Dentro de la Ecuación de la Recta , tenemos el caso de la Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos dados , esto a diferencia del tema de la ecuación de la recta punto – pendiente, suelen ser muy similares, a diferencia que tenemos un punto más que hará que nuestra fórmula tenga un aspecto diferente, y aunque no sea muy distinta, se aprecia de la siguiente forma:

Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos

Por geometría se dice que podemos encontrar perfectamente la ecuación, si poseemos dos de sus puntos.  Algunos autores le conocen a esta ecuación, como cartesiana. 

Ecuación de la Recta dado dos puntos

Para entender mucho mejor nuestra fórmula, veamos gráficamente a que nos referimos.

Ante nuestra ecuación, es importante indicar que debemos evitar que el denominador sea cero, por lo que es necesario que:

\displaystyle {{x}_{2}}\ne {{x}_{1}}

Ahora, para entender mucho mejor este tema, veamos los siguientes ejercicios resueltos.

Ejercicios Resueltos de Ecuación de la Recta dado dos puntos

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-3,-1) y B (5, 2) 

Solución:

Para poder darle solución al problema, se resuelve de manera similar al caso del punto – pendiente, simplemente que aquí encontraremos nuestra pendiente a través de los dos puntos, ahora solo necesitamos sustituir nuestros datos en la fórmula.

Para hacerlo más sencillo aún, vamos a poner nuestros datos. Los que tenemos hasta ahora.

\displaystyle {{x}_{1}}=-3

\displaystyle {{y}_{1}}=-1

\displaystyle {{x}_{2}}=5

\displaystyle {{y}_{2}}=2

Ahora sustituimos en la fórmula:

\displaystyle y-(-1)=\left( \frac{-1-2}{-3-5} \right)\left( x-(-3) \right)

Resolviendo las operaciones indicadas

\displaystyle y+1=\left( \frac{-3}{-8} \right)(x+3)

Simplificando aún más

\displaystyle y+1=\left( \frac{3}{8} \right)(x+3)

Pasando el 8 a multiplicar lo del primer miembro, tenemos:

\displaystyle 8(y+1)=3(x+3)

Multiplicando

\displaystyle 8y+8=3x+9

Igualando la ecuación a cero.

▶ Resultado:

\displaystyle 3x-8y+1=0

De forma gráfica tenemos:

Ejemplo 2. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos  A (-2,-1) y B (-10, -5) 

Solución: 

Nuevamente, tenemos que colocar nuestros datos y a partir de ahí, empezar a sustituir en la fórmula, de la siguiente forma:

\displaystyle {{x}_{1}}=-2

\displaystyle {{y}_{1}}=-1

\displaystyle {{x}_{2}}=-10

\displaystyle {{y}_{2}}=-5

Vamos a sustituir estos datos, en nuestra fórmula.

\displaystyle y-(-1)=\left( \frac{-1-(-5)}{-2-(-10)} \right)\left( x-(-2) \right)

Realizando las operaciones indicadas

\displaystyle y+1=\left( \frac{-1+5}{-2+10} \right)\left( x+2 \right)

Simplificando

\displaystyle y+1=\left( \frac{4}{8} \right)\left( x+2 \right)

Luego

\displaystyle 8(y+1)=4(x+2)

Aplicando propiedad distributiva

\displaystyle 8y+8=4x+8

Igualando a cero

▶ Resultado:

\displaystyle 4x-8y=0

De forma gráfica, tenemos: