La Hipérbola es la última forma geométrica que se estudia en la geometría analítica. Después de analizar las demás cónicas, lo que finalmente se tiene que comprender es el tema de las hipérbolas. En este artículo hablaremos a fondo sobre la Ecuación de la Hipérbola con Centro en el Origen.

Hipérbola con Centro en el Origen

En algunos textos de varios autores, la hipérbola se define de la siguiente manera:

La Hipérbola es aquél lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos son siempre constantes. 

Elementos y Ecuación de la Hipérbola

La hipérbola cuenta con varios elementos de gran importancia, que nos ayudarán a encontrar ya sea la ecuación general o incluso a partir de la ecuación general obtener sus elementos. Entre los elementos encontramos a los vértices, los focos, lado recto, las asíntotas, los extremos del eje conjugado y el centro.

Tanto para las hipérbolas horizontales, como verticales. Se debe cumplir lo siguiente:

1️⃣ Condición:

\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}

Teniendo en cuenta que:

\displaystyle c>b

\displaystyle c>a

2️⃣ Excentricidad:

\displaystyle e=\frac{c}{a}\left( e>1 \right)

3️⃣ Lado Recto:

\displaystyle \overline{LR}=\frac{2{{b}^{2}}}{a}

Eje transverso: 2a

Eje conjugado: 2b

Eje focal: 2c

🔸 Hipérbola Horizontal

Su eje focal coincide con el eje “x”

Ecuación Canónica

Elementos de la Hipérbola

Los elementos más importantes en la hipérbola son los vértices, focos, extremos del eje conjugado y las ecuaciones de las asíntotas.

1️⃣ Vértices:

\displaystyle V(\pm a,0)

2️⃣ Focos:

\displaystyle V(\pm c,0)

3️⃣ Extremos del eje conjugado:

\displaystyle B(0,\pm b)

4️⃣ Ecuaciones de las asíntotas:

\displaystyle {{l}_{1}}:y=\frac{b}{a}x

\displaystyle {{l}_{2}}:y=-\frac{b}{a}x

🔸 Hipérbola Vertical

Hipérbola Vertical

Su eje focal coincide con el eje “y”

Ecuación Canónica

Ecuación canónica de la hipérbola vertical

Elementos de la Hipérbola

En la hipérbola vertical, se mantienen los mismos elementos que en la hipérbola horizontal. Solo cambian sus fórmulas.

1️⃣ Vértices:

\displaystyle V(0,\pm a)

2️⃣ Focos:

\displaystyle F(0,\pm c)

3️⃣ Extremos del eje conjugado:

\displaystyle B(\pm b,0)

4️⃣ Ecuaciones de las asíntotas:

\displaystyle {{l}_{1}}:y=\frac{a}{b}x

\displaystyle {{l}_{2}}:y=-\frac{a}{b}x

📃 Ejercicios Resueltos de la Hipérbola con Centro en el Origen

Veamos algunos ejemplos resueltos de la hipérbola con centro en el origen.

Ejemplo 1. Determinar los elementos de la hipérbola, cuya ecuación es 9x² – 4y² -36 = 0 

Solución: 

Debemos pasar la ecuación a su forma canónica, para ello lo primero que haremos será mover a -36 al segundo miembro:

\displaystyle 9{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}=36

Vamos a dividir toda la ecuación sobre 36.

\displaystyle \frac{9{{x}^{2}}}{36}-\frac{4{{y}^{2}}}{36}=\frac{36}{36}

Simplificando, esto nos da:

\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{9}=1

Hemos obtenido la ecuación en su forma canónica. Observamos que la ecuación inicia con término positivo en la “x”, lo que se trata de una hipérbola vertical, dónde:

\displaystyle {{a}^{2}}=4

\displaystyle {{b}^{2}}=9

Es decir:

a = 2

b = 3

Aplicando la condición, para obtener el valor de c

\displaystyle c=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}

c = √3

De aquí podemos deducir los elementos de dicha hipérbola:

1️⃣ Obteniendo el Vértice:

\displaystyle V(\pm a,0)

Es decir:

\displaystyle {{V}_{1}}(2,0)

\displaystyle {{V}_{2}}(-2,0)

2️⃣  Obteniendo los Focos:

\displaystyle F(\pm c,0)

Es decir:

\displaystyle {{F}_{1}}(\sqrt{3},0)

\displaystyle {{F}_{2}}(-\sqrt{3},0)

3️⃣ Extremos del eje conjugado:

\displaystyle B(0,\pm b)

Es decir:

\displaystyle {{B}_{1}}(0,3)

\displaystyle {{B}_{2}}(0,-3)

4️⃣ Asíntotas:

Calculando la primer asíntota

\displaystyle {{l}_{1}}:y=\frac{b}{a}x

Sustituyendo:

\displaystyle {{l}_{1}}:y=\frac{3}{2}x

Igualando a cero la ecuación, tenemos:

\displaystyle 3x-2y=0

Calculando la segunda asíntota

\displaystyle {{l}_{2}}:y=-\frac{3}{2}x

Igualando a cero la ecuación, tenemos:

\displaystyle 3x+2y=0

5️⃣ Lado Recto:

\displaystyle \overline{LR}=\frac{2{{b}^{2}}}{a}=\frac{2{{(3)}^{2}}}{2}=9

6️⃣  Excentricidad:

\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}

7️⃣ Gráfica de la Hipérbola:

Hipérbola Vertical