Ecuación de la Parábola con Vértice fuera del Origen

Después de analizar el caso de la parábola con vértice en el origen, ahora toca el estudio de la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen, que es prácticamente muy sencillo si le entendemos desde el comienzo. Así que veamos como resolver este tipo de problemas, pero primero comprendamos como está estructurado los elementos de la parábola.

Veamos la siguiente gráfica:

Contenidos
  1. Elementos y Ecuación de la Parábola con Vértice fuera del Origen
    1. 🔹 Parábola Horizontal con Vértice (h, k)
    2. 🔹 Parábola Vertical con Vértice (h, k)
  2. Ejercicios Resueltos de la Parábola con Vértice fuera del Origen
  3. 🏆 Ejercicios para Practicar con Solución

Elementos y Ecuación de la Parábola con Vértice fuera del Origen

Las parábolas se caracterizan por tener un vértice, un foco, una directriz, una ecuación del eje, el lado recto, la concavidad (hacía donde abre), y finalmente la ecuación ordinaria, todo varía dependiendo del tipo de parábola que tengamos, puede ser una parábola horizontal o una parábola vertical.

🔹 Parábola Horizontal con Vértice (h, k)

Veamos la gráfica

Parábola con Vértice fuera del origen h k

Vemos que se trata de una parábola horizontal, y que su vértice está fuera del origen. Su eje es paralelo al eje "X" y es cóncava hacia la derecha o izquierda, según sea el caso.

Ecuación Ordinaria

La ecuación ordinaria para este tipo de parábola horizontal es la siguiente:

Ecuación Ordinaria de la Parábola Horizontal

Ecuación General

La ecuación general de la parábola es la siguiente:

$\displaystyle C{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0$

Elementos de la parábola

Se considera que la parábola posee su vértice "V" justamente en el punto (h,k) "Note las líneas punteadas color naranja en la gráfica".

1️⃣ Vértice:

$\displaystyle V(h,k)$

2️⃣ Foco:

$\displaystyle F(h+p,k)$

3️⃣ Directriz:

$\displaystyle \overline{D{D}'}:x=h-p$

4️⃣ Lado Recto:

\displaystyle \overline{LR}=\left| 4p \right|

5️⃣ Ecuación del eje:

$\displaystyle y=k$

Concavidad

🔸 Si p > 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia la derecha.

🔸 Si p < 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia la izquierda.

🔹 Parábola Vertical con Vértice (h, k)

Veamos la gráfica:

Parábola Vertical fuera del Origen

Ecuación Ordinaria

La ecuación ordinaria para este tipo de parábola horizontal es la siguiente:

Ecuación General

La ecuación general de la parábola es la siguiente:

$\displaystyle A{{x}^{2}}+Dx+Ey+F=0$

Elementos de la parábola

Se considera que la parábola posee su vértice "V" justamente en el punto (h,k) "Note las líneas punteadas color naranja en la gráfica".

1️⃣ Vértice:

$\displaystyle V(h,k)$

2️⃣ Foco:

$\displaystyle F(h,k+p)$

3️⃣ Directriz:

$\displaystyle \overline{D{D}'}:y=k-p$

4️⃣ Lado Recto:

\displaystyle \overline{LR}=\left| 4p \right|

5️⃣ Ecuación del eje:

$\displaystyle x=h$

Concavidad

🔸 Si p > 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia arriba.

🔸 Si p < 0 entonces se dice que la parábola será cóncava hacia abajo.

Ejercicios Resueltos de la Parábola con Vértice fuera del Origen

Veamos algunos ejemplos resueltos para la parábola con vértice fuera del origen.

Ejemplo 1. Determina la ecuación general de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-5, 2) y (-1, 2) respectivamente. 

Solución:

Si graficamos los dos puntos que nos dan como referencia, que es el vértice y foco podremos saber hacía donde abrirá nuestra parábola, e incluso el tipo de ecuación que usará. Veamos:

Parábolas ejercicio resuelto

Al ver la imagen sabemos que se trata de una parábola que abre hacia la derecha, y que tiene su eje paralelo al eje "x".  Por lo que la ecuación de dicha parábola tendrá la siguiente forma:

$\displaystyle {{(y-k)}^{2}}=4p(x-h)$

Si el vértice tiene coordenadas (-5 ,2)

Entonces:

h = -5

k = 2

El foco tiene coordenadas ( -1 , 2), la distancia que hay desde el vértice al foco es de 4 unidades, lo podemos medir gráficamente o lo podemos calcular mediante su fórmula, veamos:

$\displaystyle F(h+p,k)$

Si sabemos que:

$\displaystyle h+p=-1$

Pero también sabemos que h = -5

$\displaystyle -5+p=-1$

Despejando a "p"

