Elasticidad
Hasta ahora, en nuestro viaje por la mecánica, hemos tratado la mayoría de los objetos (bloques, vigas, planetas) como cuerpos rígidos. Hemos asumido que no se doblan, ni se estiran, ni se comprimen, sin importar la fuerza que les apliquemos. Esta es una suposición útil para aprender las leyes del movimiento, pero en el mundo real... no existe tal cosa como un cuerpo perfectamente rígido.
Cada vez que te paras sobre una tabla, esta se dobla (aunque sea imperceptiblemente). Cada vez que cuelgas un cuadro, el cable se estira. Cada vez que comprimes un resorte, este almacena energía. La Elasticidad es la rama de la física (específicamente de la mecánica de sólidos) que estudia las propiedades de los materiales que les permiten deformarse bajo la acción de fuerzas externas y, crucialmente, recuperar su forma original una vez que esas fuerzas desaparecen.
Esta disciplina es la piedra angular de la ingeniería de materiales, la ingeniería civil y la arquitectura. 🏗️ En esta guía pilar, exploraremos la ley fundamental que gobierna esta propiedad, definiremos los conceptos cruciales de Esfuerzo y Deformación, y finalmente clasificaremos la "rigidez" de los materiales usando los Módulos de Young, de Corte y Volumétrico.
- La Ley Fundamental: Más Allá del Resorte
- Esfuerzo (\(\sigma\)): La Fuerza "Normalizada"
- Deformación (\(\epsilon\)): La Extensión "Normalizada"
- La Ley de Hooke Generalizada: Los Módulos de Elasticidad
- La Curva Esfuerzo-Deformación: La Historia de un Material
- El Coeficiente de Poisson (\(\nu\))
- Ejercicios Resueltos de Elasticidad (Tu Próximo Paso)
- Conclusión: La Física de los Materiales
La Ley Fundamental: Más Allá del Resorte
Cuando la mayoría de la gente piensa en "elasticidad", piensa en un resorte. El primero en describir este fenómeno fue un brillante científico y contemporáneo de Newton.
Robert Hooke
1635-1703
Hooke fue un genio experimental. En 1678, publicó su ley fundamental de la elasticidad, que originalmente formuló como un anagrama en latín: "ceiiinosssttuv". Cuando lo descifró, reveló la frase: "Ut tensio, sic vis", que significa "Como la extensión, así la fuerza". Esta es la ley que hoy lleva su nombre.
En su forma más simple, la que todos aprendemos primero, la ley de Hooke se aplica a un resorte:
\[ F = kx \]
Donde \(F\) es la fuerza aplicada, \(x\) es la distancia que el resorte se estira o comprime desde su posición de equilibrio, y \(k\) es la "constante del resorte" (una medida de su rigidez).
Sin embargo, esta fórmula tiene un problema: ¡solo funciona para ese resorte en particular! Si cortas el resorte a la mitad, su constante \(k\) cambiará. La física necesitaba un principio más general, uno que dependiera de las propiedades intrínsecas del material (acero, goma, madera), no de la geometría del objeto (un resorte, una viga, un cable).
Para hacer esto, los científicos redefinieron los dos lados de la ecuación de Hooke. En lugar de "Fuerza", introdujeron el Esfuerzo. Y en lugar de "Extensión", introdujeron la Deformación.
Esfuerzo (\(\sigma\)): La Fuerza "Normalizada"
Imagina dos cables de acero colgando del techo, uno grueso como un brazo y otro delgado como un hilo de pescar. Si aplicas una fuerza de 100 N a ambos, ¿sentirán lo mismo? No. El hilo delgado estará mucho más "estresado" porque esa fuerza se concentra en un área diminuta.
El Esfuerzo (representado por la letra griega sigma, \(\sigma\)) es el concepto que normaliza esto. No es la fuerza total, sino la fuerza por unidad de área.
Esfuerzo ((sigma))
El Esfuerzo es la medida de la fuerza interna por unidad de área que actúa dentro de un material deformable. Nos dice qué tan "concentrada" está una fuerza.
\[ \sigma = \frac{F_{\perp}}{A} \]
Donde \(F_{\perp}\) es la fuerza perpendicular (o normal) aplicada a la sección transversal, y \(A\) es el área de esa sección. Las unidades del Esfuerzo en el Sistema Internacional son Newtons por metro cuadrado (\(\frac{\text{N}}{\text{m}^2}\)), que se define como un Pascal (Pa).
Hay tres tipos principales de esfuerzo:
- Esfuerzo de Tensión (Tracción): Ocurre cuando las fuerzas "tiran" del material, intentando estirarlo (ej. un cable de grúa).
- Esfuerzo de Compresión: Ocurre cuando las fuerzas "empujan" el material, intentando acortarlo (ej. los pilares de un edificio).
- Esfuerzo Cortante (o de Cizalladura, \(\tau\)): Ocurre cuando las fuerzas son paralelas a la superficie, intentando "cortar" o "deslizar" una capa del material sobre otra (ej. el corte de unas tijeras o un tornillo que une dos placas).
Deformación (\(\epsilon\)): La Extensión "Normalizada"
Ahora veamos el otro lado. Si aplicas el mismo esfuerzo a un cable de 1 metro y a un cable de 10 metros, ¿se estirarán lo mismo? No. El cable de 10 metros se estirará 10 veces más, porque hay más material para "ceder".
La Deformación (representada por épsilon, \(\epsilon\)) normaliza esto. No es el estiramiento total, sino el estiramiento por unidad de longitud.
Deformación Longitudinal ((epsilon))
La Deformación es la medida del cambio relativo en la forma o tamaño de un objeto. Es un número adimensional (no tiene unidades), ya que es una relación entre dos longitudes. A menudo se expresa como un porcentaje.
\[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]
Donde \(\Delta L\) es el cambio en la longitud (cuánto se estiró o comprimió) y \(L_0\) es la longitud original del objeto.
La Ley de Hooke Generalizada: Los Módulos de Elasticidad
Ahora podemos volver a la Ley de Hooke y escribirla en su forma universal. Robert Hooke dijo "Como la extensión, así la fuerza". La física moderna dice:
"La Deformación es directamente proporcional al Esfuerzo."
\[ \sigma \propto \epsilon \]
Para convertir esa proporcionalidad en una igualdad, introducimos una constante. Esta constante ya no depende de la forma del objeto, sino únicamente del material. A esta constante la llamamos Módulo de Elasticidad.
\[ \text{Esfuerzo} = (\text{Módulo}) \times (\text{Deformación}) \]
Dependiendo del tipo de esfuerzo que apliquemos (tensión, corte o volumen), usaremos un módulo diferente.
1. Módulo de Young (E)
Este es el módulo más común. Mide la rigidez de un material frente a la tensión o compresión. Un material con un Módulo de Young alto (como el acero) es muy rígido. Uno con un módulo bajo (como la goma) es muy flexible.
Módulo de Young (E)
El Módulo de Young es la relación entre el esfuerzo de tensión/compresión (\(\sigma\)) y la deformación longitudinal (\(\epsilon\)).
\[ E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{F_{\perp}/A}{\Delta L/L_0} \]
Despejando, podemos reescribir esta fórmula de una manera muy útil para resolver problemas:
\[ \Delta L = \frac{F L_0}{E A} \]
Ejemplo 1: Estiramiento de un Cable de Acero
Un cable de acero de 20 metros de largo (\(L_0\)) y un radio de 0.005 m es parte de un elevador. El cable soporta un peso (fuerza, \(F\)) de 10,000 N. El Módulo de Young del acero es \(E = 200 \times 10^9 \text{ Pa}\). ¿Cuánto se estira el cable (\(\Delta L\))?
Solución:
Queremos encontrar \(\Delta L\). Usamos la fórmula despejada: \(\Delta L = \frac{F L_0}{E A}\).
- Fuerza (\(F\)): \(10,000 \text{ N} = 1 \times 10^4 \text{ N}\)
- Longitud Original (\(L_0\)): \(20 \text{ m}\)
- Módulo de Young (\(E\)): \(200 \times 10^9 \frac{\text{N}}{\text{m}^2}\)
- Área (\(A\)): El cable es un círculo. \(A = \pi r^2 = \pi (0.005 \text{ m})^2 \approx 7.854 \times 10^{-5} \text{ m}^2\)
- Sustituir y Resolver:
\[ \Delta L = \frac{(1 \times 10^4 \text{ N}) \cdot (20 \text{ m})}{(200 \times 10^9 \frac{\text{N}}{\text{m}^2}) \cdot (7.854 \times 10^{-5} \text{ m}^2)} \]
\[ \Delta L = \frac{200,000}{15,708,000} \text{ m} \]
\[ \Delta L \approx 0.0127 \text{ m} \]
El cable se estira 1.27 centímetros.
