Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos dados

Dentro de la Ecuación de la Recta , tenemos el caso de la Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos dados , esto a diferencia del tema de la ecuación de la recta punto - pendiente, suelen ser muy similares, a diferencia que tenemos un punto más que hará que nuestra fórmula tenga un aspecto diferente, y aunque no sea muy distinta, se aprecia de la siguiente forma:

Por geometría se dice que podemos encontrar perfectamente la ecuación, si poseemos dos de sus puntos.  Algunos autores le conocen a esta ecuación, como cartesiana. 

Ecuación de la Recta dado dos puntos

Para entender mucho mejor nuestra fórmula, veamos gráficamente a que nos referimos.

Ante nuestra ecuación, es importante indicar que debemos evitar que el denominador sea cero, por lo que es necesario que:

$latex \displaystyle {{x}_{2}}\ne {{x}_{1}}$

Ahora, para entender mucho mejor este tema, veamos los siguientes ejercicios resueltos.

Ejercicios Resueltos de Ecuación de la Recta dado dos puntos

Solución:

Para poder darle solución al problema, se resuelve de manera similar al caso del punto - pendiente, simplemente que aquí encontraremos nuestra pendiente a través de los dos puntos, ahora solo necesitamos sustituir nuestros datos en la fórmula.

Para hacerlo más sencillo aún, vamos a poner nuestros datos. Los que tenemos hasta ahora.

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=-3$

$latex \displaystyle {{y}_{1}}=-1$

$latex \displaystyle {{x}_{2}}=5$

$latex \displaystyle {{y}_{2}}=2$

Ahora sustituimos en la fórmula:

$latex \displaystyle y-(-1)=\left( \frac{-1-2}{-3-5} \right)\left( x-(-3) \right)$

Resolviendo las operaciones indicadas

$latex \displaystyle y+1=\left( \frac{-3}{-8} \right)(x+3)$

Simplificando aún más

$latex \displaystyle y+1=\left( \frac{3}{8} \right)(x+3)$

Pasando el 8 a multiplicar lo del primer miembro, tenemos:

$latex \displaystyle 8(y+1)=3(x+3)$

Multiplicando

$latex \displaystyle 8y+8=3x+9$

Igualando la ecuación a cero.

 Resultado:

$latex \displaystyle 3x-8y+1=0$

De forma gráfica tenemos:

Solución: 

Nuevamente, tenemos que colocar nuestros datos y a partir de ahí, empezar a sustituir en la fórmula, de la siguiente forma:

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=-2$

$latex \displaystyle {{y}_{1}}=-1$

$latex \displaystyle {{x}_{2}}=-10$

$latex \displaystyle {{y}_{2}}=-5$

Vamos a sustituir estos datos, en nuestra fórmula.

$latex \displaystyle y-(-1)=\left( \frac{-1-(-5)}{-2-(-10)} \right)\left( x-(-2) \right)$

Realizando las operaciones indicadas

$latex \displaystyle y+1=\left( \frac{-1+5}{-2+10} \right)\left( x+2 \right)$

Simplificando

$latex \displaystyle y+1=\left( \frac{4}{8} \right)\left( x+2 \right)$

Luego

$latex \displaystyle 8(y+1)=4(x+2)$

Aplicando propiedad distributiva

$latex \displaystyle 8y+8=4x+8$

Igualando a cero

 Resultado:

$latex \displaystyle 4x-8y=0$

De forma gráfica, tenemos: