Leyes de Kepler - 15 Ejercicios Resueltos + [PDF]

¡Buen día lectores! Para entender cómo se mueve el universo, debemos retroceder antes de Newton y mirar al cielo con los ojos de Johannes Kepler. Hoy no solo aprenderás historia; dominarás las 3 Leyes que rigen el movimiento de planetas, satélites y cometas con ejercicios prácticos.

¿Quién fue Johannes Kepler?

Primera Ley de Kepler: Ley de las Órbitas

Esto define dos puntos clave en la órbita:

• Perihelio: El punto más cercano al Sol.
• Afelio: El punto más lejano al Sol.

Solución:

Las estaciones del año NO dependen de la distancia al Sol (que varía poco en la elipse terrestre), sino de la inclinación del eje terrestre. Sin embargo, en una órbita circular perfecta, la distancia sería constante todo el año, eliminando el perihelio y el afelio.

La Excentricidad (\(e\)): ¿Qué tan "achatada" es la elipse?

No todas las elipses son iguales. Algunas parecen casi círculos y otras parecen cigarros alargados. Kepler definió esto mediante la excentricidad (\(e\)).

• Si \( e = 0 \): La órbita es un Círculo perfecto.
• Si \( 0 < e < 1 \): La órbita es una Elipse.
• Si \( e = 1 \): La trayectoria es una Parábola (el objeto escapa y no regresa).

Segunda Ley de Kepler: Ley de las Áreas

Esta ley explica la velocidad de los planetas. ¿Van siempre a la misma velocidad? La respuesta es NO.

Solución:

En el Perihelio. Según la 2ª Ley, ahí su velocidad es máxima. Como $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, a mayor velocidad, mayor energía cinética.

Velocidad Orbital: ¿Por qué cambia?

Gracias a la segunda ley, sabemos que la velocidad de un planeta no es constante. Esto se debe a la conservación del momento angular.

• En el Perihelio (Cerca del Sol): La gravedad es más fuerte, por lo que el planeta "cae" más rápido alrededor de la estrella. La velocidad es MÁXIMA.
• En el Afelio (Lejos del Sol): La gravedad es más débil y el planeta se mueve más lento. La velocidad es MÍNIMA.

Tercera Ley de Kepler: Ley de los Periodos (Fórmulas)

Aquí entra la matemática fuerte. Esta ley relaciona el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta (Periodo, $T$) con su distancia media al Sol ($r$).

Donde $K$ es una constante que depende de la masa del cuerpo central (el Sol).
Para comparar dos planetas que orbitan la misma estrella, usamos:

✅ Ejercicios Resueltos de la Tercera Ley de Kepler

Vamos a resolver problemas numéricos, que es lo que suelen pedir en los exámenes.

Solución:

Primero convertimos el periodo a segundos:

$T = 27.3 \text{ días} \times 86400 \text{ s/día} = 2.36 \times 10^6 \text{ s}$.

Usamos la fórmula de Newton-Kepler despejada para la Masa ($M$):

\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \Rightarrow M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} \]

Sustituimos ($G = 6.67 \times 10^{-11}$):

\[ M = \frac{4(3.1416)^2 (3.84 \times 10^8)^3}{(6.67 \times 10^{-11})(2.36 \times 10^6)^2} \]

\[ M = \frac{39.48 \times (5.66 \times 10^{25})}{3.71 \times 10^2} \]

\[ M \approx 6.02 \times 10^{24} \text{ kg} \]

Resultado: La masa de la Tierra es aprox. $6 \times 10^{24}$ kg.

Solución:

Usamos la relación de comparación (Tierra=1, Júpiter=2):

\[ \frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} \]

Como usamos años y UA, para la Tierra $\frac{1^2}{1^3} = 1$. Entonces:

\[ \frac{T_J^2}{(5.2)^3} = 1 \Rightarrow T_J^2 = (5.2)^3 \]

\[ T_J = \sqrt{(5.2)^3} = \sqrt{140.6} \approx 11.86 \text{ años} \]

Resultado: Júpiter tarda casi 12 años terrestres en dar una vuelta.

Solución:

Datos:

Luna: $T_L = 27.3$ días, $r_L = 384,000$ km.

Satélite: $T_S = 1$ día (24h). Buscamos $r_S$.

\[ \frac{T_S^2}{r_S^3} = \frac{T_L^2}{r_L^3} \Rightarrow r_S^3 = T_S^2 \cdot \frac{r_L^3}{T_L^2} \]

\[ r_S^3 = (1)^2 \cdot \frac{(384000)^3}{(27.3)^2} = \frac{5.66 \times 10^{16}}{745.3} \]

\[ r_S^3 \approx 7.59 \times 10^{13} \]

\[ r_S = \sqrt[3]{7.59 \times 10^{13}} \approx 42,300 \text{ km} \]

Ojo: Esta es la distancia al centro de la Tierra. Restamos el radio terrestre (6,370 km) para la altura.

$h = 42,300 - 6,370 = 35,930$ km.

Resultado: Debe estar a unos 36,000 km de altura.

Solución:

Usando el sistema simplificado (Años-UA):

\[ T^2 = r^3 \Rightarrow r = \sqrt[3]{T^2} \]

\[ r = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ UA} \]

Resultado: Está a 4 veces la distancia Tierra-Sol.

Solución:

Este problema es ideal para usar el sistema simplificado donde el tiempo se mide en años y la distancia en UA (tomando a la Tierra como referencia).

Fórmula simplificada:

\[ T^2 = r^3 \]

(Válido solo si \(T\) está en años y \(r\) en UA).

Datos: \(T = 76\) años.

Despeje:
\[ r = \sqrt[3]{T^2} \]
\[ r = \sqrt[3]{(76)^2} = \sqrt[3]{5776} \]
\[ r \approx 17.94 \text{ UA} \]

Resultado: Su distancia media es de 17.94 UA (se aleja más allá de Plutón y se acerca más que Venus).

Solución:

Cuidado: La fórmula de Kepler nos da el radio de la órbita (\(r\)) desde el centro de la Tierra. Para hallar la altura (\(h\)), debemos restar el radio terrestre (\(R_T\)).

1. Calculamos el radio orbital (\(r\)):

Despejamos \(r\) de la 3ª Ley:

\[ r = \sqrt[3]{\frac{G M_T T^2}{4\pi^2}} \]

Sustituimos:

\[ r = \sqrt[3]{\frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})(7200)^2}{4(3.1416)^2}} \]

\[ r = \sqrt[3]{\frac{2.06 \times 10^{22}}{39.48}} = \sqrt[3]{5.22 \times 10^{20}} \]

\[ r \approx 8.05 \times 10^6 \text{ m} = 8050 \text{ km} \]

2. Calculamos la altura (\(h\)):

\[ h = r - R_T \]

\[ h = 8050 \text{ km} - 6371 \text{ km} \]

\[ h = 1679 \text{ km} \]

Resultado: El satélite orbita a 1679 km de altura.

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Conclusión

Las leyes de Kepler transformaron la astronomía de una ciencia mística a una ciencia precisa. Recuerda que aunque Kepler describió CÓMO se mueven los planetas, fue Newton quien años después explicó POR QUÉ (la Gravedad).