Ecuación de la Parábola

Dentro de nuestro estudio de la geometría analítica, nos encontramos con el tema de la Parábola, y este a su vez se derivan en dos grandes secciones. Los problemas de la parábola con vértice en el origen y la parábola con vértice fuera del origen.

Antes de profundizar el tema con ejemplos y ejercicios resueltos. Veamos primero la definición de la Parábola.

La Parábola es el lugar geométrico de aquellos puntos en el plano que se mueven de tal manera que la distancia a un punto llamado foco equidista de una recta fija llamada directriz.

Elementos y Ecuación de una Parábola

Para comprender mucho mejor el tema, veamos la siguiente imagen de las partes de la parábola o elementos de una parábola. Pero comenzaremos con una parábola horizontal.

🔸 Parábola Horizontal

Parábola con Vértice en el origen

En una parábola horizontal el foco “F” está sobre el eje X, y son cóncavas hacia la derecha o a la izquierda.

En nuestra imagen vemos a la letra “p”, que significa parámetro es decir (la distancia del vértice al foco o a la directriz).

Ecuación Canónica

Su ecuación canónica para una parábola horizontal es la siguiente:

Elementos de la Parábola

Se considera que la parábola posee su vértice “V” justamente en el centro (0,0). Entonces sus elementos estarán distribuidas de la siguiente forma:

1️⃣ Foco:

\displaystyle F(p,0)

2️⃣ Directriz: 

\displaystyle \overline{DD'}:x=-p

3️⃣ Ecuación del eje:

\displaystyle y=0

4️⃣ Lado Recto:

\displaystyle \overline{LR}=\left| 4p \right|

Concavidad

🔹 Si p > 0 entonces decimos que la parábola abre hacia la derecha.

🔹 Si p < 0 entonces decimos que la parábola abre hacia la izquierda.

🔸 Parábola Vertical

Parábola Vertical con vértice en el origen

En una parábola vertical el foco “F” está sobre el eje Y, y son cóncavas hacia arriba o hacia abajo.

Ecuación Canónica

Su ecuación canónica para una parábola vertical es la siguiente:

Ecuación Canónica de parábola vertical

Elementos de la Parábola

Se considera que la parábola posee su vértice “V” justamente en el centro (0,0). Entonces sus elementos estarán distribuidas de la siguiente forma:

1️⃣ Foco:

\displaystyle F(0,p)

2️⃣ Directriz: 

\displaystyle \overline{DD'}:y=-p

3️⃣ Ecuación del eje:

\displaystyle x=0

4️⃣ Lado Recto:

\displaystyle \overline{LR}=\left| 4p \right|

Concavidad

🔹 Si p > 0 entonces decimos que la parábola es cóncava hacia arriba.

🔹 Si p < 0 entonces decimos que la parábola es cóncava hacia abajo.

Ejercicios Resueltos de la Ecuación de la Parábola con Vértice en el Origen

Ejemplo 1. Encuentra los elementos y grafica la parábola cuya ecuación es y² – 4x = 0

Solución:

Vamos a escribir la ecuación en la forma canónica, es decir:

\displaystyle {{y}^{2}}=4px

Entonces simplemente despejamos a y², y tendremos lo siguiente:

\displaystyle {{y}^{2}}=4x

Esto quiere decir que al igualar ambas ecuaciones tendremos:

\displaystyle 4px=4x

Simplificando, esto nos queda:

\displaystyle p=1

Por la forma de la ecuación sabemos que se trata de una parábola horizontal, que abre hacia la derecha, porque p > 0, sustituyendo este dato en las fórmulas, sabremos los valores de los elementos.

Foco : F (p, 0) = F (1, 0)

Directriz: x = – p → x = -1

Lado Recto: LR = | 4 (1) | = 4

Eje: y = 0

De forma gráfica tenemos:

Parábola vértice en el origen

Ejemplo 2. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “x” pasa por el punto A(3, 6). determinar la ecuación de la parábola, y la de todos sus elementos.

Solución:

Si la parábola coincide con el eje “x” entonces estamos hablando de una parábola horizontal. Como la curva pasa por el punto A (3, 6), sus coordenadas deben satisfacer dicha ecuación de la parábola, de tal forma que:

\displaystyle {{y}^{2}}=4px

Sustituyendo x = 3 , y = 6 en la ecuación, tenemos:

\displaystyle {{\left( 6 \right)}^{2}}=4p\left( 3 \right)

Esto nos da:

\displaystyle 36=12p

Despejando a “p”

\displaystyle p=\frac{36}{12}=3

Por lo que:

\displaystyle p=3

Con este dato, podemos avanzar sin problemas. Si p = 3, la ecuación de la parábola es:

\displaystyle {{y}^{2}}=4(3)x=12x

Es decir:

a) Ecuación de la parábola

\displaystyle {{y}^{2}}=12x

b) Coordenadas del foco

\displaystyle F(3,0)

c) Ecuación de la directriz

\displaystyle x=-3

d) Longitud del lado recto

\displaystyle LR=|4(3)|=12

e) Gráfica de la parábola

Ecuación de la Parábola

Ejemplo 3. Determine los elementos de la parábola que tiene por ecuación x² = 16y

Solución:

Al observar la ecuación que tiene la forma canónica de x² = 4py, nos indica que es una parábola vertical. Y que además para encontrar al parámetro “p”, solo bastará con igualar ambas ecuaciones como se muestra:

\displaystyle 4py=16y

Simplificando

\displaystyle 4p=16

Despejando “p”

\displaystyle p=\frac{16}{4}=4

Es decir:

\displaystyle p=4

Con este dato del parámetro, podemos encontrar los elementos de la parábola:

a) Ecuación de la parábola

\displaystyle {{x}^{2}}=16y

b) Coordenadas del foco

\displaystyle F(0,4)

c) Ecuación de la directriz

\displaystyle y=-4

d) Longitud del lado recto

\displaystyle LR=|4(4)|=16

e) Gráfica de la parábola

Ecuación ordinaria de la parábola vertical