Sólidos de Revolución: Método de Discos y Arandelas con Ejercicios Resueltos

¡Qué tal amigos! El día de hoy exploraremos una de las aplicaciones geométricas y físicas más hermosas del cálculo integral: el cálculo de volumen en los sólidos de revolución. ¿Te has preguntado cómo los ingenieros calculan la capacidad exacta de un pistón cilíndrico cónico, el volumen de una botella de vidrio con curvaturas suaves, o el combustible que cabe en un tanque toroidal espacial? La respuesta se encuentra en hacer girar una región del plano cartesiano alrededor de un eje fijo. En esta guía completa aprenderás cuándo aplicar el método de discos, cuándo el método de arandelas o el de cascarones cilíndricos, cómo manejar ejes de giro desplazados y 9 ejercicios resueltos con lujo de detalle para que apruebes con la máxima nota tus exámenes de cálculo integral.

¿Qué es un Sólido de Revolución y cómo se genera?

Un sólido de revolución es un cuerpo tridimensional que se obtiene al rotar una región bidimensional del plano cartesiano \( 360^\circ \) alrededor de una recta fija denominada eje de revolución o eje de giro. Cada punto de la curva describe una circunferencia en el espacio tridimensional.

Los Métodos Fundamentales de Integración

Dependiendo de si el sólido es macizo o hueco, y de la orientación del rectángulo generador respecto al eje de giro, existen tres métodos principales:

1. Método de Discos (Sólidos Macizos)

Se utiliza cuando la región plana a girar está en contacto continuo con el eje de rotación. Al cortar el sólido con un plano perpendicular al eje de giro, la sección transversal resultante es un círculo macizo de radio \( R(x) = f(x) \). Su área transversal es \( A(x) = \pi [R(x)]^2 \), y al darle un espesor infinitesimal \( dx \), el elemento de volumen diferencial es un cilindro muy delgado:

\[ dV = \pi [R(x)]^2 \, dx \]

2. Método de Arandelas (Sólidos con Hueco Central)

Si la región a rotar se encuentra delimitada entre dos funciones distintas, o separada del eje de giro, se genera un núcleo hueco central. La sección transversal perpendicular al eje es una corona circular (arandela). El área de la arandela se calcula restando el círculo interior del círculo exterior:

\[ A(x) = \pi [R(x)]^2 - \pi [r(x)]^2 = \pi \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right) \]

3. Método de Cascarones Cilíndricos (Capas Cilíndricas)

Cuando el rectángulo representativo es paralelo al eje de rotación en lugar de perpendicular, al girar genera un cascarón cilíndrico delgado (tubo concéntrico). Este método es extraordinariamente útil cuando despejar la variable en términos de \( y \) resulta sumamente difícil o imposible algebraicamente.

4. Rotación sobre el Eje Vertical Y

Si el eje de rotación es el eje \( y \) y usamos secciones perpendiculares a él, integramos con respecto a \( y \) en el intervalo \([c, d]\). Se debe expresar la curva como \( x = g(y) \):

5. Rotación sobre Ejes Desplazados (y = k o x = h)

Cuando el eje de giro no coincide con los ejes cartesianos coordenados, el radio ya no es simplemente \( f(x) \), sino la distancia euclidiana entre la curva y la recta de giro \( y = k \): \( R(x) = |f(x) - k| \).

⭐ Formulario Maestro de Sólidos de Revolución

Conserva este formulario esencial para resolver cualquier tipo de problema de volumen:

Método de Discos (Eje X): \( R(x) = f(x) \) representa el radio del disco macizo en el intervalo \([a, b]\).

Método de Arandelas (Eje X): \( R(x) \) es la distancia del eje a la curva exterior y \( r(x) \) es la distancia a la curva interior.

Método de Cascarones Cilíndricos: \( p(x) \) es el radio medio desde el eje de rotación y \( h(x) \) es la altura de la capa cilíndrica.

Método de Discos (Eje Y): Integración a lo largo del eje vertical con función despejada \( x = g(y) \).

Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Solución:

Datos:

• Función: \( f(x) = x^2 \)
• Límites de integración: \( a = 0 \), \( b = 2 \)
• Eje de rotación: Eje \( x \) (\( y = 0 \))

Fórmula:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]

Sustitución e Integración:

\[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2} x^4 \, dx \]

Calculamos la antiderivada:

\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{32}{5} \right) = \frac{32\pi}{5} \]

Resultado:

\[ V = \frac{32\pi}{5} \approx 20.106\,\text{unidades}^3 \]

Solución:

Datos:

• Puntos de intersección: \( x = x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0, x = 1 \)
• Curva superior (Radio exterior): \( R(x) = x \)
• Curva inferior (Radio interior): \( r(x) = x^2 \)

Fórmula:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right) dx \]

Sustitución e Integración:

\[ V = \pi \int_{0}^{1} \left( (x)^2 - (x^2)^2 \right) dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \, dx \]

Integramos término a término:

\[ V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right) = \frac{2\pi}{15} \]

Resultado:

\[ V = \frac{2\pi}{15} \approx 0.419\,\text{unidades}^3 \]

Solución:

Datos:

• Función: \( f(x) = \sqrt{x} \)
• Límites: \( a = 0 \), \( b = 4 \)
• Radio: \( R(x) = \sqrt{x} \)

Fórmula:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)]^2 \, dx \]

Sustitución e Integración:

\[ V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \]

\[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi \]

Resultado:

\[ V = 8\pi \approx 25.133\,\text{unidades}^3 \]

