Multiplicación de Fracciones - Ejercicios Resueltos

¡Qué tal amigos de Fisimat!, cuando hablamos de multiplicar fracciones, a menudo la intuición nos juega una pequeña trampa. A diferencia de la suma y la resta, donde necesitamos denominadores comunes, la multiplicación de fracciones es, sorprendentemente, una de las operaciones más directas y sencillas. De hecho, a menudo se considera la más fácil de las cuatro operaciones básicas con fracciones. Multiplicar fracciones significa tomar una parte de una parte, como, por ejemplo, "la mitad de un tercio" de algo. 🤓

Dominar la multiplicación de fracciones es un paso fundamental en tu desarrollo matemático. Es una habilidad esencial para comprender conceptos más avanzados en álgebra, geometría, probabilidad y cálculo. Además, tiene aplicaciones prácticas en innumerables situaciones cotidianas y profesionales, desde el ajuste de recetas en la cocina hasta el escalado de planos en ingeniería, el cálculo de proporciones en química o la determinación de eficiencias en sistemas robóticos. En este artículo, desglosaremos cómo multiplicar fracciones y te ofreceremos una serie de ejercicios para que consolides tu aprendizaje.

La multiplicación de fracciones sigue una regla muy simple que la distingue de otras operaciones.

Regla General para Multiplicar Fracciones

Para multiplicar dos o más fracciones, simplemente:

1. Multiplica los numeradores entre sí.
2. Multiplica los denominadores entre sí.
3. Simplifica la fracción resultante a su mínima expresión si es posible.

No es necesario encontrar un denominador común.

Solución:

$$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$$
La fracción $\frac{8}{15}$ ya es irreducible.

Multiplicación de Fracciones con Números Enteros

Cuando multiplicamos una fracción por un número entero, podemos considerar el número entero como una fracción con denominador 1.

1. Convierte el número entero a una fracción con denominador 1.
2. Aplica la regla general de multiplicación de fracciones.

Solución:

1. 1. Convertir $5$ a fracción: $\frac{5}{1}$.
   2. Multiplicar:
      $$5 \times \frac{3}{4} = \frac{5}{1} \times \frac{3}{4} = \frac{5 \times 3}{1 \times 4} = \frac{15}{4}$$
   3. Convertir a número mixto (opcional):
      $$\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$$

Multiplicación de Fracciones con Números Mixtos

Para multiplicar fracciones que incluyen números mixtos, es fundamental convertir los números mixtos a fracciones impropias primero.

1. Convierte cada número mixto a una fracción impropia.
2. Aplica la regla general de multiplicación de fracciones.
3. Simplifica el resultado y, si es una fracción impropia, conviértela a número mixto (opcional).

Solución:

1. 1. Convertir $1\frac{1}{2}$ a fracción impropia:
      $$1\frac{1}{2} = \frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2}$$
   2. Multiplicar las fracciones:
      $$\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{2 \times 3} = \frac{6}{6}$$
   3. Simplificar:
      $$\frac{6}{6} = 1$$

Simplificación Previa a la Multiplicación

Para simplificar los cálculos, a menudo es útil simplificar "en cruz" antes de multiplicar. Esto significa dividir un numerador y un denominador (si están en fracciones diferentes) por un factor común.

1. Busca un numerador y un denominador que tengan un factor común (incluso si no están en la misma fracción).
2. Divide ambos por ese factor común.
3. Repite hasta que no queden factores comunes en cruz.
4. Multiplica los numeradores y denominadores resultantes.

Solución:

1. Simplificar 5 (numerador) y 10 (denominador) por 5:
   $$\frac{5 \div 5}{6} \times \frac{3}{10 \div 5} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2}$$
2. Simplificar 3 (numerador) y 6 (denominador) por 3:
   $$\frac{1}{6 \div 3} \times \frac{3 \div 3}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$$
3. Multiplicar los resultados simplificados:
   $$\frac{1 \times 1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$$

Este método es muy útil para evitar trabajar con números grandes y simplificar al final.

Ejercicios Resueltos de Multiplicación de Fracciones

Refuerza tus habilidades con estos ejercicios de multiplicación de fracciones.

