Permutaciones - Ejercicios Resueltos
¡Hola, amigos de Fisimat! hoy vamos a sumergirnos en uno de los conceptos más fascinantes y útiles de la combinatoria: las permutaciones. Si alguna vez te has preguntado cuántas formas hay de ordenar tu lista de reproducción, cuántas contraseñas posibles existen para tu wifi, o cómo la criptografía moderna protege tus datos, estás en el lugar correcto. La respuesta, en muchos casos, radica en el poder de permutar.
Tu Guía Definitiva sobre Permutaciones
Este artículo no es solo una lista de fórmulas. Es una guía completa, diseñada pedagógicamente, para que no solo memorices, sino que entiendas cómo y por qué funcionan las permutaciones. Desglosaremos cada tipo, desde el más simple hasta el más complejo, con ejemplos guiados paso a paso. Nuestra meta es clara: convertirte en un experto y crear el mejor recurso sobre permutaciones en Internet. ¡Vamos al lío! 🤓
¿Qué es Exactamente una Permutación?
En el vasto universo de las matemáticas, la combinatoria es el arte de contar. Y dentro de ese arte, la permutación es nuestra herramienta para contar arreglos ordenados. Suena simple, pero el diablo está en los detalles.
Una permutación es un arreglo de miembros de un conjunto en una secuencia o de un orden lineal. Si el conjunto ya está ordenado, una reordenación de sus elementos se llama permutación. La característica clave, y la palabra que debes grabarte a fuego, es ORDEN. En las permutaciones, el orden importa, y mucho.
Por ejemplo, si tenemos las letras A, B, C, los arreglos {A, B} y {B, A} son dos permutaciones diferentes porque el orden de los elementos es distinto. Si estuviéramos hablando de un comité (donde el orden no importa), serían lo mismo, pero para una contraseña, "AB" es muy diferente de "BA".
Permutación
Una permutación de un conjunto de elementos es una disposición de dichos elementos teniendo en cuenta el orden. Se refiere al número de formas distintas en que se pueden ordenar los elementos de un conjunto o subconjunto.
Antes de lanzarnos a las fórmulas, es vital conocer a uno de los pioneros cuyo trabajo sentó las bases de la probabilidad y la combinatoria, áreas donde las permutaciones son reinas.
Blaise Pascal
1623-1662
Aunque es más famoso por su "Triángulo de Pascal" (increíblemente útil en combinaciones y el binomio de Newton) y sus trabajos sobre la presión atmosférica, el filósofo y matemático francés Blaise Pascal, junto con Pierre de Fermat, fue pionero en la teoría de la probabilidad. Al resolver problemas de juegos de azar, desarrollaron métodos sistemáticos para contar resultados posibles, sentando las bases formales de la combinatoria, el campo que alberga a las permutaciones.
El Pilar de las Permutaciones: El Factorial
No podemos dar un solo paso en el mundo de las permutaciones sin entender su operación fundamental: el factorial. Es el ladrillo con el que construiremos todos nuestros cálculos.
El factorial de un número entero no negativo \(n\), denotado como \(n!\), es el producto de todos los números enteros positivos menores o iguales que \(n\). Es una forma de calcular rápidamente cuántas maneras hay de ordenar \(n\) objetos distintos.
Factorial de un Número (n!)
Para un entero \(n \ge 1\), el factorial se define como:
\[n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1\]
Por ejemplo, \(5!\) (leído como "cinco factorial") sería:
\[5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\]
⚠️ Punto Importante: El Caso Especial de 0!
Por convención matemática, y para que muchas fórmulas de combinatoria funcionen, se define un caso especial:
\[0! = 1\]
Esto parece extraño, pero tiene sentido: ¿De cuántas formas puedes ordenar "cero" objetos? Hay una sola forma de hacerlo (no haciendo nada). Si \(0! = 0\), muchas fórmulas clave, como la de \(P(n,n)\), se romperían.
Piensa en \(5!\) como el número de formas de ordenar 5 libros distintos en una estantería. Tienes 5 opciones para el primer lugar, 4 para el segundo, 3 para el tercero, y así sucesivamente. El factorial es simplemente la formalización de este principio multiplicativo.
Tipos de Permutaciones: La Guía Completa
No todas las situaciones de "ordenamiento" son iguales. ¿Podemos repetir elementos? ¿Estamos usando todos los elementos disponibles? ¿Están los elementos en un círculo? Dependiendo de la respuesta, usaremos un tipo diferente de permutación. Vamos a clasificarlas.
1. Permutaciones Sin Repetición (Permutaciones Ordinarias)
Este es el tipo más común y directo. Se da cuando tenemos \(n\) elementos distintos y queremos ordenarlos, sin que ninguno se repita en el arreglo. Se divide en dos casos:
A. Permutaciones de todos los elementos (n=r)
Aquí queremos ordenar todos los \(n\) elementos que tenemos. La pregunta es: ¿de cuántas formas podemos ordenar \(n\) objetos distintos?
La lógica es la que vimos con el factorial:
- Para la primera posición, tenemos \(n\) opciones.
- Para la segunda, nos quedan \(n-1\) opciones.
- Para la tercera, \(n-2\) opciones.
- ...hasta que para la última posición solo nos queda 1 opción.
Fórmula de Permutaciones de n elementos
El número de permutaciones de \(n\) elementos distintos, denotado como \(P_n\), es igual a \(n!\).
\[P_n = n!\]
Ejemplo 1: Ordenando libros en una estantería
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 6 libros distintos en una estantería?
Solución:
1. Identificar el problema: Queremos ordenar un conjunto de 6 libros. Todos los libros son distintos y los vamos a usar todos. El orden en que los coloquemos crea un arreglo diferente.
2. Seleccionar la fórmula: Estamos ordenando \(n\) elementos distintos, usando todos ellos. Este es un caso de \(P_n = n!\).
3. Aplicar los datos: Aquí, \(n = 6\).
4. Calcular:
\[P_6 = 6!\]
\[6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\]
Respuesta: Existen 720 maneras diferentes de ordenar los 6 libros en la estantería.
B. Permutaciones de r elementos tomados de n (n > r)
Este escenario es muy común. Tenemos un conjunto grande de \(n\) elementos, pero solo queremos tomar \(r\) de ellos y ordenarlos. Piensa en una carrera con 10 corredores (\(n=10\)) y queremos saber de cuántas formas se puede conformar el podio (oro, plata, bronce, \(r=3\)).
La lógica es similar:
- Para el primer puesto (oro), hay \(n=10\) opciones.
- Para el segundo (plata), quedan \(n-1=9\) opciones.
- Para el tercero (bronce), quedan \(n-2=8\) opciones.
El total sería \(10 \times 9 \times 8\). ¿Cómo formalizamos esto?
Fórmula de Permutaciones de r elementos (nPr)
El número de formas de ordenar \(r\) elementos seleccionados de un conjunto de \(n\) elementos distintos se denota como \(P(n, r)\), \(_nP_r\), o \(V_{n,r}\) (variaciones). La fórmula es:
\[P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\]
Si aplicamos esto a nuestro ejemplo de la carrera (\(n=10, r=3\)):
\[P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\]
¡Funciona perfectamente!
Ejemplo 2: Elecciones en un club
En un club con 12 miembros, se debe elegir una junta directiva compuesta por un Presidente, un Vicepresidente y un Secretario. ¿De cuántas maneras se puede formar esta junta?
Solución:
1. Identificar el problema: Tenemos un conjunto de 12 personas (\(n=12\)). Queremos seleccionar y ordenar un subconjunto de 3 personas (\(r=3\)).
2. ¿Por qué es una permutación? Porque el orden importa. No es lo mismo ser Presidente que Secretario. {Ana=Pres, Beto=Vice} es diferente de {Beto=Pres, Ana=Vice}.
3. Seleccionar la fórmula: Usamos la fórmula de \(P(n, r)\).
4. Aplicar los datos: \(n = 12\) y \(r = 3\).
5. Calcular:
\[P(12, 3) = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!}\]
\[\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{9!} = 12 \times 11 \times 10 = 1320\]
Respuesta: Hay 1320 maneras diferentes de formar la junta directiva.
Ejemplo 3: Creando un código de seguridad
¿Cuántos códigos de 4 dígitos se pueden formar con los números {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} si no se puede repetir ningún dígito?
Solución:
1. Identificar el problema: Tenemos un conjunto de 7 números (\(n=7\)). Queremos crear códigos (arreglos ordenados) de 4 dígitos (\(r=4\)).
2. ¿Por qué es una permutación? Porque el código "1234" es diferente del código "4321". El orden es la esencia del código. La restricción "no se puede repetir" nos confirma que es una permutación sin repetición.
3. Seleccionar la fórmula: Usamos \(P(n, r)\).
4. Aplicar los datos: \(n = 7\) y \(r = 4\).
5. Calcular:
\[P(7, 4) = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!}\]
\[\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840\]
Respuesta: Se pueden formar 840 códigos diferentes de 4 dígitos.
2. Permutaciones Con Repetición
¿Qué pasa si los elementos no son todos distintos? Piensa en la palabra "CASA". Si intercambiamos las dos "A", la palabra sigue siendo "CASA". La fórmula \(n!\) sobrestimaría el número de arreglos únicos.
Cuando tenemos \(n\) elementos en total, pero hay \(n_1\) elementos idénticos de un tipo, \(n_2\) de otro tipo, y así sucesivamente hasta \(n_k\), la fórmula se ajusta.
La idea es simple: calculamos el total de permutaciones como si todos fueran distintos (\(n!\)) y luego "dividimos" o "eliminamos" las permutaciones duplicadas que se generan por los elementos idénticos. ¿Cómo? Dividiendo por el factorial de la cantidad de cada elemento repetido.
Fórmula de Permutaciones con Repetición
El número de permutaciones de \(n\) elementos, donde hay \(n_1\) elementos idénticos de un tipo, \(n_2\) de un segundo tipo, ..., y \(n_k\) de un k-ésimo tipo (tal que \(n_1 + n_2 + ... + n_k = n\)), es:
\[PR_n^{n_1, n_2, ..., n_k} = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!}\]
Ejemplo 4: Anagramas de la palabra 'CASA'
¿Cuántos anagramas (permutaciones de letras) se pueden formar con la palabra "CASA"?
Solución:
1. Identificar el problema: Queremos ordenar las letras de "CASA".
2. Analizar los elementos:
- Total de letras (\(n\)): 4
- Letras repetidas: La 'A' aparece 2 veces (\(n_1 = 2\)).
- Letras únicas: La 'C' (1 vez) y la 'S' (1 vez). (No es necesario incluirlas en el denominador como 1!, ya que 1! = 1).
3. Seleccionar la fórmula: Usamos la fórmula de Permutaciones con Repetición.
4. Aplicar los datos: \(n = 4\), \(n_1 = 2\) (para las 'A').
5. Calcular:
\[PR_4^{2} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 4 \times 3 = 12\]
Respuesta: Se pueden formar 12 anagramas distintos. (Listémoslos para comprobar: CASA, CAAS, CSAA, ACAS, ACSA, AACS, SACA, SAAC, SCAA, ASCA, ASAC, AASC. Son 12.)
Ejemplo 5: Anagramas de la palabra 'MATEMATICAS'
¿Cuántos anagramas se pueden formar con la palabra "MATEMATICAS"?
Solución:
1. Identificar el problema: Ordenar las letras de "MATEMATICAS".
2. Analizar los elementos:
- Total de letras (\(n\)): 11
- Repetidas 'M': 2 veces (\(n_1 = 2\))
- Repetidas 'A': 3 veces (\(n_2 = 3\))
- Repetidas 'T': 2 veces (\(n_3 = 2\))
- Únicas 'E', 'I', 'C', 'S': 1 vez cada una.
3. Seleccionar la fórmula: Permutaciones con Repetición.
4. Aplicar los datos: \(n = 11\), \(n_1 = 2\), \(n_2 = 3\), \(n_3 = 2\).
5. Calcular:
\[PR_{11}^{2, 3, 2} = \frac{11!}{2! \times 3! \times 2!}\]
\[\frac{11!}{2 \times (3 \times 2 \times 1) \times 2} = \frac{11!}{2 \times 6 \times 2} = \frac{11!}{24}\]
\[\frac{39,916,800}{24} = 1,663,200\]
Respuesta: Se pueden formar 1,663,200 anagramas distintos con la palabra "MATEMATICAS". ¡Imagina eso! 🤯
3. Permutaciones Circulares
Este es un caso especial y muy interesante. ¿Qué pasa si ordenamos los elementos no en una línea, sino en un círculo, como amigos alrededor de una fogata?
En una línea, el arreglo {A, B, C} es diferente de {B, C, A} y {C, A, B}. Pero en un círculo, si A está a la izquierda de B, y B a la izquierda de C, y C a la izquierda de A, ¡los tres arreglos son idénticos! Todos tienen a B a su derecha y a C a su izquierda.
Para resolver esto, usamos un truco: fijamos un elemento. Tomamos a una persona (por ejemplo, 'A') y la sentamos. Ella se convierte en nuestro punto de referencia. Ahora, solo tenemos que ordenar a las \(n-1\) personas restantes en los \(n-1\) asientos que quedan. Y esto, como ya sabemos, se puede hacer de \((n-1)!\) maneras.