2. Módulo de Corte o Cizalladura (G)
Este módulo mide la resistencia de un material a ser "cortado" o "distorsionado" por un esfuerzo cortante (\(\tau\)). Imagina empujar la portada de un libro grueso horizontalmente mientras la contraportada está fija en la mesa. El libro se deforma angularmente.
Módulo de Corte (G)
El Módulo de Corte es la relación entre el esfuerzo cortante (\(\tau = F_{\parallel}/A\)) y la deformación por corte (\(\gamma\)), que es el ángulo (en radianes) de la distorsión.
\[ G = \frac{\tau}{\gamma} \]
3. Módulo Volumétrico (B)
Este módulo mide la resistencia de un material a ser comprimido desde todas las direcciones. Es el único módulo que se aplica a los fluidos (líquidos y gases). Mide la "incompresibilidad" de una sustancia. Imagina un submarino en el fondo del océano: la presión del agua (\(P\)) lo comprime, reduciendo su volumen (\(\Delta V\)).
Módulo Volumétrico (B)
El Módulo Volumétrico es la relación entre el cambio de presión (\(\Delta P\), que es el esfuerzo volumétrico) y la deformación volumétrica (\(\Delta V/V_0\)).
\[ B = \frac{-\Delta P}{\Delta V / V_0} \]
(El signo negativo está porque un aumento de presión (\(+\Delta P\)) provoca una disminución de volumen (\(-\Delta V\)).
La Curva Esfuerzo-Deformación: La Historia de un Material
Si tomas una varilla de metal y la estiras en una máquina, registrando el esfuerzo y la deformación en cada punto, obtienes un gráfico que es como la "biografía" de ese material.
- Límite de Proporcionalidad: Es el punto hasta el cual el material obedece perfectamente la Ley de Hooke (\(\sigma = E\epsilon\)). La gráfica es una línea recta.
- Límite Elástico: Es el punto más allá del cual el material ya no regresa a su forma original. Has causado una deformación plástica (permanente).
- Punto de Fluencia: El material "cede" y se estira mucho con poco esfuerzo adicional.
- Esfuerzo Máximo (Resistencia Última): El punto más alto de la curva. Más allá de aquí, el material "se rinde".
- Punto de Fractura: El material se rompe.
El Coeficiente de Poisson (\(\nu\))
Finalmente, hay una última propiedad fascinante. Cuando estiras una liga (deformación axial), ¿qué le pasa a su grosor? Se vuelve más delgada (deformación lateral). El Coeficiente de Poisson (letra griega nu, \(\nu\)) mide esta relación.
Coeficiente de Poisson ((u))
Es la relación adimensional entre la deformación lateral (qué tanto se encoge) y la deformación axial (qué tanto se estira).
\[ \nu = - \frac{\text{Deformación Lateral}}{\text{Deformación Axial}} = - \frac{\Delta d / d_0}{\Delta L / L_0} \]
Este número nos dice qué tan "fluido" es un material bajo esfuerzo. El corcho tiene un \(\nu\) cercano a 0 (no se adelgaza al estirarse), mientras que la goma tiene un \(\nu\) cercano a 0.5 (se adelgaza mucho).
Ejercicios Resueltos de Elasticidad (Tu Próximo Paso)
¡Felicidades! 🦾 Has completado la guía teórica de la Elasticidad. Has aprendido que los cuerpos rígidos son una idealización y que el mundo real está hecho de materiales que responden a las fuerzas estirándose, comprimiéndose y torciéndose, todo gobernado por leyes y módulos precisos.
Ahora que entiendes la teoría del esfuerzo, la deformación y los módulos, es el momento de aplicar estos conceptos para resolver problemas de ingeniería del mundo real. Hemos preparado una colección completa de artículos con ejercicios resueltos para cada uno de estos conceptos.
- Ejercicios Resueltos de Esfuerzo y Deformación
- Guía y Ejercicios de la Ley de Hooke
- Ejercicios Resueltos del Módulo de Young
- Ejercicios Resueltos del Módulo de Corte (Cizalladura)
- Ejercicios Resueltos del Módulo Volumétrico
- Ejercicios Resueltos del Coeficiente de Poisson
- Guía de la Curva Esfuerzo-Deformación y Límite Elástico
Conclusión: La Física de los Materiales
Dominar la Elasticidad es entender la personalidad de los materiales. Te permite responder por qué el acero es bueno para las vigas, por qué la goma es buena para las llantas y por qué el diamante es tan duro. Es la base de todo el diseño estructural y la ciencia de los materiales. ¡Has construido una base sólida para entender cómo se construye nuestro mundo!