Solución

▷ Paso 1 Multiplicar los numeradores.
$$3 \times 1 = 3$$

▷ Paso 2 Multiplicar los denominadores.
$$4 \times 2 = 8$$

▷ Paso 3 Formar la fracción resultante.
$$\frac{3}{8}$$
Esta fracción ya es irreducible.

Por lo tanto, $\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.

Solución

Utilizaremos la simplificación previa a la multiplicación.

▷ Paso 1 Simplificar en cruz.
El 5 (numerador de la primera) y el 15 (denominador de la segunda) son divisibles por 5:
$$\frac{5 \div 5}{7} \times \frac{14}{15 \div 5} = \frac{1}{7} \times \frac{14}{3}$$
El 14 (numerador de la segunda) y el 7 (denominador de la primera) son divisibles por 7:
$$\frac{1}{7 \div 7} \times \frac{14 \div 7}{3} = \frac{1}{1} \times \frac{2}{3}$$

▷ Paso 2 Multiplicar los numeradores y denominadores resultantes.
$$\frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}$$

Por lo tanto, $\frac{5}{7} \times \frac{14}{15} = \frac{2}{3}$.

Solución

▷ Paso 1 Escribir el número entero como fracción con denominador 1.
$$6 = \frac{6}{1}$$

▷ Paso 2 Multiplicar las fracciones, buscando simplificación previa.
Tenemos $\frac{6}{1} \times \frac{2}{9}$.
El 6 (numerador de la primera) y el 9 (denominador de la segunda) son divisibles por 3:
$$\frac{6 \div 3}{1} \times \frac{2}{9 \div 3} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{3}$$

▷ Paso 3 Multiplicar los numeradores y denominadores resultantes.
$$\frac{2 \times 2}{1 \times 3} = \frac{4}{3}$$

▷ Paso 4 Convertir a número mixto (opcional).
$$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$

Por lo tanto, $6 \times \frac{2}{9} = \frac{4}{3}$ o $1\frac{1}{3}$.

Solución

▷ Paso 1 Convertir el número mixto a fracción impropia.
$$2\frac{1}{4} = \frac{(2 \times 4) + 1}{4} = \frac{9}{4}$$

▷ Paso 2 Multiplicar las fracciones, buscando simplificación previa.
Tenemos $\frac{9}{4} \times \frac{2}{3}$.
El 9 (numerador de la primera) y el 3 (denominador de la segunda) son divisibles por 3:
$$\frac{9 \div 3}{4} \times \frac{2}{3 \div 3} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1}$$
El 2 (numerador de la segunda) y el 4 (denominador de la primera) son divisibles por 2:
$$\frac{3}{4 \div 2} \times \frac{2 \div 2}{1} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{1}$$

▷ Paso 3 Multiplicar los numeradores y denominadores resultantes.
$$\frac{3 \times 1}{2 \times 1} = \frac{3}{2}$$

▷ Paso 4 Convertir a número mixto (opcional).
$$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

Por lo tanto, $2\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3}{2}$ o $1\frac{1}{2}$.

Solución

▷ Paso 1 Multiplicar todos los numeradores entre sí.
$$1 \times 3 \times 4 = 12$$

▷ Paso 2 Multiplicar todos los denominadores entre sí.
$$2 \times 5 \times 7 = 70$$

▷ Paso 3 Formar la fracción resultante y simplificar.
$$\frac{12}{70}$$
Ambos son divisibles por 2.
$$\frac{12 \div 2}{70 \div 2} = \frac{6}{35}$$

Por lo tanto, $\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{6}{35}$.

Solución

El área de un rectángulo se calcula multiplicando su largo por su ancho.

▷ Paso 1 Plantear la multiplicación de las fracciones.
$$\text{Área} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{4}$$

▷ Paso 2 Realizar la multiplicación, buscando simplificación previa.
Simplificar el 3 (numerador) y el 6 (denominador) por 3:
$$\frac{5}{6 \div 3} \times \frac{3 \div 3}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{1}{4}$$

▷ Paso 3 Multiplicar los numeradores y denominadores restantes.
$$\frac{5 \times 1}{2 \times 4} = \frac{5}{8}$$

Respuesta: El área del terreno es $\frac{5}{8}$ km$^2$.

Solución

Este problema requiere dos pasos: primero calcular cuánto hay, y luego cuánto queda después de extraer la mitad.

▷ Paso 1 Calcular la cantidad de agua que hay inicialmente en el tanque.

