por este nuevo término (el conjugado). Al hacer esto, pudimos eliminar el radical en el denominador al multiplicar.

d) \( \displaystyle \frac{5}{{4\sqrt x + \sqrt 3 }}\)

Este funciona exactamente igual que el ejemplo anterior. La única diferencia es que ambos términos en el denominador ahora tienen radicales. Sin embargo, el proceso es el mismo.

\[\frac{5}{{4\sqrt x + \sqrt 3 }} = \frac{5}{{\left( {4\sqrt x + \sqrt 3 } \right)}}\frac{{\left( {4\sqrt x - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {4\sqrt x - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{5\left( {4\sqrt x - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {4\sqrt x + \sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt x - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{5\left( {4\sqrt x - \sqrt 3 } \right)}}{{16x - 3}}\]

Racionalizar el denominador puede parecer no tener usos reales y, para ser honesto, no veremos muchos usos en una clase de Álgebra. Sin embargo, si estás en una trayectoria que te llevará a una clase de Cálculo, encontrarás que racionalizar es útil en ocasiones a ese nivel.

Cerraremos esta sección con una versión más general de la primera propiedad de los radicales. Recuerda que cuando escribimos por primera vez las propiedades de los radicales, requerimos que \(a\) fuera un número positivo. Esto se hizo para facilitar un poco el trabajo en esta sección. Sin embargo, con la primera propiedad, ese no necesariamente tiene que ser el caso.

Aquí está la propiedad para una \(a\) general (es decir, positiva o negativa)

\[\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| a \right|}&{{\mbox{si }}n{\mbox{ es par}}}\\a&{{\mbox{si }}n{\mbox{ es impar}}}\end{array}} \right.\]

donde \(\left| a \right|\) es el valor absoluto de \(a\). Todo lo que necesitas saber en este punto es que el valor absoluto siempre hace que \(a\) sea un número positivo.

Así, como un ejemplo rápido, esto significa que,

\[\sqrt[8]{{{x^8}}} = \left| x \right|\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{Y}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\sqrt[{11}]{{{x^{11}}}} = x\]

Para raíces cuadradas, esto es,

\[\sqrt {{x^2}} = \left| x \right|\]

Esto no será algo de lo que debamos preocuparnos mucho aquí, pero nuevamente, hay temas en cursos posteriores al Álgebra para los cuales esta es una idea importante, por lo que necesitábamos al menos mencionarla.

Ejercicios de Práctica de Radicales

A continuación, se presentan una serie de ejercicios para practicar los conceptos aprendidos en esta sección.

Solución

1. \(\sqrt[7]{y} = {y^{\frac{1}{7}}}\)
2. \(\sqrt[3]{{{x^2}}} = {\left( {{x^2}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{2}{3}}}\)
3. \(\sqrt[6]{{ab}} = {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{6}}}\)
4. \(\sqrt {{w^2}{v^3}} = {\left( {{w^2}{v^3}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)

Solución

5. \(\sqrt[4]{{81}} = 3\), porque \(3^4 = 81\).
6. \(\sqrt[3]{{ - 512}} = -8\), porque \((-8)^3 = -512\).
7. \(\sqrt[3]{{1000}} = 10\), porque \(10^3 = 1000\).

Solución

8. \(\sqrt[3]{{{x^8}}} = \sqrt[3]{{{x^6} \cdot {x^2}}} = \sqrt[3]{{{(x^2)}^3 \cdot {x^2}}} = {x^2}\sqrt[3]{{{x^2}}}\)
9. \(\sqrt {8{y^3}} = \sqrt {4 \cdot 2 \cdot {y^2} \cdot y} = \sqrt {4{y^2}} \sqrt {2y} = 2y\sqrt {2y} \)
10. \(\sqrt[4]{{{x^7}{y^{20}}{z^{11}}}} = \sqrt[4]{{{x^4}{y^{20}}{z^8} \cdot {x^3}{z^3}}} = \sqrt[4]{{{x^4}{{\left( {{y^5}} \right)}^4}{{\left( {{z^2}} \right)}^4} \cdot {x^3}{z^3}}} = x{y^5}{z^2}\sqrt[4]{{{x^3}{z^3}}}\)
11. \(\sqrt[3]{{54{x^6}{y^7}{z^2}}} = \sqrt[3]{{27 \cdot 2 \cdot {x^6}{y^6} \cdot y{z^2}}} = \sqrt[3]{{27{x^6}{y^6}}} \sqrt[3]{{2y{z^2}}} = 3{x^2}{y^2}\sqrt[3]{{2y{z^2}}}\)
12. \(\sqrt[4]{{4{x^3}y}}\,\,\sqrt[4]{{8{x^2}{y^3}{z^5}}} = \sqrt[4]{{(4{x^3}y)(8{x^2}{y^3}{z^5})}} = \sqrt[4]{{32{x^5}{y^4}{z^5}}} = \sqrt[4]{{16{x^4}{y^4}{z^4} \cdot 2xz}} = 2xyz\sqrt[4]{{2xz}}\)

Solución

13. \(\sqrt x \left( {4 - 3\sqrt x } \right) = 4\sqrt x - 3\sqrt x \sqrt x = 4\sqrt x - 3x\)
14. \(\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {3 - 4\sqrt x } \right) = (2\sqrt x)(3) + (2\sqrt x)(-4\sqrt x) + (1)(3) + (1)(-4\sqrt x) = 6\sqrt x - 8x + 3 - 4\sqrt x = 2\sqrt x - 8x + 3\)
15. \(\left( {\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)\left( {4 - \sqrt[3]{{{x^2}}}} \right) = 4\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x^2} + 8\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x^2}\sqrt[3]{x^2} = 4\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x^3} + 8\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x^4} = 4\sqrt[3]{x} - x + 8\sqrt[3]{x^2} - 2x\sqrt[3]{x}\)

Solución

16. \(\displaystyle \frac{6}{{\sqrt x }} = \frac{6}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{6\sqrt x }}{x}\)
17. \(\displaystyle \frac{9}{{\sqrt[3]{{2x}}}} = \frac{9}{{\sqrt[3]{{2x}}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2}}}}}{{\sqrt[3]{{4{x^2}}}}} = \frac{{9\sqrt[3]{{4{x^2}}}}}{{\sqrt[3]{{8{x^3}}}}} = \frac{{9\sqrt[3]{{4{x^2}}}}}{{2x}}\)
18. \(\displaystyle \frac{4}{{\sqrt x + 2\sqrt y }} = \frac{4}{{\sqrt x + 2\sqrt y }} \cdot \frac{{\sqrt x - 2\sqrt y }}{{\sqrt x - 2\sqrt y }} = \frac{{4\left( {\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}}{{x - 4y}}\)
19. \(\displaystyle \frac{{10}}{{3 - 5\sqrt x }} = \frac{{10}}{{3 - 5\sqrt x }} \cdot \frac{{3 + 5\sqrt x }}{{3 + 5\sqrt x }} = \frac{{10\left( {3 + 5\sqrt x } \right)}}{{9 - 25x}}\)

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