Fórmula de Permutaciones Circulares
El número de maneras distintas de ordenar \(n\) elementos distintos en un círculo se denota como \(PC_n\).
\[PC_n = (n-1)!\]
Ejemplo 6: Amigos en una mesa redonda
¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 amigos alrededor de una mesa redonda?
Solución:
1. Identificar el problema: Queremos ordenar 5 personas (\(n=5\)) en una disposición circular.
2. ¿Por qué circular? Porque las posiciones son relativas entre sí, no hay un "inicio" o "fin" como en una fila.
3. Seleccionar la fórmula: Usamos Permutaciones Circulares \(PC_n = (n-1)!\).
4. Aplicar los datos: \(n = 5\).
5. Calcular:
\[PC_5 = (5-1)! = 4!\]
\[4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\]
Respuesta: Hay 24 maneras distintas de sentar a los 5 amigos alrededor de la mesa. (Nota: Si fueran 5 sillas en fila, ¡serían \(5! = 120\) maneras!).
La Gran Duda: ¿Permutaciones o Combinaciones? 🤯
Este es, sin duda, el punto de mayor confusión para los estudiantes. Es la pregunta del millón en combinatoria, y dominarla te pondrá por delante del 90% de las personas.
La diferencia se reduce a una sola pregunta: ¿Importa el orden?
💡 Permutación vs. Combinación: La Clave
La diferencia se reduce a una sola pregunta: ¿Importa el orden?
- PERMUTACIÓN = SÍ importa el orden.
- Un candado de "combinación" (9-1-1 es diferente de 1-1-9).
- Una carrera (Oro: Ana, Plata: Beto es diferente de Oro: Beto, Plata: Ana).
- Un anagrama ("AMOR" es diferente de "ROMA").
- COMBINACIÓN = NO importa el orden.
- Un comité ({Ana, Beto} es el mismo comité que {Beto, Ana}).
- Una mano de póker ({As, Rey} es la misma mano que {Rey, As}).
- Elegir ingredientes ({Lechuga, Tomate} es la misma ensalada que {Tomate, Lechuga}).
La fórmula de combinaciones (que veremos en otro artículo) es \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\). Nota que es la fórmula de permutaciones \(P(n,r)\) pero dividida por \(r!\). Literalmente, estamos "eliminando" las \(r!\) formas de ordenar los \(r\) elementos que elegimos, porque no nos importan.
Ejemplo 7: La diferencia clave (Comité vs. Carrera)
De un grupo de 10 personas, queremos:
A) Elegir un comité de 3 personas.
B) Elegir un ganador de medalla de oro, uno de plata y uno de bronce en una carrera.
Solución:
Parte A (Comité):
- ¿Importa el orden? No. Un comité de {Juan, María, Luis} es el mismo que {María, Juan, Luis}.
- ¿Qué es? Es una Combinación.
- Cálculo: \(C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\) maneras.
Parte B (Carrera):
- ¿Importa el orden? Sí. (Oro: Juan, Plata: María) es un resultado totalmente diferente de (Oro: María, Plata: Juan).
- ¿Qué es? Es una Permutación.
- Cálculo: \(P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\) maneras.
Conclusión: Hay muchas más permutaciones que combinaciones, porque cada grupo único (combinación) puede ser ordenado de múltiples formas (permutaciones).
Aplicaciones Reales de las Permutaciones
Las permutaciones no son solo para problemas de libros de texto. Son la columna vertebral de muchos sistemas de ingeniería, física y computación.
- Criptografía y Seguridad: El número de permutaciones de un conjunto de caracteres determina la "fuerza" de una contraseña. Un ataque de "fuerza bruta" intenta probar todas las permutaciones posibles. Cuanto más largo (más \(n\)) y más complejo (más tipos de caracteres), ¡el factorial explota!
- Ingeniería de Software: Los algoritmos de ordenamiento (como *quicksort* o *mergesort*) están, en esencia, encontrando la permutación "correcta" de un conjunto de datos. El análisis de su eficiencia (el famoso \(O(n \log n)\)) se basa en la teoría de permutaciones.
- Redes y Comunicaciones: En el enrutamiento de paquetes, los protocolos deben decidir el "orden" óptimo para enviar datos a través de diferentes nodos de una red, un problema que se puede modelar con permutaciones.
- Biología (Bioinformática): Al secuenciar el genoma, los científicos analizan las permutaciones de las bases nitrogenadas (A, T, C, G) para entender mutaciones y estructuras genéticas.
- Física Estadística: En termodinámica, el estado de un sistema (como un gas) se describe por las posibles permutaciones (microestados) de sus partículas. Esto es fundamental para entender la entropía.
