¿Qué es el Factorial? - Ejercicios Resueltos

En el vasto universo de las matemáticas, existen conceptos que, aunque parecen simples a primera vista, abren puertas a una complejidad y elegancia asombrosas. Uno de estos pilares fundamentales es el factorial de un número. Representado por un simple signo de exclamación (¡así!), el factorial es una herramienta indispensable que va mucho más allá de una simple operación de multiplicación. Es el lenguaje base de la combinatoria, un ingrediente esencial en el cálculo infinitesimal y una pieza clave en la física estadística.

Si alguna vez te has preguntado de cuántas maneras diferentes puedes ordenar tu colección de libros, cómo las calculadoras aproximan funciones complejas como el seno o el coseno, o incluso cómo se define el famoso número \(e\), la respuesta, en gran parte, involucra a los factoriales. 🤯

¿Qué es el Factorial de un Número? (La Definición Fundamental)

Empecemos por el principio. El concepto del factorial es, en esencia, una forma abreviada de escribir una multiplicación de números enteros consecutivos.

La fórmula para el factorial de un número \(n\) (donde \(n \ge 1\)) es:

\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1 \]

Por ejemplo, si queremos calcular el factorial de 5 (escrito como \(5!\)), simplemente multiplicamos:

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

Es una operación que nos dice cuántas formas hay de "agotar" un conjunto de \(n\) elementos uno por uno. Una característica clave del factorial es su naturaleza recursiva. Observa que \(5! = 5 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)\), y que la parte entre paréntesis es simplemente \(4!\). Esto nos da una definición recursiva muy elegante:

\[ n! = n \times (n-1)! \]

Esta definición será crucial para entender los casos especiales, como veremos más adelante.

Para tener una idea de cuán rápido crece la función factorial, aquí tienes una pequeña tabla con los primeros valores:

• \(0! = 1\) (Lo explicaremos en breve, ¡es un caso muy especial!)
• \(1! = 1\)
• \(2! = 2 \times 1 = 2\)
• \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
• \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
• \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
• \(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\)
• \(7! = 7 \times \dots \times 1 = 5,040\)
• \(8! = 8 \times \dots \times 1 = 40,320\)
• \(9! = 9 \times \dots \times 1 = 362,880\)
• \(10! = 10 \times \dots \times 1 = 3,628,800\)

Como puedes ver, el crecimiento es exponencialmente rápido. Mientras que \(10!\) es un número manejable, \(20!\) ya tiene 19 dígitos, y \(70!\) es un número tan grande (¡más de 100 dígitos!) que supera la capacidad de la mayoría de las calculadoras estándar.

Cómo Calcular el Factorial: Ejemplos Guiados

Calcular factoriales para números pequeños es sencillo. Lo importante es entender la mecánica de la operación y, más crucialmente, cómo simplificar expresiones que los contienen.

Solución:

Usando la definición, \(n!\) es el producto de todos los enteros desde 1 hasta \(n\). Para \(n=4\):

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

Realizamos la multiplicación paso a paso:

\(4 \times 3 = 12\)
\(12 \times 2 = 24\)
\(24 \times 1 = 24\)

Por lo tanto, \(4! = 24\).

Solución:

Podríamos calcular \(8!\) (que es 40,320) y \(5!\) (que es 120) y luego dividir. Sin embargo, esto es ineficiente y propenso a errores. Un método mucho más inteligente es usar la propiedad recursiva.

Recordemos que \(n! = n \times (n-1)!\). Podemos "expandir" el factorial más grande hasta que coincida con el más pequeño.

Expandimos \(8!\) de la siguiente manera:

\[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \]

Reconocemos que \((5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)\) es simplemente \(5!\). Así que podemos reescribir la expresión:

\[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! \]

Ahora, sustituimos esto en nuestra fracción original:

\[ \frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} \]

El término \(5!\) aparece tanto en el numerador como en el denominador, por lo que podemos cancelarlos:

\[ = 8 \times 7 \times 6 \]

Ahora solo queda una multiplicación simple:

\(8 \times 7 = 56\)
\(56 \times 6 = 336\)

Por lo tanto, \(\frac{8!}{5!} = 336\). Este método es fundamental para trabajar con las fórmulas de combinatoria.

Casos Especiales y Propiedades Clave del Factorial

La definición de \(n!\) como \(n \times (n-1) \times \dots \times 1\) funciona perfectamente para \(n \ge 2\). Pero, ¿qué pasa con \(1!\), \(0!\) o incluso números negativos?

El Factorial de Uno (1!)

Este es el caso más simple. Siguiendo la fórmula:

\[ 1! = 1 \]

No hay más números que multiplicar. El producto es simplemente 1.

El Factorial de Cero (0!): Una Definición Crucial

Este es uno de los puntos que más confunde a los estudiantes. ¿Por qué \(0! = 1\)? Parece antiintuitivo. El producto de "ningún número" debería ser 0, ¿verdad? Pues no.

¿Existe el Factorial de un Número Negativo?

Usando la definición estándar, no. La definición \(n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1\) solo se aplica a enteros no negativos. ¿Qué pasa si intentamos usar nuestra fórmula recursiva \((n-1)! = \frac{n!}{n}\) para encontrar \((-1)!\)?

Probemos con \(n=0\):

\[ (0-1)! = \frac{0!}{0} \]
\[ (-1)! = \frac{1}{0} \]

¡Hemos obtenido una división por cero! Esto nos indica que el factorial no está definido para \(-1\), y por extensión, tampoco para ningún otro entero negativo (\(-2)!\), \(-3)!\), etc.).

¿Y el Factorial de una Fracción (como 1/2)?

La definición básica tampoco se aplica aquí. ¿Cómo multiplicas \(0.5 \times -0.5 \times -1.5 \dots\)? No tiene sentido. Durante siglos, el factorial fue un concepto exclusivo de los enteros no negativos.

...Hasta que llegó uno de los grandes de la historia.

Extendiendo el Concepto: La Función Gamma (El Factorial Generalizado) 🌀

El problema de encontrar un "factorial" para números no enteros intrigó a los matemáticos durante mucho tiempo. La solución fue encontrada por el legendario Leonhard Euler en el siglo XVIII.

Esta función se conoce hoy como la Función Gamma, denotada por la letra griega mayúscula Gamma, \(\Gamma(z)\).

Esta definición parece increíblemente complicada, pero tiene una propiedad mágica que lo cambia todo. Si integramos por partes, podemos demostrar que:

\[ \Gamma(z+1) = z \cdot \Gamma(z) \]

¿Te suena esta fórmula? Es exactamente la misma propiedad recursiva que tenía el factorial: \(n! = n \cdot (n-1)!\).

Ahora, veamos qué pasa si calculamos \(\Gamma(1)\):

\[ \Gamma(1) = \int_{0}^{\infty} t^{1-1} e^{-t} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{\infty} = (0) - (-e^0) = 1 \]

¡\(\Gamma(1) = 1\)! Sabiendo esto, podemos encontrar los otros valores enteros:

• \(\Gamma(2) = 1 \cdot \Gamma(1) = 1\)
• \(\Gamma(3) = 2 \cdot \Gamma(2) = 2 \times 1 = 2\)
• \(\Gamma(4) = 3 \cdot \Gamma(3) = 3 \times 2 = 6\)

Lo que descubrimos es la conexión dorada:

\[ \Gamma(n) = (n-1)! \]

O, de forma más directa, si queremos el factorial de \(n\), calculamos \(\Gamma(n+1)\):

\[ n! = \Gamma(n+1) \]

Esta función Gamma está definida para (casi) todos los números: enteros, fracciones, irracionales e incluso complejos. Nos permite, por fin, dar sentido a la pregunta: ¿cuánto es el factorial de \(1/2\)?

\[ \left(\frac{1}{2}\right)! = \Gamma\left(\frac{1}{2} + 1\right) = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \]

Usando la propiedad \(\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)\), tenemos \(\Gamma(3/2) = \frac{1}{2}\Gamma(1/2)\).

El valor de \(\Gamma(1/2)\) es un resultado famoso en matemáticas, que se obtiene resolviendo la integral \(\int_{0}^{\infty} t^{-1/2} e^{-t} dt\), y su valor es \(\sqrt{\pi}\).

Por lo tanto:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)! = \frac{1}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0.886 \]

Aplicaciones Fundamentales del Factorial: ¿Dónde se Usa? 🚀

Aunque la Función Gamma es fascinante, el verdadero poder del factorial (en su forma de entero) reside en sus aplicaciones prácticas. El factorial es el corazón del conteo.

🥇 Combinatoria y Permutaciones: Contando Posibilidades

Esta es la aplicación más directa e intuitiva. El campo de la combinatoria responde a la pregunta "¿cuántas...?"

Permutaciones (El Orden Importa)

Una permutación es una forma de ordenar un conjunto de objetos. El número de permutaciones de \(n\) objetos distintos es simplemente \(n!\).

¿Por qué? Imagina que tienes 3 libros (A, B, C) para ordenar en una estantería.

• Para la primera posición, tienes 3 opciones (A, B, o C).
• Una vez elegido el primero, te quedan 2 opciones para la segunda posición.
• Una vez elegidos los dos primeros, solo te queda 1 opción para la última posición.

El número total de arreglos es \(3 \times 2 \times 1 = 3! = 6\). Los arreglos son: (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).

Solución:

La palabra "MURCIÉLAGO" tiene 10 letras, y todas son distintas. Estamos buscando el número de formas de ordenar 10 objetos distintos.

Esto es una permutación de 10 elementos.

\[ P_{10} = 10! \]
\[ 10! = 3,628,800 \]

Existen más de 3.6 millones de formas de reordenar las letras de esa palabra.