Solución:

Datos:

• Curva en función de \( y \): \( x = g(y) = y^{1/3} \)
• Límites verticales: \( c = 0 \), \( d = 8 \)
• Eje de giro: Eje \( y \) (\( x = 0 \))

Fórmula:

\[ V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy \]

Sustitución e Integración:

\[ V = \pi \int_{0}^{8} (y^{1/3})^2 \, dy = \pi \int_{0}^{8} y^{2/3} \, dy \]

\[ V = \pi \left[ \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{0}^{8} = \frac{3\pi}{5} (8^{5/3}) = \frac{3\pi}{5} (2^5) = \frac{3\pi}{5} (32) = \frac{96\pi}{5} \]

Resultado:

\[ V = \frac{96\pi}{5} \approx 60.319\,\text{unidades}^3 \]

Solución:

Datos:

• Curva superior: \( f(x) = x^2 \)
• Eje de rotación: \( y = -1 \)
• Radio exterior: \( R(x) = x^2 - (-1) = x^2 + 1 \)
• Radio interior: \( r(x) = 0 - (-1) = 1 \)
• Límites: \( x \in [0, 2] \)

Fórmula:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right) dx \]

Sustitución e Integración:

\[ [R(x)]^2 - [r(x)]^2 = (x^2 + 1)^2 - 1^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 1 = x^4 + 2x^2 \]

\[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 + 2x^2) \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]

\[ V = \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} \right) = \pi \left( \frac{96 + 80}{15} \right) = \frac{176\pi}{15} \]

Resultado:

\[ V = \frac{176\pi}{15} \approx 36.861\,\text{unidades}^3 \]

Solución:

Datos:

• Radio de cada cascarón: \( p(x) = x \)
• Altura de cada cascarón: \( h(x) = 2x - x^2 \)
• Límites de integración: \( x \in [0, 2] \)

Fórmula:

\[ V = 2\pi \int_{a}^{b} p(x) \cdot h(x) \, dx \]

Sustitución e Integración:

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} x(2x - x^2) \, dx = 2\pi \int_{0}^{2} (2x^2 - x^3) \, dx \]

\[ V = 2\pi \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 2\pi \left( \frac{16}{3} - \frac{16}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{16}{3} - 4 \right) = 2\pi \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{8\pi}{3} \]

Resultado:

\[ V = \frac{8\pi}{3} \approx 8.378\,\text{unidades}^3 \]

Solución:

Datos:

• Curva del semicírculo: \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \)
• Límites simétricos: \( [-r, r] \)
• Radio de rotación: \( R(x) = \sqrt{r^2 - x^2} \)

Fórmula:

\[ V = \pi \int_{-r}^{r} [R(x)]^2 \, dx = 2\pi \int_{0}^{r} (r^2 - x^2) \, dx \]

Sustitución e Integración:

\[ V = 2\pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{r} = 2\pi \left( r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = 2\pi \left( \frac{2r^3}{3} \right) = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Resultado:

\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Solución:

Datos:

• Ecuación de la generatriz: \( y = \frac{R}{h} x \)
• Límites: \( [0, h] \)

Fórmula:

\[ V = \pi \int_{0}^{h} \left( \frac{R}{h} x \right)^2 dx = \pi \frac{R^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2 \, dx \]

Sustitución e Integración:

\[ V = \pi \frac{R^2}{h^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{h} = \pi \frac{R^2}{h^2} \left( \frac{h^3}{3} \right) = \frac{1}{3}\pi R^2 h \]

Resultado:

\[ V = \frac{1}{3}\pi R^2 h \]

Solución:

Datos:

• Eje de rotación: \( x = 3 \)
• Radio medio de cada cascarón: \( p(x) = 3 - x \)
• Altura de cada cascarón: \( h(x) = x^2 \)
• Límites: \( x \in [0, 1] \)

Fórmula:

\[ V = 2\pi \int_{a}^{b} p(x) \cdot h(x) \, dx \]

Sustitución e Integración:

\[ V = 2\pi \int_{0}^{1} (3 - x)(x^2) \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} (3x^2 - x^3) \, dx \]

\[ V = 2\pi \left[ x^3 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = 2\pi \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3\pi}{2} \]

Resultado:

\[ V = \frac{3\pi}{2} \approx 4.712\,\text{unidades}^3 \]

Problemas Prácticos de Autoevaluación

Preguntas Frecuentes sobre Sólidos de Revolución

1. ¿Cómo sé cuándo usar el método de discos y cuándo el de cascarones cilíndricos?
El método de discos/arandelas se utiliza cuando los rectángulos representativos son perpendiculares al eje de giro (la sección transversal es un círculo o anillo). El método de cascarones se prefiere cuando los rectángulos son paralelos al eje de giro, especialmente cuando despejar la variable resulta algebraicamente complicado.

2. ¿Por qué en el método de arandelas no se puede hacer π ∫ [R(x) - r(x)]² dx?
Porque algebraicamente \( (R - r)^2 = R^2 - 2Rr + r^2 \), lo cual no representa el área geométrica de una corona circular. El área de un anillo es la resta de las áreas de dos círculos completos: \( A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \).

3. ¿Qué ocurre si el eje de rotación está fuera del eje coordenado?
Solo necesitas ajustar el radio: el radio siempre es la distancia entre la función y la recta de giro. Si la recta es \( y = k \), el radio es \( |f(x) - k| \); si es \( x = h \), el radio es \( |x - h| \).