Cantidad inicial = $\frac{3}{5}$ de $100$ litros.
$$100 \times \frac{3}{5} = \frac{100 \times 3}{5} = \frac{300}{5} = 60 \text{ litros}$$

▷ Paso 2 Calcular la mitad de lo que hay.

La mitad de $60$ litros es $60 \times \frac{1}{2} = 30$ litros.

▷ Paso 3 Calcular cuánto queda en el tanque.

Quedan = Cantidad inicial - Cantidad extraída
Quedan = $60 - 30 = 30$ litros.

Respuesta: Quedan $30$ litros de agua en el tanque.

Solución

Este problema requiere dos multiplicaciones consecutivas.

▷ Paso 1 Calcular cuánta harina usó para hacer pan en total.

Harina para pan = $\frac{2}{3}$ de $15$ kg.
$$\frac{2}{3} \times 15 = \frac{2 \times 15}{3} = \frac{30}{3} = 10 \text{ kg}$$

▷ Paso 2 Calcular cuánta harina usó en la receta específica.

Harina para receta = $\frac{1}{4}$ de la harina usada para pan.
Harina para receta = $\frac{1}{4} \times 10 = \frac{1 \times 10}{4} = \frac{10}{4} \text{ kg}$$

▷ Paso 3 Simplificar la fracción resultante.
$$\frac{10}{4} = \frac{10 \div 2}{4 \div 2} = \frac{5}{2}$$

▷ Paso 4 Convertir a número mixto o decimal (opcional, para una mejor interpretación).
$$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \text{ kg}$$

Respuesta: Usó $2\frac{1}{2}$ (o $2.5$) kilogramos de harina en la receta específica.

Solución

El volumen de un cubo se calcula elevando la longitud de su arista al cubo (multiplicándola por sí misma tres veces).

▷ Paso 1 Plantear la multiplicación para el volumen.
$$\text{Volumen} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}$$

▷ Paso 2 Multiplicar los numeradores.
$$3 \times 3 \times 3 = 27$$

▷ Paso 3 Multiplicar los denominadores.
$$5 \times 5 \times 5 = 125$$

▷ Paso 4 Formar la fracción resultante.
$$\frac{27}{125}$$
Esta fracción ya es irreducible.

Respuesta: El volumen del cubo es $\frac{27}{125}$ metros cúbicos ($m^3$).

Solución

Para encontrar la cantidad de azúcar necesaria, multiplicaremos la cantidad original por la fracción de la receta que queremos hacer.

▷ Paso 1 Convertir el número mixto a fracción impropia.

$$1\frac{1}{2} = \frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2}$$

▷ Paso 2 Multiplicar las fracciones.

Necesitamos $\frac{2}{3}$ de $\frac{3}{2}$ tazas de azúcar.

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}$$

▷ Paso 3 Simplificar en cruz antes de multiplicar.

El 2 (numerador de la primera) y el 2 (denominador de la segunda) se cancelan:

$$\frac{2 \div 2}{3} \times \frac{3}{2 \div 2} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{1}$$

El 3 (denominador de la primera) y el 3 (numerador de la segunda) se cancelan:

$$\frac{1}{3 \div 3} \times \frac{3 \div 3}{1} = \frac{1}{1} \times \frac{1}{1}$$

▷ Paso 4 Multiplicar los resultados simplificados.
$$\frac{1 \times 1}{1 \times 1} = \frac{1}{1} = 1$$

Respuesta: Necesitamos $1$ taza de azúcar.

Conclusión

La multiplicación de fracciones es, sin duda, una de las operaciones más sencillas y directas en el mundo de las fracciones. La regla es clara: "numerador por numerador y denominador por denominador". Esta simplicidad se potencia aún más con la técnica de la simplificación previa o "simplificación en cruz", que reduce los números antes de la multiplicación, haciendo el proceso más rápido y menos propenso a errores.

Dominar la multiplicación de fracciones no solo te permite resolver problemas académicos con eficiencia, sino que también te capacita para abordar situaciones del mundo real que involucran proporciones, como escalar recetas, calcular áreas y volúmenes, o entender relaciones de proporcionalidad en diversos campos profesionales. Con la práctica constante, esta operación se convertirá en una herramienta intuitiva en tu arsenal matemático. ¡Sigue adelante con tu aprendizaje!