Ejercicios Avanzados Resueltos (Paso a Paso)
Vamos a subir el nivel. Los problemas de permutaciones a menudo incluyen restricciones. La clave es "agrupar" y "restar".
Ejemplo 8: Permutación con condición (Letras juntas)
¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra "INGENIERO" si las tres "I" deben estar siempre juntas?
Solución:
1. Identificar el problema: Es una permutación de "INGENIERO" con una restricción (las "III" van juntas).
2. Aplicar la restricción (El truco del bloque): Si las tres "I" deben estar juntas, las trataremos como un solo bloque: (III).
3. Analizar los nuevos elementos: Ahora nuestros elementos a ordenar son: (III), N, G, E, N, E, R, O.
- Total de "elementos" a ordenar (\(n\)): 8 (el bloque (III) cuenta como 1).
4. Analizar repeticiones dentro de los nuevos elementos:
- La 'N' se repite 2 veces (\(n_1 = 2\)).
- La 'E' se repite 2 veces (\(n_2 = 2\)).
5. Calcular las permutaciones del bloque: Usamos la fórmula de Permutaciones con Repetición para estos 8 elementos.
\[P_{externas} = \frac{8!}{2! \times 2!} = \frac{40,320}{2 \times 2} = \frac{40,320}{4} = 10,080\]
6. Analizar el interior del bloque (Paso crucial): Ahora miramos dentro del bloque (III). ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras I, I, I?
- \(P_{internas} = \frac{3!}{3!} = 1\). Solo hay una forma.
(Si la palabra fuera "MURCIELAGO" y "AEI" debieran ir juntas, este paso sería \(3! = 6\), porque A, E, I son distintas).
7. Resultado final: El número total de arreglos es (Permutaciones externas) × (Permutaciones internas).
\[Total = 10,080 \times 1 = 10,080\]
Respuesta: Hay 10,080 maneras de ordenar las letras de "INGENIERO" con las tres "I" juntas.
Ejemplo 9: Permutación circular con condición
Seis personas, Ana, Beto, Carla, David, Elena y Félix, se sientan en una mesa redonda.
A) ¿De cuántas formas se pueden sentar?
B) ¿De cuántas formas se pueden sentar si Ana y Beto deben sentarse siempre juntos?
Solución:
Parte A (Sin restricciones):
Este es un caso estándar de Permutación Circular con \(n=6\).
\[PC_6 = (6-1)! = 5! = 120\]
Respuesta A: Hay 120 maneras de sentarlos.
Parte B (Con restricción):
1. Aplicar la restricción (El truco del bloque): Si Ana y Beto deben estar juntos, los tratamos como un solo "bloque" o entidad: (Ana-Beto).
2. Analizar los nuevos elementos: Ahora tenemos 5 "elementos" para sentar en la mesa redonda: (Ana-Beto), Carla, David, Elena, Félix.
3. Calcular las permutaciones circulares del bloque: Aplicamos la fórmula \(PC_n = (n-1)!\) a estos 5 elementos.
\[PC_5 = (5-1)! = 4! = 24\]
Estas son las 24 maneras de ordenar los 4 individuos y el "bloque" (A-B) alrededor de la mesa.
4. Analizar el interior del bloque: Ahora, miramos dentro del bloque (Ana-Beto). En el asiento que ocupa el bloque, ¿de cuántas formas se pueden sentar Ana y Beto?
- Pueden sentarse como (Ana, Beto).
- Pueden sentarse como (Beto, Ana).
Hay \(2! = 2\) permutaciones internas.
5. Resultado final: El total es (Permutaciones circulares externas) × (Permutaciones internas).
\[Total = 24 \times 2 = 48\]
Respuesta B: Hay 48 maneras de sentarlos si Ana y Beto deben estar juntos.
🚀 ¡Excelente Trabajo! Tu Siguiente Paso
¡Felicidades! 🥳 Has completado un viaje profundo por el mundo de las permutaciones. Hemos visto que no son solo fórmulas abstractas, sino herramientas poderosas para contar y organizar el mundo que nos rodea.
Has aprendido que:
- El orden es el concepto clave que define a una permutación.
- El factorial (\(n!\)) es la operación fundamental para contar arreglos.
- Las permutaciones se dividen según si hay repetición, si se usan todos los elementos, o si son circulares.
.
Este tema es una pieza clave de nuestro artículo pilar sobre Probabilidad y Estadística. Ahora que dominas las permutaciones (donde el orden SÍ importa), el siguiente paso lógico es sumergirte de lleno en el mundo de las Combinaciones (donde el orden NO importa).
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