Solución:

Esto es un problema de combinaciones, no de permutaciones, porque el orden no importa. La fórmula para las combinaciones (el número de formas de elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\)) es:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Aquí, \(n=49\) (números totales) y \(k=6\) (números a elegir).

\[ \binom{49}{6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} \]

Usamos nuestra técnica de simplificación:

\[ = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 \times 43!}{6! \times 43!} \]

Cancelamos el \(43!\):

\[ = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Calculamos el denominador: \(6! = 720\).
Calculamos el numerador: \(10,068,347,520\).

\[ = \frac{10,068,347,520}{720} = 13,983,816 \]

Hay casi 14 millones de combinaciones posibles. ¡El factorial es clave para entender las probabilidades!

🥈 El Número 'e' y el Cálculo Infinitesimal

Una de las apariciones más sorprendentes del factorial está en la definición de uno de los números más importantes de las matemáticas: el número \(e\) (la base del logaritmo natural).

El número \(e\) se puede definir como la suma de una serie infinita que involucra los inversos de los factoriales:

\[ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \]
\[ e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \dots \approx 2.71828\dots \]

Esta serie converge increíblemente rápido (porque el factorial en el denominador crece muy rápido) y es una de las formas más eficientes de calcular el valor de \(e\) con gran precisión. Esta conexión entre \(e\) y los factoriales es profunda y reaparece constantemente en el cálculo.

🥉 Series de Taylor y Maclaurin: Aproximando Funciones

¿Cómo sabe tu calculadora cuánto es \(\sin(0.5)\) o \(e^{1.2}\)? No tiene una tabla gigante; usa polinomios. Específicamente, usa las Series de Taylor.

¡Ahí está el factorial de nuevo! Actúa como un "factor de corrección" para cada término del polinomio. Cuando la serie se centra en \(a=0\), se llama Serie de Maclaurin. Mira las series de las funciones más famosas:

• Función Exponencial: \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \)
• Función Coseno: \( \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \)
• Función Seno: \( \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \)

Los factoriales son, literalmente, los bloques de construcción que nos permiten aproximar casi cualquier función compleja usando solo sumas y restas de potencias.

Solución:

La serie de \(e^x\) es: \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \)

Queremos los primeros tres términos, así que usaremos \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \).

Sustituimos \(x = 0.1\):

\[ e^{0.1} \approx 1 + (0.1) + \frac{(0.1)^2}{2!} \]
\[ \approx 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} \]
\[ \approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105 \]

El valor real de \(e^{0.1}\) es \(1.10517\dots\). ¡Nuestra aproximación con solo tres términos es increíblemente precisa! Todo gracias a la rápida corrección que introduce el factorial.

Conceptos Avanzados y Curiosidades 🧐

El mundo del factorial no termina ahí. Hay varias extensiones y herramientas relacionadas que son vitales en campos más avanzados.

La Aproximación de Stirling: Manejando Factoriales Gigantes

Como vimos, \(70!\) ya es demasiado grande para muchas calculadoras. ¿Qué pasa si un físico estadístico necesita calcular \(10^{23}!\) (el factorial del número de Avogadro)? Es imposible. Necesitamos una aproximación.

La Aproximación de Stirling es:

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

Esta fórmula conecta \(n!\) con otras dos constantes fundamentales: \(\pi\) y \(e\). Es una de las fórmulas más bellas y útiles de toda la matemática, indispensable en física estadística (para contar estados de sistemas de partículas) y en teoría de la probabilidad.

Solución:

El valor real es \(10! = 3,628,800\).
Usemos la fórmula de Stirling con \(n=10\), \(\pi \approx 3.14159\) y \(e \approx 2.71828\).

\[ 10! \approx \sqrt{2 \pi (10)} \left(\frac{10}{e}\right)^{10} \]

Para evitar errores de redondeo, es mejor usar logaritmos (como lo haría una computadora):

\( \ln(10!) \approx \ln(\sqrt{20\pi}) + 10(\ln(10) - \ln(e)) \)
\( \ln(10!) \approx \frac{1}{2}\ln(62.8318) + 10(2.30258 - 1) \)
\( \ln(10!) \approx \frac{1}{2}(4.140) + 10(1.30258) \)
\( \ln(10!) \approx 2.07 + 13.0258 = 15.0958 \)
Ahora, \( e^{15.0958} \approx 3,598,695 \).

Valor Real: \(3,628,800\)
Aprox. Stirling: \(3,598,695\)

Factorial Doble (n!!) y Subfactorial (!n)

• Factorial Doble (n!!): No es el factorial del factorial. Es un producto que salta de dos en dos.
  • Si \(n\) es par: \(n!! = n \times (n-2) \times \dots \times 2\). Ejemplo: \(8!! = 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 384\).
  • Si \(n\) es impar: \(n!! = n \times (n-2) \times \dots \times 1\). Ejemplo: \(7!! = 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105\).

  Aparece en ciertas integrales trigonométricas y en la Función Gamma.

• Subfactorial o Desarreglos (!n): Es el número de permutaciones de \(n\) objetos tal que ningún objeto termina en su posición original. Es el "problema del cartero" (poner N cartas en N sobres y que ninguna sea correcta).
  La fórmula es: \( !n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \). Curiosamente, \( !n \approx \frac{n!}{e} \).