$\displaystyle p=-1+5=4$

Por lo que

p = 4

Ahora, sustituimos nuestros datos en la fórmula:

$\displaystyle {{(y-k)}^{2}}=4p(x-h)$

$\displaystyle {{(y-2)}^{2}}=4(4)(x-(-5))$

Resolviendo las operaciones básicas

$\displaystyle {{y}^{2}}-4y+4=16x+80$

Igualamos la ecuación a cero

$\displaystyle {{y}^{2}}-4y+4-16x-80=0$

Ordenando y reduciendo:

▶ Resultado:

$\displaystyle {{y}^{2}}-4y-16x-76=0$

Veamos la gráfica de nuestra parábola:

Vértice fuera del origen

Ejemplo 2. Determina los elementos de la parábola (vértice, foco, directriz, eje y lado recto) y grafica x² -2x -16y + 81 = 0

Solución:

Al observar la ecuación de la parábola, podemos darnos cuenta que el término cuadrático lo posee "x", entonces se trata de una parábola horizontal, para comenzar a resolver este tipo de problemas, agrupamos los términos con "y" en el primer miembro de la igualdad.

$\displaystyle {{x}^{2}}-2x=16y-81$

Paso 1: Se completa el trinomio al cuadrado perfecto en el primer miembro, y después se factoriza.

$\displaystyle {{x}^{2}}-2x+1=16y-81+1$

$\displaystyle {{(x-1)}^{2}}=16y-80$

Paso 2: Se factoriza el segundo miembro de la igualdad, tomando como factor común a 16

$\displaystyle {{(x-1)}^{2}}=16(y-5)$

La ecuación que se obtiene es de la forma: (y-k)²=4p (x-h)

Donde:

h = 1

k = 5

p = 4

¿Por qué p = 4?

$\displaystyle \begin{array}{*{35}{l}}
4p=16 \\
p=\frac{16}{4}=4 \\
\end{array}$

Encontrando los elementos de la parábola.

a) Obteniendo el Vértice de la Parábola

Para el vértice, debemos aplicar la fórmula V(h,k)

$\displaystyle V(h,k)=(1,5)$

b) Obteniendo el foco

$\displaystyle F(h,k+p)=(1,5+4)=(1,9)$

$\displaystyle F(1,9)$

c) Obteniendo la directriz

$\displaystyle y=k-p=5-4=1$

$\displaystyle y=1$

d) Obteniendo el Lado Recto

$\displaystyle LR=\left| 4p \right|=\left| 4(4) \right|=\left| 16 \right|=16$

$\displaystyle LR=16$

e) Obteniendo la ecuación del eje

$\displaystyle x=h=1$

$\displaystyle x=1$

f) Obtener la gráfica de la parábola

Parábola con vértice fuera del origen en el plano

🏆 Ejercicios para Practicar con Solución

Ahora es momento de practicar 😀

Problema 3.- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

💥 Ver Solución

 

Carlos julián

Carlos Julián es Ingeniero Mecatrónico, profesor de Física y Matemáticas.

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    13 Comentarios Publicados

  1. francisco valenzuela dice:

    Excelente material. Gracias por compartirlo y nuevamente gracias y felicidades por los ejemplos ilustrativos

  2. Urwik Enrique dice:

    En el ejercicio 2 se equivocó en los valores de h y k. Es al revés de como están puestos en el ejemplo, favor de solucionar

    1. Ya se solucionaron! Saludos

  3. Diego San Martín dice:

    Hola, muy buena explicación sobre la parábola, sin embargo en la solución del ejemplo 2 es un error decir que el termino cuadrático se tiene en "y" y que se trata de una parábola horizontal, realmente el termino cuadrático esta en "x" y corresponde a una parábola vertical, lo que se verifica en el transcurso de la resolución.

    Saludos,

    Diego

    1. Si Diego!!

      Ya hemos corregido el ejercicio.

  4. carolina dice:

    me gusta los ejercicios

  5. Juan Vázquez dice:

    En el ejercicio No. 2 el parrafo donde dice solución. habla de un termino cuadrático en Y y debe decir en "X" y la parabola es vertical no horizontal.
    La solución esta correcta.

    1. Si Juan! Ya lo corregimos.

  6. sofia munevar dice:

    el ultimo ejercicio tiene un error ya que el cuadrado lo tiene el x y es una parabola vertical 🙂

    1. Hola Sofía! Efectivamente estás en lo correcto y ya se modificó el texto.

  7. Lelia dice:

    BUEN DÍA, MUY BIEN LAS EXPLICACIONES, ME PODRÍA DECIR EN QUE SOFTWARE REALIZA LOS GRÁFICOS, POR FAVOR, GRACIAS.

    1. Lelia, todos estos gráficos se realizan a través de Geogebra.

  8. Julieta Herrera dice:

    Excelente material, saludos desde Bolivia

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